隨機過程在量子場論計算中的應用
文/林立
所謂隨機過程，是指在一定的條件下，可能發生也可能不發生的過程，具有不確定性，亦即：具有機率性。
最常見的隨機過程之數學模型就是無規行走(random walk)。大家熟知的布朗運動現象即可利用無規行走來解釋。在無規行走中，最重要的一個物理量就是機率分布函數
。它是表示一個在初始時刻位於原點的質點，經過N步無規行走之後，出現在
的機率。
由於在無規行走模型中，我們假設質點每一次行走之步伐大小相同，所花的時間也相同，所以在
中的N即相當於是時間變數。經由條件機率的考量及傅立葉變換的技巧，我們可以推導出
的路徑積分表達式，其形式和量子力學中時間演化算符(又稱為傳播子)之Feynman路徑積分表達式在數學上相同，有一個一對一的對應[註1]。
這種對應在物理上也有一定的意義，因為一個量子系統具有量子不確定性，因此帶有隨機性。量子力學的Feynman路徑積分表示法可以將這種隨機性明確的表示出來。我們可以將量子系統傳播子的路徑積分式中的每一條路徑視為一個隨機過程，其對傳播子之貢獻的權重即為
，其中S為此量子系統所對應的古典力學系統之作用量，所以等於動能項減去位能項。若是經過一個Wick旋轉：
將時間轉換為虛時間t’之後(所以上式中的τ仍取實數值)，就可以化為完全和無規行走之
之路徑積分有一對一對應的形式了。在此形式中，
因子變成為
，其中SE是對應的古典力學系統之動能項加位能項，相當於是總能量了[註2]。如此一來，Wick旋轉之後傳播子路徑積分式中的
即可視為相應的隨機過程發生的機率。這在物理意義上也可以和無規行走之
的路徑積分式有了對應[註3]。
路徑積分表示法作為一種解題方法，在具有機率性的物理問題中有很廣泛的應用。在各種應用中，路徑積分式中之各條路徑都可以看成是一個隨機過程。本文主要是要介紹路徑積分在量子場論之非微擾計算中的應用。
量子場論在數學上就是量子力學，其主要差別只在於量子場論將(廣義)空間座標變成為腳標，場的本身則成為“力學量”，亦即：成為新的廣義座標，從而有對應的“共軛動量”(姑且稱之為動量場)，於是在量子場論中，被量子化的是場及其共軛動量。我們可以利用下面的表列看出量子場論與量子力學在數學形式上的對應：
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古典質點力學
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古典場論
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量子力學
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量子場論
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[註4]
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和量子力學的情況一樣，量子場論也有兩種量子化方法。第一種就是“傳統”的量子化方法：正則量子化。它的基本假設即上述表列中所列的基本等時對易關係。這種量子化方法對應於古典力學的Hamilton方法。它最大的好處是可以經由傅立葉變換將場的粒子性格顯示出來，並且在原則上可得出系統Hamilton算符的本徵值譜[註5]。但缺點是實際上作計算(尤其是非微擾的數值計算)時不方便。
第二種量子化方法就是泛函積分法。這是完全比照量子力學中的Feynman路徑積分法而得到的。我們可以由正則量子化中的真空到真空的躍遷機率振幅之表達式出發，把時間分割成很多個很短的時段，再夾入一組一組的完備集，然後即可將場算符
,
化為場函數
,
, 再將場動量
部分的積分積掉(這部分的積分是高斯積分，所以可以作解析計算)，就會得出形式上和量子力學的路徑積分相似的泛函積分[註6]。
