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如果引
入了x4，那么洛伦兹变换成了正交矩阵，逆变和谐变的关系变成一样的
了，这正是明可夫斯基空间的优越之处，他把非欧空间变成欧氏空间

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狐说八道

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电梯直达

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发表于 2007-12-10 15:12:16|只看该作者|倒序浏览

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我说广义相对论系列 —— 不知有没有转帖过，如果有请斑竹删掉

来自：http://www.physt.cn/bbs/viewthread.php?tid=218&extra=page%3D1

发信人: fft (热血青蛙), 信区: Science
标题: 《我说广义相对论》之广义协变原理与张量
发信站: BBS 水木清华站 (Thu Jun 28 04:19:29 2001)

《我说广义相对论》之广义协变原理与张量

广义协变原理就是广义相对性原理是广义相对论的两个基本
原理之一，是狭义相对论中的相对论原理的推广，这也正是
广义与狭义名字上区别的由来。

狭义相对性原理：

一切物理定律（引力除外）在惯性参考系中保持相同的形式。

广义相对性原理：

一切物理定律在一切参考系中保持相同的形式。

这里要解释几个名词

参考系：就是以一定方式运动的观察者，他可以定义时空坐标来描述
事件发生的时间和地点，在我们的3+1维时空，这种描述需要
4个实数。当然这种坐标的定义方式是任意的，每种定义方式
可以叫做一个坐标系。
惯性系：一个参考系，如果其中的物体满足在合力为零的情况下保持匀
速运动或静止状态，那么这个参考系就叫做惯性参考系。

物理定律：就是一些物理量和另一些物理量之间的相等关系。

为了满足相对性原理，就要对物理定律的形式做出修改，否则连普通的
力学都不满足这个原理。最简单的例子就是在非惯性系中的牛顿力学，
还记得相对加速度，牵连加速度，科氏加速度这些名词吧，当年我可是
被绕了够呛。跟惯性系的牛顿定律比，它们显然不是一个形式。为什么
会这样呢？因为坐标变换后，物理量一般不会保持原来的值，而是要变
化，变化的方式当然跟坐标变换的方式有关了，所以原来相等的关系可
能就会不等了。
按照这样的思路，如果把物理定律表示成这样的等式，它的两边在
坐标变换下按照相同的规律变化，那么原来相等的东西变换后也一定相
等，这样就可以得到符合广义相对性原理的物理定律的形式。下面的任
务就是研究物理量在坐标变换下如何变化了，只要把按照相同规律变化
的物理量放到一起组成物理定律，问题就解决了。
物理量随坐标系的变换很复杂，有的量不随坐标系变化，比如质点
的质量，这种量很容易对付，他们在坐标变换下不变，可以认为已经满
足了广义协变原理，所以不必考虑。有的不仅与自身在原坐标系中的值
有关，还和其他的量有关，这样就必须把这些相互关联的一组量同时加
以考虑。我们的经验发现，同时变化的量的个数、都是空间维数的某个
自然数幂，考虑到前面说的不随坐标变换变化的量，它的个数是1，所以
幂次是0，所以同时变化的量的个数、都是空间维数的某个非负整数幂。
根据这个幂次的不同，可以对物理量进行分类。首先，把这种按一定规
律随坐标系变化而变化的物理量组称为张量，如果张量中物理量的个数
是空间维数的n次幂，就把这个张量叫做n阶张量。
阶数相同的张量具有相同的个数（废话！）和变换规律，所以最后
的方程应当由阶数相同的张量来组成。我们把物理定律在一个参考系下
用张量方程写出来，就可以知道它在一切其他参考系下也是这样的形式，
只不过，要用经过变换的张量来代替原来的。现在唯一的问题是，张量
在坐标表换下如何变化？
下面不得不写点数学公式了。设原坐标系Xi，i是坐标编号，应该是
从0到3，新坐标系是X'i(Xi),写成函数形式表示他们的变换关系。0阶张
量就不说了，它们不变。对于一阶张量Ai，变换关系有两种：
A'i=Aj*dX'i/dXj A'i=Aj*dXi/dX'j
先解释一下，这两个式子应用了爱因斯坦求和约定，即相同的下标表示
对此下标从0到3求和，这个式子里的j就是这样的下标。在此约定下，张
量方程可以写成很简单的形式。回到主题上来，这两种1阶张量是不同的
前一种叫做1阶逆变张量，后一种叫做1阶协变张量。对于更高阶的张量，
因为有4^n个，所以要引入n个从0到3的下标将它们适当的编号,使得他们
满足变换关系类似的，不过要注意，此时有的下标满足逆变的变换关系，
有的满足协变的，这种就叫做混合张量，一般写成(p,q)型张量，表示有
p个逆变下标，q个协变下标。举例来说，(1,1)型张量的变换关系是：
A'{i1,i2}=A{j1,j2}*dX'i1/dXj1*dXi2/dX'j2
其他型号的张量也可类似的写出变换关系，说白了就是原张量的某个线
性和。为了书写上的方便，逆变指标写在右上角，协变指标写在右下角
，不过bbs上无法用角标，我就用下面的方式代替了，花括号表示指标集
，;前面的是逆变指标，后面的是协变指标：A{i1;i2},B{i,j;k,l,m}等
等。
还有几个问题：
为什么是线性和？是因为从对称性的角度变换和逆变换的形式应当
一样，所以只能是线性变换。
为什么是齐次的？是因为非齐次项没有作用，方程两边都有，所以
就减掉了。
变换系数为什么只有这两种？还是从逆变换的角度考虑变换方程的
形式应当不变，这样自然可以推出系数。

