序参量的大小表征相位同步的程度。当所有振子的相位相等时，r=1。

。序参量的大小表征

相位同步的程度。当所有振子的相位相等时，
r=1。

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周期性边界条件下最近邻

Kuramoto 模型的

"

迟滞"现象

王念川

1，肖井华2*

作者简介：

王念川，男，硕士研究生，主要研究方向：非线性动力学。E-mail: w394832880@126.com

通信联系人：

肖井华，（1965-），男，教授，混沌控制及其在通信中的应用。E-mail: jhxiao@bupt.edu.cn

5

（1. 北京邮电大学理学院，北京 100876；

2. 北京邮电大学，北京 100876）

摘要：

Kuramoto 模型自从20 世纪中页提出以后，由于其包含简单而丰富的动力学现象，人

们对该模型的研究从未间断。本论文主要研究在最近邻带周期性边界条件的Kuromoto 模型

下的同步问题。研究发现，由于振子初始相位的随机性，导致结果中振子频率的多态现象。

10

又利用序参量时序图，来验证结果的正确性。通过剥离态算法，本文得到分叉图中“迟滞现

象”。

关键词：

非线性；同步；迟滞现象

中图分类号：

[O415.6]

15

Phenomenon of arrearage in the nearest neighbor Kuramoto

model with periodic boundary condition

WANG Nianchuan

1, XIAO Jinghua2

(1. Beijing University of Posts and Telecommunication, School of science, Beijing 100876;

2. Beijing University of Posts and Telecommunication, Beijing 100876)

20

Abstract: In this paper,we introduce about synchronization and the progress about the research of

it .Here we mainly study about the problem of synchronization in nearest neighbor Kuramoto

model with periodic boundary condition.From our result ,there are multistable behavior about the

frequency of the oscillators as the difference of initial condition.Then we use the order parameter

to verify our result.finally,through stripped algorithm,we can get the arrearage phenomenon in the

25 graph.

Keywords:

nonlinear; synchronization; arrearage phenomenon

0

引言

同步是自然界的一种基本现象

[1]。它通常是指：至少在两个振动系统相位之间的一种协

30

调一致现象。关于同步的最早研究可以追溯到1673年惠更斯（C.Huygens）关于耦合单摆的

同步现象的观察。实际上，若干个耦合单元之间通过相互作用达到同步的现象在许多领域中

屡见不鲜。例如，对人体的心肺功能的研究表明，人的心跳和呼吸频率是在若干个有理的比

例的同步（锁相）之间变化，尽管他们的自然频率非常不同；在生态学上的一个典型的例子

就是马来西亚岛屿上成千上万只萤火虫在夜晚同步地闪动荧光，每个只虫子（个体）尽管各

35

有差异，但他们之间通过某种方式耦合确可以达到同步状态；在化学方面，人们对化学波等

的研究也发现许多与同步有关的现象；在光学中，人们发现若得到高功率的激光相干输入，

通过耦合使各激光器达到同步状态为最佳。上述几个简单例子说明同步现象不仅在自然界广

泛存在，而且在实际应用中是非常重要的。

1 Kuramoto

模型

40

在 20 世纪70、80 年代，Kuramoto 一直致力于集体同步问题的研究，并提出了一个可

以很好地解释集体同步行为的模型

[2]。由具有任意自由频率的相振子通过相位差的正弦值进

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行耦合而组成的系统，被称为

Kuramoto 模型。振子在无相互作用时以其自身频率{ } i

ω

振动，

有全局耦合的相互作用时系统的运动方程为：

1

sin( ), 1, 2, , ,

N

i

i j i

j

d K i N

dt N

θ

ω θ θ

=

= +

Σ − = 􀀢 式（1）

其中，

K 代表耦合强度， N 为系统尺寸， i

θ

45 为振子i的相位，是一个绕着极限环运动

并随时间增长的变量，

i

θ

􀀅

表征振子的瞬时频率，且振子间的相互作用函数为周期函数

sin(

θ ) 。振子间由于相互作用它们离开各自的固有频率。如果耦合强度足够大，所有振子

将达到同步，它们的平均频率相等，也就是说，此时振子的相位存在着固定的关系，出现锁

相（锁频）的现象。存在一个临界的耦合强度

c K ，当c K < K 时，所有振子没有达到相同

步，当

c 50 K ≥ K 时，所有振子达到锁相的状态[3]。

我们可以很容易理解，如果系统振子本身的频率是固定的，那么振子在不同的排列方式

下，达到同步时所需的临界耦合强度肯定是不同的。本文所讨论的模型为有周期边界条件的

最近邻耦合

Kuramoto 振子系统，方程如下：

1 1

1

[sin( ) sin( )].

