phymath999: Green01 定理沿著曲線 Γ 繞一圈，作某種功（或度量），就知道曲線所圍的面積

Sunday, March 2, 2014

Green01 定理沿著曲線 Γ 繞一圈，作某種功（或度量），就知道曲線所圍的面積

http://museum.math.ntnu.edu.tw/news/218_20121108004419.pdf

維基百科，Cramer's_rule，http://en.wikipedia.org/wiki/Cramer's_rule。

2. 維基百科線上數學百科全書，CramersRule，http://mathworld.wolfram.com/CramersRule.html。

3. 蔡聰明，從醉月湖的面積談起，

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_21_2_01/index.html。

4. 林琦焜，Green 定理與應用，http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_21_4_03/index.html。

5. 笛卡爾之夢，九章出版社，P.267。

6. From Pythagoras to Grassmann，畢氏定理高維方面的推廣，傳播季刊第47 期。

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從醉月湖的面積談起
向量微積分簡介（第 3 頁）蔡聰明

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．原載於數學傳播第二十一卷第二期
．作者當時任教於台大數學系
‧對外搜尋關鍵字

3. 醉月湖的面積公式

公式(5)更是活生生的，它還可以再推廣，無窮化與連續化成平面上封閉曲線所圍成的領域（如醉月湖）之面積公式。為此，我們根據行列式的性質將(5)式稍作變形

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} S &= {1\over 2} \sum\limits_{k=1}^n \left \v... ... x_k \\ y_k &\Delta y_k \end{array}\right \vert \end{eqalign}\end{displaymath}$

(6)

如何連續化呢？由微積分我們知道，圓內接正 n 邊形的連續化（即 $n\rightarrow \infty$ ）就得到圓，差和分的連續化就是微積分，參見[3]。按此理，平面上封閉曲線 Γ 所圍成的領域，可以看作是邊長為無窮小 (infinitesimal) 的無窮多邊之多邊形（我們採無窮小論證之觀點）。所謂「連續化」在作法上就是將和分 Σ 改為積分 $\int$
差分 Δ 改為微分 d 因此，(5)式的連續化就變成

$\begin{displaymath} S=\frac{1}{2}\oint_ \Gamma \left\vert\begin{array}{cc} x& dx... ...& dy \end{array}\right\vert ={\frac{1}{2}}\oint_\Gamma xdy-ydx \end{displaymath}$

(7)

此地積分記號 $\oint_\Gamma$ 意指沿 Γ 以逆時針方向作曲線積分 (line integral)。我們可以這樣來理解(6)式：想像封閉曲線 Γ 上無窮地接近的兩點 (x,y)、(x+dx,y+dy) 與原點 (0,0) 所圍成無窮小的三角形面積為

$\begin{displaymath}{1\over 2}\left\vert \begin{array}{cc} x &x+dx\\ y &y+dy \en... ...t\vert \begin{array}{cc} x &dx\\ y &dy \end{array}\right\vert \end{displaymath}$

再讓 (x,y) 沿曲線 Γ 的逆時針方向變動，連續地求和（即積分），就得到(7)式，參見圖6。

圖6

例1：: 橢圓 Γ 的參數方程式為

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{lr} x=a\cos t & \\ y=b\sin t \quad & 0\le t\le 2\pi \end{array}\right. \end{displaymath}$

由(7)式算得

$\begin{eqnarray*} S&=&{1\over 2}\oint_\Gamma xdy-ydx\\ &=&{1\over 2}\int_{0}^{... ...(-a\sin t)]dt\\ &=&{1\over 2}ab\int_{0}^{2\pi}dt\\ &=&\pi ab \end{eqnarray*}$

這恰是通常熟悉的橢圓面積公式。

因此我們很有理由相信公式(7)是對的。事實上，我們可以採用一般微積分教科書上的極限論證法給予證明。不過，我們要指明：從 Leibniz 或非標準分析 (non-standard analysis) 的眼光來看，無窮小論證法是合法的（歷史上曾被宣佈為「非法的」），更漂亮而具有發現的潛力，並且足以保證(7)式是成立的。

定理2：

設 $\Gamma:t\in [a,b]\rightarrow(x(t)$ , $y(t)) \in R^2$ 為一條單純的（即沒有打結）、封閉的可微分曲線，並且是逆時針定向，則 Γ 所圍成的領域之面積為

S	=	$\displaystyle {1\over 2}\oint_\Gamma \left\vert \begin{array}{cc} x &dx\\ y &dy \end{array}\right\vert$
	=	$\displaystyle {1\over 2}\oint_\Gamma xdy-ydx$
	=	$\displaystyle {1\over 2}\,\int_{a}^{b}[x(t)y'(t)\,-y(t)x'(t)]dt$	(8)

