怎样理解向量的投影与投影向量？（图）
矢量是最通常的向量，是指既有大小又有方向的量。比如物理学上的力、位移、速度、加速度等。矢量通常用加粗的字母表示。还有许多物理量只有大小而没有方向，或我们对其方向性不感兴趣，这就是我们最常见的数或数量，在数学上称之为标量。比如物体的质量、密度、长度、面积、体积、能量、功、功率等。标量通常用不加粗的字母表示。为了研究现代数学空间与张量的概念，有必要先搞清矢量投影的实质含义。
一、矢量投影的实例
设原位置在
O点的物体，在外力F的作用下发生的位移为矢量S，那么外力所做的功为多少呢？如果外力的方向与位移的方向一致，则所做的功为
但一般情况下两个矢量之间存在夹角为
θ（取值在0～π弧度范围），如下图所示：
图
1 矢量的投影
则应先求出外力
F在位移S方向上的投影
再根据前面的公式求出外力所做的功
由上例可见：一个矢量在另一个矢量上的投影是个标量，大小等于该矢量的模与两矢量夹角余弦的乘积。
二、矢量投影的定义
数学上的投影概念来源于实践。设想与矢量
S 方向垂直的一束平行光线，照射在矢量F 上，在OS 直线上形成了一段影子，记为OF'，这个影子线段OF'就是矢量F 在矢量S 方向上的投影。如下图所示：
图
2 矢量投影的概念
根据上述意义，矢量
F 在矢量S 上的投影定义为
其中
为两个矢量之间的夹角。
由投影的定义可见：投影
Fs与目标矢量S的大小无关，但与目标矢量S的方向有关，体现在两矢量的夹角θ上。如果夹角是锐角，投影为正实数；如果夹角为钝角，投影为负实数；如果夹角为直角，投影为0，即一个点。
注意：既然投影的概念涉及到夹角余弦，则投影的・光线必须与投影所在的直线（或目标矢量）垂直。这一点在张量空间的研究中非常重要。
三、矢量的点积
一般地，任意两个矢量
a和b的点积定义为
其中
θ为两个矢量的夹角。如下图所示：
图
3 矢量的点积
可见两个矢量的点积也是个数量（标量），数值上等于其中一个矢量的模与另一个矢量在其上的投影的乘积。即
例如：上例图中外力所做的功，就是力和位移两个矢量的点积
注意：点积是符合交换律的。即
但投影不符合交换律，必须指明谁对谁上的投影。即一般情况下
四、矢量投影与点积的关系
众所周知，模（长度）为
1的矢量叫做单位矢量，记为u。即有
根据矢量点积的定义，如果一个任意矢量
a与一个单位矢量u点乘，则其点积等于矢量a在单位矢量u上的投影。即
如下图所示：
图
4 矢量在单位矢量上的投影
比较矢量投影的定义可知，任一矢量
a在另一个矢量b上的投影，实质上就是矢量a与目标矢量b方向上单位矢量的点积。所以投影与目标矢量b的长度无关，但与b的方向有关。即
其中
为目标矢量
b方向上的单位矢量。即。
五、向量的投影
向量是一组有规则的数（分量），或曰有序
n元组，可以理解为矢量概念的推广和抽象。上述有关矢量的一切属性和理论，对于向量都普遍适用。
一般地，在欧氏空间中，任意两个向量的点积定义为
其中
叫做度规张量，是欧氏空间的度量衡。表现形式取决于我们观测时所选取的坐标系（坐标基矢的长度 及各基矢间的夹角）。
注意：坐标基矢之间的夹角是坐标系的固有属性，与两个任意向量之间的夹角是不同的。上式中的哑标不求和，仅表示度规张量的一个分量。
一个向量在另一个向量上的投影也仍然可以定义为
其中
为目标向量
b方向上的单位向量。即。
比较点积的定义可知，一个向量
a在另一个向量b上的投影是一个标量，实质上就是向量a与目标向量b方向上单位矢量的点积。所以投影与目标向量b的长度无关，但与b的方向有关。
六、投影向量
向量的投影是一个标量。但在有些场合（比如并矢概念的来源）需要使用到投影向量的概念。所谓投影向量，就是用投影和目标向量方向的单位向量共同组成的一个新的向量。
一般地，在欧氏空间中，投影向量定义为
其中下标
b不是哑标，不表示求和，而仅仅表示投影的目标向量是b。
注意：投影向量与向量的投影不是同一个概念。投影向量是一个向量，其・长度・是投影（标量），其方向就是目标向量
b的方向。而向量的投影是一个标量，是一个向量与另一个单位向量的点积。也可以说，投影是投影向量在该单位向量（方向与投影目标向量一致）下分解的分量。
如果投影的目标向量
b是坐标系的一个基矢，那么任一向量a在坐标基矢上的投影是不是等于向量a在该坐标基矢下的坐标分量ai呢？且听周法哲下回分解。
（作者：周法哲
2009-12-20于珠海）
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