张量的分类与变化规律就这样结束了。有了这些，就可以写出满足
广义写变性要求的物理定律了。

总之一句话，广义相对性原理要求物理定律用张量方程。这就是广
义相对性原理的唯一作用。

发信人: fft (热血青蛙), 信区: Science
标题: 《我说广义相对论》之等效原理与黎曼几何
发信站: BBS 水木清华站 (Thu Jun 28 06:25:49 2001)

等效原理是广义相对论的另一个基本假设，它要比广义协变原理
深刻的多，它决定了广义相对论必须使用黎曼几何，而且将引力几何
化。

等效原理分几个级别，广义相对论中用的是最强的甚强等效原理
，它的内容是：

任何引力场中自由下落的局域参考系与惯性系等效。

这里说的局域参考系是指参考点附近的一个无限小区域。与惯性系等
效意味着，这个参考系内的任何物理过程都和惯性系一样。

这就说明，含有引力的时空中，任何一小块自由运动的局域参考
系都可以看成是平直空间。我们把这句话中的几个字眼换一下，引力
换成弯曲，时空换成流形，局域参考系换成无限小区域，平直换成平
面，那么等效原理说的事实就变成弯曲流形上面的无限小区域可以近
似看成平面的一部分。这正是黎曼几何的思想，把曲面问题化成无数
个无限小区域内的平面问题。所以广义相对论只要使用黎曼几何就能
符合等效原理，而且，引力相互作用成了时空流形的弯曲，这就叫做
引力几何化，关于引力几何化会另又一篇文章讨论。

说了这么多还没说黎曼几何是什么。事实上并不想大多数科普材
料上写的那样，黎曼几何是与欧氏几何和罗巴切夫斯基几何相并列的
那种椭圆几何，那个只是初级的成果，黎曼几何要更广泛些，它描述
一切曲面上的内蕴几何，也就是说只研究它表面上的度量关系，而不
研究曲面在它所在空间中的几何性质。它实际上是三维微分几何中曲
面的第一基本形式的多维推广，属于微分几何的内容。
从比较高的角度看，没有黎曼几何的微分几何只是从拓扑和仿射
空间的角度刻画流形。有了黎曼几何，相当于在流形上引入了度量，
使其成为距离空间。具体方法是在每个点附近定义线元的平方：
ds^2=g{;i,j}*dX{i;}*dX{j;}
gij叫做度规张量，是一个二阶的协变张量，dX是坐标的微分。这实际
是勾股定理的推广，平直空间里gij就是单位对角阵了。对于弯曲空间
中的无限小邻域，其中的度规张量可以看成常数，于是可以选一个特
殊的坐标系，把线元平方对角化，根据二次型理论，这总可以办到，
这就实现了用平面逼近曲面。但对于整个弯曲流形，因为对角化的方
式逐点不同，所以不能全局的平直化。

