二次量子化

寒假里忽然想起曾经在看曾书10.3节角动量的Schwinger表象有一个奇思妙想。
当初记在书上的笔记是“一般Hamiltonian可表示为H(x,p), x、p可用a+、a处理，如果H为x、p的二次式，则可用H(a+,a)与[a+,a]求解”
现在仔细回想这段话，当初的意思应该是：在经典力学里面，哈密顿量可以表示成两个独立变量的函数（上次还看到说只需要这两个独立变量x和x的一次导数就完备了，不需要诸如x的二次导数、三次导数那些变量，据说朗道书里有讲，本人没细究过），在处理谐振子的时候我们通过引入升降算符a+、a，把哈密顿量表示成H(a+,a)，接下来利用[a+,a]=1构造出粒子数算符，谐振子的各个能级就轻而易举的解出来了。
然后我看到角动量居然也可以用升降算符表示（确切的说是产生湮灭算符），这就很容易想到，是否所有的力学量都可以用升降算符表示？既然哈密顿量是力学量的函数，通过表象变换到升降算符表象，哈密顿量显然也可以表示成升降算符的函数H(a+,a)，如果哈密顿量是x、p的二次型，利用升降算符的对易子[a+,a]，可以很容易求解出各个能级（二次型的考虑是记得当初在学经典力学里面有一个说法，只要哈密顿量是x、p的二次型，总可以用泊松括号求解，而泊松括号可以即狄拉克普朗克常数趋向于零的对易子，曾书习题4.7），求解的过程似乎可以和哈密顿力学的求解过程对应起来。
后来学了二次量子化，在那里，哈密顿量确实都表示成a+、a的函数，再回首当初的奇思妙想，算是二次量子化的发轫，但确实too simple, too naive.
1、二次量子化里面的a+、a表示的产生湮灭算符，是指产生或湮灭一个态（这里采用fock表象），和谐振子里面的升降算符在概念上是有差异的。
2、哈密顿量一般来说是偶数次型，不仅限于二次型，还有四次型。
3、二次量子化虽然看起来似乎是一个表象变换，但是它已经把场量子化，这样子，才会有可能产生一个粒子或湮灭一个粒子。
4、最重要的一点，我当初完全没有考虑费米统计和玻色统计（当然我当初连统计力学也没学过，热学也没学好，还真不知道有这回事），对应的是产生湮灭算符的对易子和反对易子关系（在场量子化的基础上把费米子或波色子的统计形式考虑进去，而且这个工作是1928年量子力学刚建立起来的时候做的，真心觉得Winger和Jordan厉害）。

故事讲到这里就结束的话就没什么意思了。

二次量子化的好处是在求解哈密顿量时，我们避开了最繁琐的一步，求解波函数，就获得了我们所需的关于能级的信息（想想求解一个最简单的谐振子尚且需要用到Hemite多项式），从那以后将近60年，物理学家对于产生湮灭算符用得炉火纯青，波函数这个东西似乎只在教科书中作为一个入门的练习，但是量子霍尔效应的发现，使得人们开始意识到二次量子化这种特殊的表象下，可能会使我们丢掉一些信息。
上次在课上老师讲到量子霍尔效应时，提到了Laughlin波函数，从某种程度上来说他是猜的（就像BCS猜测超导的基态波函数），但是很神奇的一点，他似乎从一开始就没有用到大家已经习以为常的Slater行列式（二次量子化中费米子波函数的表示）来表示波函数，从某种程度上这是一个比解释量子霍尔效应更重要的突破。
有时候我们为了把一个问题简化，我们不得不丢掉一些东西，在特殊的情况下这种损失所带来的代价是巨大的，因为在不清楚的情况下，它可能是一块石头，也可能是一块钻石(量子力学里面的相位就是一颗曾被丢弃的钻石）。

PS：二次量子化当初是被速成的，而量子霍尔效应到现在还只是被科普的知识水平，不做具体的研究，完全没有任何信心说我理解它了。