量子場論的泛函積分法在作計算時是十分方便的。首先我們可以採用引入外源的方法作為技巧來作微擾展開計算，在計算過程中很自然的就會得到Wick定理的結果[註7]。相對的，在正則量子化中，我們必須花費好一番功夫才能證明出Wick定理[註8]。其次，我們有一套系統化的方法可以用來直接計算泛函積分。這裡所謂的“直接”是指不作微擾展開，也不作其他的近似。這樣的計算當然適用於強耦合的情況，故通常稱為非微擾計算。本文所要介紹的隨機過程在量子場論計算中的應用，指的正是這種情況。
這裡所說的泛函積分其實就是路徑積分，是在“場
空間”中的路徑積分，所以是抽象的路徑。而和量子力學的路徑積分相同，量子場論的泛函積分告訴我們，時間演化有來自每一條可能的路徑的貢獻，其貢獻的權重正比於
，其中S即為此量子場論系統所對應的古典場論的作用量，
其中L為此量子場論系統的拉氏量密度，所以也是動能減去位能。
所以，在量子場論中，真空到真空的躍遷振幅
在數學上也是一個相位角因子
的積分：
只不過這裡的積分是一個泛函積分。
可以看出，古典極限(即古典場論)正是由靜止相位條件來決定的，從而可得出Euler-Lagrange方程，此即古典場的運動方程。
然而，任何泛函積分牽涉到的自由度總數都必然是不可數的無窮多，所以非微擾計算還是必須作一些近似，否則實際上無法執行。
在實際計算中，首先我們先將時間軸轉到虛時間軸，這相當於作一個Wick變換：
其中
為純虛數,
, 故
為實數，這等於是從閔氏時空轉入了歐氏時空，這會使得原先泛函積分中的相位角因子變成為指數衰減因子，從而在數學上處理積分時會較為方便[註9]。
其中
必須強調，我們把時間變為虛時間的動作純粹只是一個數學轉換，尚未作任何近似。
接下來，我們作第一個近似：將底空間(即d+1維時空)格子點化，於是泛函積分就近似為一多重積分。這是為了將來利用電腦作數值計算必須作的準備工作。我們為了減少近似的誤差，格子點的分布必須要夠密，以免偏離連續時空太遠[註10]。
由於為了使誤差不至於過大，格子點的總數仍然很多(例如：84個, 104個, 甚至164個, 244個)，多到無法利用電腦直接計算此多重積分的地步。於是，為了計算該多重積分，勢必要再作近似。這一步的近似就是設法利用隨機取樣的算法來近似的計算此多重積分，正是在這裡用到了隨機過程的概念。其基本想法是：
一式中，指數衰減因子
之值相對較大(即SE之值相對較小)的場組態
對積分有較重大之貢獻，所以我們只要能設計出一種算法，能夠在(不可數的)無窮多個場組態
中，把對積分貢獻較大的”那些”組態挑起來，如此即應有
所以，這種想法其實是在原有的時空座標之外，又多引入了一個假想的時間軸(fake time axis)，而將原有的d維空間，一維(虛)時間，看成是d+1維空間。然後，從一個任意給定的場組態
出發，以一定的方法，沿著假想時間軸產生出一系列的場組態。也可以說，在這種想法之下的任何一種計算多重積分的近似法，其實就是引入一套沿著假想時間軸的“動力學機制”，這套動力學機制會以一定的機率，產生一個隨機過程，使得沿著假想時間軸產生出來的場組態正是依照特定的機率分布而分布的。這樣就達到了我們當初想要用隨機取樣的方式來近似的計算多重積分的目的。
接下來在介紹沿著假想時間軸的動力學機制之前，我們必須先打個岔，強調一件事：在量子場論之泛函積分(將底時空格子點化之後成為多重積分)之計算中，其實有兩種隨機過程。一種隨機過程即為泛函積分本身之各個”路徑”，這是沿著底時空的路徑，每一個特定的時空點上對應著一個場值
，每一條路徑以
之機率出現；另一種隨機過程則出現在這裡引入的動力學機制中，這是一種沿著假想時間軸上的路徑，每一個特定的假想時間點上對應著一組場組態
，在這個隨機過程中，各個場組態是以
之機率來分布的。可以看出，在第二種隨機過程中，每一個特定假想時間點上出現的場組態本身就是第一種隨機過程。在此提醒讀者注意，不要將這兩種隨機過程搞混了。可以說，我們是利用假想時間軸上的動力學機制產生出一個第二類的隨機過程，從而得出很多個第一類的隨機過程，由此而能近似的計算量子場論系統的泛函積分。