下面顺便说说狭义相对论。学狭义相对论是也有张量的概念，但那
时为什么不分逆变和协变呢？现在可以回答了。狭义相对论存在于没有
引力的平直时空，这种平直空间的线元平方为ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2，
这是由光速不变原理决定的。因为狭义相对性原理的限制，这里能采用
的坐标变换只有惯性系之间的变换，即洛伦兹变换。用t,x,y,z表示的洛
伦兹变换下，你若去写张量变换式，会发现有逆变和协变之分，如果引
入了x4，那么洛伦兹变换成了正交矩阵，逆变和谐变的关系变成一样的
了，这正是明可夫斯基空间的优越之处，他把非欧空间变成欧氏空间，
因为欧氏空间的张量没有逆变协变之分，所以物理定律又会化简很多。
这两种方式都是正确的，只是后一种更简单些。可是到了广义相对论中
空间根本就不能化成平直的，所以逆变和谐变不可能一样，所以x4就没
有了引入的意义，所以广义相对论中写x0不写x4.
另外，光速不变导致了ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2，等效原理导致
了ds^2=g{;i,j}*dX{i;}*dX{j;}，这都是在仿射流形上引入度量的过程
，所以，光速不变和等效原理可以看成是一类的原理，甚至可以说等效
原理是光速不变的推广，这是我们能够更深刻的认识时空。

关于等效原理还可以讲一些，不过精华区里有一片讲广义相对论的
实验检验已经说的很好了，这里就不重复了。

关于黎曼几何有很多内容，三言两语说不清楚，总之记住一句话：

甚强等效原理要求广义相对论必须使用黎曼几何。

发信人: fft (热血青蛙), 信区: Science
标题: 《我说广义相对论》之引力几何化
发信站: BBS 水木清华站 (Thu Jun 28 07:55:59 2001)

《我说广义相对论》之引力几何化

如前所述，时空是一个四维流形，引力是时空弯曲的表现，那么这种时空的弯曲
怎么作用在时空中的物质上呢？答案是测地线。

测地线也是微分几何的术语，是指带有度规张量的曲面上两点间距离取极值的点。
设连接两点的的曲线是Xi(s)两个点对应s1,s2那么曲线长度为
s2 s2 _______________ dX{i}
L=∫ ds=∫√g{;i,k}U{i}U{k} ds U{i}=-------
s1 s1 ds
Ui是四速度。之后用变分法求这个泛函极值，就得到测地线需要满足的方程：
dUi 1
-----+Γ{i;kl}UkUl=0 Γ{i;kl}= ---g{i,j;}(g{k,j},l+g{l,j},k-g{k,l},j)
ds 2
那个伽玛叫第一类克里斯托福符号。",i"表示对Xi求偏导
为了知道这个对不对，只需要对平直时空验证一下，
s2 s2 ___________________
L=∫ ds=∫√t'^2-x'^2-y'^2-z'^2 ds
s1 s1
正好就是狭义相对论中的拉哥朗日量。不过平直时空gik为常数，所以克氏符号为零
，根据上面的方程，只有四速度为常数才行，此时粒子运行轨迹是直线，正好相符。
对非平直时空，克氏符号不为零，测地线就是曲线了。
这个克氏符号起着引力场强的作用。

对于一般的时空，根据度规张量算出克氏符号写出测地线方程，解出来就是自
由质点在此引力场中的运动方程了。所以引力问题完全变成了几何问题。引力的动
力学效应完全由时空的弯曲决定，概括起来就是说：

时空告诉物质如何运动

另一方面，时空不会平白无故弯曲的，是因为有物质的存在，时空才会弯曲，
那么物质是怎么影响时空的弯曲呢？答案是爱因斯坦引力场方程
引力场方程是联系描述时空弯曲的量和描述物质分布的量的一个方程。在牛顿
力学中这样的方程是泊松方程：△φ=4πGρ它左边是引力势的二阶偏微分，右边是
物质密度。广义相对论中相当于引力势的东西是度规张量，所以引力场方程左边应
该是g及偏导数组成的。因为广义相对论的零级近似应当是牛顿理论，所以猜测引力
场方程中关于度规张量的偏微分应该也是线性2阶，至于引力场方程的右边，应当是
物质的能量动量张量。那左边应该等于什么呢？恰好黎曼几何中有一条定理，由度规
张量及其不超过线性二阶的导数组成的量中，只有里奇曲率张量、曲率标量和度规
张量自身。这几乎完全把方程左边的形式给确定了下来：