3

N

i i i i i i

j

θ

􀀅 ω K θ θ θ θ + −

=

= +

Σ − + − 式（2）

55

随着耦合强度的增加，系统会逐渐达到同步。在由非同步到同步的过程中，存在一个临

界的耦合强度

c K ，当c K < K 时，部分振子会先达到同步；当c K ≥ K 时，所有振子的频率

都相等，即锁频。在实验模拟中，我们认为振子的平均频率相等时，振子就达到了同步。

1.1

不同参数结构下系统的临界耦合强度值

我们令振子的自身频率固定，当变换振子的位置时，系统的参数结构与所有振子达到锁

60

相时的临界耦合强度之间存在一定的关系；系统尺寸为N ，每个振子i(i =1,2,􀀢, N)的自

身频率为

( 1,2, , ) iω i = 􀀢 N 。所有振子在一个环上排列，按照式（2），最近邻的振子间有

直接的强度为

K 的耦合相互作用。不同的振子排列方式，所有振子达到锁相时所需的临界

耦合强度是不尽相同的

[4]。由数学知识，我们可以算出N 个振子的所有不相同的排列数目

为

N / 2

N

P N

。以5 个振子为例，不相同的排列数目为： 5

5

(1/ 2)P / 5 = 12 。

65

图

1 振子的排列方式

（

a)振子的排列方式为12345，(b) 振子的排列方式23451,（c）振子的排列方式为15432。

从环上最上面的振子顺时针编号，振子的这三种排列方式对应的结构是相同的，

(b)经过顺时针旋转(c)经过

对称变换都可以得到

(a)

70

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图

2. N = 5个Kuramoto振子组成一维耦合环系统在12种不同的振子排列方式下的分岔树及临界耦合强度

值

c

K

，初始自身频率相对固定。

75

2 随机初始条件下的相同步

当我们将每个振子的初始相位随机时，对于排列14253，,得到的分岔图如下：

图 3.各个振子的频率随耦合强度的增加的分岔图。横轴为耦合强度K，纵轴为每个振子的平均频率F。

80 可以看到，在K>1.5 之后，还有两处地方出现了不同步的现象。而以前一直认为，当所

有振子的平均频率都相等后，系统处于锁相状态，也就是随着耦合强度的增加，所有振子的

平均频率会一直相等。

同样，我们遍历6 个振子，发现在排列方式为135264 时，得到的分岔图中也有类似的

现象。

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85

图4.随机初始条件下6 个振子的分岔图

也就是说在同步之后，这里也出现了不同步的现象。而且，在随机初始相位的情况下。

振子的分岔图也不再像固定初始相位时那么光滑。

90 序参量 R

[5]的表达式为：

1

1

l

N

i i

l

r e e

N

ϕθ

=

=

Σ

式（3）

当系统频率同步的时候，则每个振子的频率相等，则在相同时内每个振子相位改变相同，

所以序参量是不变的，对与上面的等式就只是左边的相位

ϕ发生变化。序参量的大小表征

相位同步的程度。当所有振子的相位相等时，r=1。而实际上，如果所有振子的初始相位不

95 相同的话，无论K 为多大，经过时间t 后，相位不可能都相等，r 都不可能等于1。所以序

参量只能是随着K 的增加无限趋近于1.当K>Kc 时，序参量时不变。下面的图，K<Kc 时，

序参量是对时间求平均。在K=Kc 处，序参量会发生跳变

[6]。

100

图5.不同初始条件下序参量时序图

我们计算了在这种排列下不同的初始相位下，同步和不同步的序参量随耦合强度的变化

情况：

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105

图6.两种初始条件下的序参量

可以看到，除了在1.60 附近少数几个点一样之外，在其他耦合强度下序参量的差别很

大。我们还统计了在耦合强度为1.52 到1.67，随机初始相位，同步的次数。

110

图7.各个耦合强度下同步的初始条件的吸引域

3

利用剥离态算法得到的分岔图

剥离态算法指的是在计算振子频率随耦合强度的变化时，将上一个耦合强度中最后时刻

的相位，作为下一个耦合强度的初始相位，通过这样的计算方式计算出来的分岔图将会比较

115 光滑漂亮。而采用剥离态算法，正序和逆序的方式。可以得到两种不同的情况：

图 8.(a)两种剥离态算法下分岔图的对比图。（b）两种剥离态算法下序参量的对比图。

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4

结论

通过我们所做的工作发现，对于振子的某些排列方式下，初始相位的选取对每个振子的

120 平均频率是有影响，不论是同步前还是同步后。而不同的初始相位，会得到两种不同的平均

频率。我们遍历了5 个振子和6 个振子的所有排列，发现在5 个振子中有一种排列，在同步

后的两个耦合强度点会出现不同步的情况。而6 个振子，有一种排列同步后的一个耦合强度

点会出现不同步的情况。还有一种排列同步后的一段耦合强度会出现不同步的情况。说明这

种现象还是普遍存在的。

125

[

参考文献] (References)

[1]刘秉正，彭建华，非线性动力学，高等教育出版社，（2005）

[2 ]郑志刚，耦合非线性系统的时空动力学与合作行为，高等教育出版社，（2004）

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130

systems, Phys. Rev. E, 62,1, 402-407(2000).

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135

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