實際在計算多重積分時，可以引入不同的動力學機制。凡是能使得產生出來的場組態按照特定的機率來分布的動力學機制均可採用。一般採用的機制分為兩大類，一類是沒有系統偏差的方法，包括熱源法，Metropolis法，Hybrid Monte Carlo法(HMC)等等，另一類是有系統偏差的方法，像Langevin方程，Kramer方程都是。
所謂有系統偏差，是指產生出來的場組態
不是依照
來分布的，而是依照
來分布，其中的
即為系統偏差。一般而言它會和沿著假想時間軸作演化時離散化的步伐大小的某個冪次成正比。
我們為了計算多重積分，引入了隨機取樣的概念來作近似，這就已經有了統計誤差。所以，我們當然不希望再有一個系統偏差。因此，在實際計算中，我們會盡量避免系統偏差。亦即：盡量採用無系統偏差的方法。
我們發現，是否有系統偏差的關鍵是在於我們用來作計算的動力學機制是否滿足精細平衡(detailed balance)的條件。凡是滿足精細平衡的算法給出的結果就沒有系統偏差，只有統計誤差[註11]。
在沒有系統偏差的方法中，熱源法是直接產生依照
來分布的場組態
。所以從理論上來說，這是最好的方法，可惜在實際問題中多半用不上。這是因為我們只會由均勻的隨機變數，產生高斯分布的隨機變數，所以當問題的作用量
是場
的平方形式時，我們才可能利用熱源法來作計算。然而，很多相互作用力項不是平方項，尤其是有費米子場存在的問題中，會出現行列式項，那是場
的高度非線性項，所以都無法利用熱源法來作計算。
至於Metropolis法，則是由另一組初始的場組態出發 (記作
)，再隨機的產生一組新的場組態(記作
)，若
，則接受
，否則以
的機率接受
。可以證明Metropolis法滿足精細平衡的條件，因此沒有系統偏差[註11]。但是，Metropolis法在實際計算中有重大缺點，所以也較少被採用。其重大缺點為：隨機產生的新場組態
會導致
的值很小，使得新組態幾乎都不會被接受，從而會一直停留在舊的場組態上，通常要經過一段時間很長的時間(假想時間軸的時間)才會走到一組新的場組態上。這表示Metropolis法在實際應用時，沿著假想時間軸會有很長的相關時間長度，也就是在隨機取樣上很沒有效率。
針對Metropolis法的缺點，英國愛丁堡大學的研究小組在西元1987年引入了一個Hybrid Monte Carlo (HMC)法[註11]，這個方法是利用古典力學中的 Hamilton 正則運動方程作為由舊的場組態
產生新的場組態
的運動方程(當然是沿著假想時間軸的運動)，一旦產生了新的場組態，則以
作為機率來接受
。HMC相較於Metropolis法，在決定是否接受產生出來的新組態的部份，和Metropolis法相同。因此可以證明HMC滿足精細平衡，所以HMC是沒有系統偏差的；另方面，在產生新的場組態上，Metropolis法是純隨機式的，因此可以說是“盲目的”，然而HMC法則是利用Hamilton 力學的正則運動方程來產生的，因此不是盲目的，而且，由能量守恆可以看出一旦
，兩者的數值也會相差很小，使的接受新組態的機率不會太低，從而在實際計算中，可以很快的就能接受新的組態，於是能夠在較短的時間之內走過相當一部分的場空間，真正做到了隨機取樣。所以HMC法具有Metropolis法的優點：無系統偏差，在實際計算中又沒有Metropolis法的缺點，顯然可以取Metropolis法而代之，在有費米子場的問題中尤其是如此。因此，現在在作量子場論問題非微擾計算時，一般都是採用HMC法。
以上就是關於隨機過程在量子場論中應用的大概介紹。總的來說，我們為了計算量子場論中的某個躍遷機率或格林函數的多重積分式，首先引入一個假想的時間軸，然後再引入一個可以產生沿著假想時間軸的動力學演化的動力學機制，這個動力學機制會產生一個隨機過程，在這個隨機過程中出現的場組態會依照
來分布，這就達到了隨機取樣的目的，從而也近似的計算出我們想要計算的多重積分了。