R{ik}+a*g{ik}*R+b*g{ik}=k*T{ik}

下一个要用的定律是能量和动量的守恒定律，即T{ik}的散度为零，由此可定出a=-1/2

b要用另外的方法：牛顿近似。因为广义相对论必须以牛顿理论为低级近似，考虑系统
的低能近似，可以发现为了使低能近似退化为牛顿理论，那么b应当很小几乎接近零。
这就是著名的宇宙项。这样一来，引力场方程写为：
　　　　　　 1
　　　　　　 R{ik} - ---R*g*{ik}+λg{ik}=k*T{ik}
2
通常情况，会去掉宇宙项，但研究宇宙学时还是有可能用的到的。用牛顿近似的方法还
可以确定k的值
这个方程通常根据右边物质的能动张量反解出R这就知道了时空的弯曲情况了，这
一事实概括成一句话就是：

物质告诉时空如何弯曲

发信人: fft (冬眠的蛙※痛苦拨号中。。。), 信区: Science
标题: 《我说广义相对论》之引力几何化：运动方程
发信站: BBS 水木清华站 (Fri Jul 6 17:34:29 2001)

《我说广义相对论》之引力几何化：运动方程

质点在引力场中如何运动？这应该是广义相对论的中心问题之一。
因为引力被解释成时空弯曲，所以质点在引力作用下的运动实际上
是质点在弯曲时空里的自由运动。在广义相对论以前，自由质点是
遵循牛顿第一定律的，作匀速直线运动。但到了广义相对论中，时
空是弯曲的，没有真正的直线运动，该怎么办呢？

为了实现弯曲时空里的“直线”运动，我们必须把直线这个概念推
广。平直空间中的直线有很多性质，比如它各点处的的切向量总是
平行的、它是连接两点的线中最短的等等。

先看第一条，切矢量处处平行，显然这可以作为直线的定义，在弯
曲空间里是否能实现这种定义呢？可以。实际上，切矢量处处平行
正是测地线的局部定义。测地线是一个仿射几何的概念，不必引入
黎曼度量就可以定义测地线。不过，为了定义什么叫切矢量、什么
叫平行，就必须在仿射空间上引入一种附加的结构叫做联络，它描
述的是张量在仿射空间上平行移动时的变化规律。有了这个，才可
以对张量进行微分和比较。

不过要注意的是，联络是可以随意引入的，不同的联络得到的测地
线也不同，哪种联络是我们需要的呢？黎曼告诉我们，在黎曼几何
里可以确定唯一的无挠联络，它只跟度规张量的形式有关，这种联
络叫做黎曼联络。这样一来我们就把运动方程完全确定了。

再看第二条，两点之间的最短线，因为这里涉及了长度这种度量性
质，所以必须在黎曼几何里进行讨论了。给定两点和他们之间的一
条路经，因为ds已经由度规张量确定，所以只需积分就可以得到整
条路径的长度，之后的问题就是什么样的路径使这个长度最小了，
这只是个简单的泛函极值，用变分法很容易得到这样的路径满足的
方程。结果是令人惊讶而又合情合理的，这种路径正是黎曼联络下
的测地线。

两种方法得到一致的结果，弯曲时空里的自由质点沿测地线运动。
这里的数学原因应该是黎曼联络的存在唯一性。

下面来分析一下测地线两种定义的物理意义。

第一种把测地线定义为切矢量处处平行的曲线，这对运动质点来说
就是速度保持“不变”。所以这种定义实际上是牛顿第一定律的推
广。

第二种把测地线定义成一个某个泛函极值问题的驻点。把这个泛函
在平直空间的形式写出来，我们立刻会发现这正是狭义相对论的作
用量，如果再考虑它的牛顿形式，实际上就是能量。所以这种定义
是能量最低原理或者说是作用量原理的推广。

从这个角度来理解两种定义的一致性就更清楚了，实际上这种一致
性就是牛顿定律和能量最低原理的一致性。牛顿定律和作用量原理
的一致性从数学上看就是算子方程和泛函极值相对应的表现。从这
些类比中，我有一个问题，算子方程和泛函极值相对应这一事实和
黎曼联络的存在唯一性有什么数学上的关系吗？因为他们导出了一
致的物理结果，所以我怀疑这里面有什么数学原因，但我的微分几
何知识仅限于GR范围内，所以可能回答不了这个问题了，不过我想
所有的这些，都是某一数学对象的局部性质和整体性质之间的关系
，从这里入手大概可以发现点什么。

发信人: fft (冬眠的蛙※痛苦拨号中。。。), 信区: Science
标题: 《我说广义相对论》之引力几何化：场方程
发信站: BBS 水木清华站 (Fri Jul 6 17:36:38 2001)

《我说广义相对论》之引力几何化：场方程

在我没看过场方程的推导以前，看过一些科普中的描述，那里面从
来不涉及细节，只是说爱因斯坦很严格的推导出这个引力场方程，
可是当我看到这个推导时却很不以为然，这也叫严格吗？

我们先来简单回顾一下这个推导，首先从牛顿引力势满足的泊松方
程开始：△U=4πGρ。由此推断出引力场方程应当是度规张量和能
动张量之间的一个张量方程，它的00分量的一级近似将给出牛顿引
力场的结果。进而从牛顿引力场的泊松方程猜测和度规张量有关的
部分应当只含有度规张量的一阶和二阶导数，并且关于二阶导数一
定是线性。然后引述黎曼几何的一条定理，确定了这种张量的一般
形式，最后利用能动张量的守恒性确定了这个一般形式中的几个系
数。

我的感觉，这个推导中猜的成分居多。尤其是猜测方程中包含什么
那部分，简直就是为了引用那条定理而量身定做的。其实，这种猜
测并没有去排除别的可能性，所以不能保证场方程的唯一性。场方
程很有可能是另外的形式，比如：

为什么一定是二阶张量方程而不是标量的或者矢量的？
事实上，爱因斯坦在没学好黎曼几何前曾经尝试过建立标量性的场
方程，那个方程很复杂，很丑陋。但这不能作为排除理论的唯一原
因，只能是一种佐证。再说，就算那个不正确，为什么不能有别的
可能正确的理论呢？这些在引力场方程的推导过程中都没有涉及。
我的看法是，因为场方程应该是是关于10个度规张量的一个方程组
所以，为了唯一确定这些未知数，最好场方程也是10个，而这个数
正好就是四维二阶对称张量的独立分量个数。这才是场方程取二阶
对称张量形式的真正原因。

为什么一定是二阶的微分方程并且关于二阶项是线性？
原因是牛顿方程就是这样的，可是牛顿方程为什么是这样你就没法
回答了。再说也有可能是其他样子的方程但是在低级近似下不显现
呢。我看到过关于这个的评述，说如果是高阶方程，那么得到的牛
顿极限不对，这是稍微负责任的一种态度，不过仍然不能回答“为
什么牛顿极限就是正确的”这种的问题。

对于上面这种疑惑的回答总是这样两种：一是它和实验相符，二是
它和牛顿极限相符，其实归根结底还是和实验相符。这种办法是我
不喜欢的，因为这样有时候无法看到事物的本质。

实验事实和理论本身那个更接近绝对真理呢？当然是理论本身，应
当是理论决定实验结果而不是实验结果决定了理论。因为广义相对
论比牛顿定律更接近绝对的真理，所以我们在回答为什么牛顿定律
是这样子的时候应当说因为广义相对论是这样子的，而不是反过来！

在这样的态度下我再来问：为什么牛顿方程是二阶的？为什么它的
二阶部分是线性？我的回答是：因为黎曼几何里的曲率就是如此！
曲率无疑是黎曼几何里最重要的量，所以以黎曼几何为基础的广义
相对论的场方程也应该是一个关于曲率的方程。下面的工作就是去
寻找曲率和物质分布的关系。为了找到这种关系，在我看来最简捷
的办法是利用作用量原理，因为这只需对标量进行操作。这个推导
在一般的广义相对论书中也有，不过前面也是罗里罗唆的说了些为
什么把时空作用量选为标量曲率对全空间的积分，在我看来，这都
是不必要的，因为就该如此，没有别的选择。这个推导的另一个好
处是，它给出了能动张量和物质作用量之间的关系，使能动张量成
为一个导出量，而不是像以前总是先验的给出。

这有一个问题，为什么作用量是对标量曲率本身积分，而不是标量
曲率的其他函数呢？这里又要把思维发散一下了，当你看到标量曲
率对全空间积分，你能想到什么相似的东西吗？当然是微分几何里
的高斯崩尼定理。我相信时空作用量取这个形式不是偶然的事情，
很可能这里面有什么更深层的原因没有被我们认识到。

另一个问题，物理里面大多数的运动方程都是二阶微分方程，这是
否意味着他们都是某个黎曼空间里曲率方程的变形？我想是这样的
不过这个问题大概只有所谓的包罗万象的理论才能解释清楚了。

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