當然，前面介紹的都是零溫度量子場論，因此泛函積分中所代表的是量子擾動。在有限溫度時，系統既有量子擾動又有熱擾動，當系統處在平衡態時，其狀態可由密度算符來描述。由於密度算符在數學形式上和時間演化算符(即傳播子)只差了一個時間到虛時間的變換，其中虛時間相當於溫度的倒數，其餘皆相同，所以我們可以直接將有限溫度量子場論系統的密度算符的矩陣元寫成歐式時空中的泛函積分，然後上面介紹的計算零溫度量子場論系統之躍遷振幅的近似方法就可以照搬過來，近似的計算有限溫度時之密度算符了[註12]。不過，在零溫度時底空間之時間軸的長度原則上可以是無限長的。在有限溫度時，因為我們是在計算密度算符，所以底空間之“時間軸”之長度必須等於溫度的倒數，從而總是有限的。
註解：
[1]D.C. Khandekar et.
al. , Path-Integral Methods and Their Application (World
Scientific), 第一章第三節。
[2]符號SE中之右足標E是代表Euclidean。我們把Wick旋轉之後的虛時間
中的
稱為歐氏時間(Euclidean
Time)。
[3]當然，量子機率和古典機率的來源是不同的。這就導致了一個重大的差異：在量子物理中，有一個比機率更基本、更重要的概念，那就是機率振幅，其絕對值平方才是機率。在古典物理中，只有機率而沒有機率振幅的概念。嚴格來說，量子力學的傳播子給出的是機率振幅，不是機率。所以量子系統之傳播子的路徑積分式中的
是代表機率振幅。作了Wick旋轉之後得到的
仍然是代表機率振幅。因此，這裡所說的物理意義上的對應，其實是無規行走中
的各路徑的機率對應於量子力學傳播子之各路徑的機率振幅。
[4]在量子場論之基本等時對易關係中，由於腳標
均為連續取值，所以等式右側是出現
-函數。
[5]L.Ryder, Quantum
Field Theory (Cambridge University Press), 第四章。
[6]關於由量子力學的正則量子化得出Feynman路徑積分之推導過程，可以參考Shankar之Principles of Quantum
Mechanics第八章，或H.J. Rothe, Lattice Gauge
Theories (World
Scientific)第二章。
[7]L.Ryder, Quantum
Field Theory (Cambridge University Press), 第六章。
[8]D. Lurie, Particles
and Fields, (InterScience Publisher), 第六章。
[9]由於所有的物理系統都是處於閔氏時空中，所以在歐氏時空中為了計算各個物理量而建立的關聯函數必須要能夠經由一個反Wick轉換回到閔氏時空中，這才表示在歐氏空間中的計算是有意義的，其結果是正確的。然而歐氏空間中的關聯函數未必能夠解析延拓回閔氏空間。也就是說，直接在歐氏時空中寫下來的量子場論模型不一定能對應到真實的量子系統。請參考I. Montvay, G.
所著Quantum Fields on a Lattice
(Cambridge
University Press) 一書之第一章第三節。
[10]H. J. Rothe, Lattice
Gauge Theories (World Scientific), 第九章。
[11]H. J. Rothe, Lattice
Gange Theories (World Scientific), 第十五章。
[12]H. J. Rothe, Lattice
Gange Theories (World Scientific), 第十七章。
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作者簡介
林立
西元1989年6月在美國加州大學聖地牙哥分校取得物理博士學位，同年9月赴德國漢堡DESY理論組擔任博士後研究員，後又轉往明斯特大學第一理論物理所從事博士後研究
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