註：: (8)式表示，沿著曲線 Γ 繞一圈，作某種功（或度量），就知道曲線所圍的面積，這真奇妙。一位農夫沿著農地走一圈就知道面積！

對於極坐標描述的封閉曲線 $\Gamma:r=f(\theta),a\le\theta\le b$ 可改為參數方程式

$\begin{eqnarray*} \noindent\left\{ \begin{array}{l} x=f(\theta)\cos\theta\\ y=f(\theta)\sin\theta \quad\quad a\le\theta\le b \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

計算

$\begin{displaymath}x(\theta)y'(\theta)-y(\theta)x'(\theta)=(f(\theta))^2\end{displaymath}$

於是得到：

推論：

設 $\Gamma :r = f(\theta)$ , $a \le \theta \le b$ , 為一條單純的、封閉的可微分極坐標曲線，則 Γ 所圍成領域之面積為

$\begin{displaymath} S={1\over 2}\int_{a}^{b}(f(\theta))^2d\theta \end{displaymath}$

(9)

註：

事實上，不必限於封閉的極坐標曲線，(9)式亦成立。這是在微積分中我們熟悉的一個公式。

例2：

設 a>0，考慮半徑為 a 的圓在半徑為 3a 的圓內部沿著圓周滾動，試求滾動圓上一點 P 的軌跡所圍成領域之面積。

解：

如圖7所示，取圓心為原點，並且小圓上的 P 點起先跟 (3a,0) 點重合，然後開始滾動，再取圓心角 θ 當參數，容易算出 P 點的坐標 (x,y) 滿足

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x = 2a\cos\theta + a\cos 2\theta\... ...ta - a\sin 2\theta,\quad 0\le\theta\le 2\pi \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

我們稱 P 點的軌跡為圓內三尖輪迴線 (Deltoid)。由公式(8)知，它所圍成領域之面積為

$\begin{eqnarray*} S &=& {1\over 2}\oint_\Gamma xdy-ydx\\ &=& {a^2\over 2}\int_... ...\over 2}\int_{0}^{2\pi}(2-2\cos 3\theta)d\theta\\ &=& 2\pi a^2 \end{eqnarray*}$

圖7

習題：: 求星形線 $x^{2\over 3}+y^{2\over 3}=a^{2\over 3}, \; a>0,$ 所圍的面積。

從醉月湖的面積談起
向量微積分簡介（第 2 頁）蔡聰明

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．原載於數學傳播第二十一卷第二期
．作者當時任教於台大數學系
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2.多邊形的面積公式

多邊形仍然太複雜，我們再退到三角形的特例，探尋完成後，再進到多邊形。這種處理問題時退、進之道很值得留意。

問題3：: 已知三角形三個頂點的坐標為 A= (x₁, y₁), B = (x₂, y₂), C = (x₃, y₃), 如何求其面積？

我們進一步退到三個頂點為 O=(0,0), B=(x₂, y₂), C=(x₃, y₃) 之更特殊三角形。令 OB, OC 與 x 軸的夾角分別為 $\theta_1$ 與 $\theta_2$ ，且 $OB=\rho_1$ , $OC=\rho_2$ ，則

$\begin{eqnarray*} x_2\!=\!\rho_1\cos\theta_1 & , & \quad y_2\!=\!\rho_1\sin\thet... ..._3\!=\!\rho_2\cos\theta_2 & , & \quad y_3\!=\!\rho_2\sin\theta_2 \end{eqnarray*}$

圖3

圖4

如上圖所示，我們分成兩種情形來討論： (i)當 O,B,C 成為逆時針（或右手系）定向時，如圖3，則 $\Delta OBC$ 的面積為

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} S &= {1\over 2}\rho_1 \rho_2\sin(\theta_2-\t... ...cc} x_2 &x_3\\ y_2 &y_3 \end{array}\right\vert \end{eqalign}\end{displaymath}$

(2)

(ii)當 O,B,C 成為順時針（或左手系）定向時，如圖4，則 $\Delta OBC$ 的面積為

$\begin{eqnarray*} S & = & {1\over 2}\rho_1 \rho_2\sin(\theta_1-\theta_2)\\ & =... ...rt \begin{array}{cc} x_2 &x_3\\ y_2 &y_3 \end{array}\right\vert \end{eqnarray*}$

因此行列式

$\begin{displaymath} \left\vert \begin{array}{cc} x_2 &x_3\\ y_2 &y_3 \end{array}\right\vert \end{displaymath}$

代表由 OB 與 OC 所生成的平行四邊形的有號面積，當 O,B,C 逆時針定向時為正，順時針定向時為負。利用向量外積也可以推導出這個結果。回到問題3，不妨假設 $\Delta ABC$ 為逆時針走向，見圖5，則 $\Delta ABC$ 的面積為

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} S &= \Delta OAB+\Delta OBC-\Delta OAC \\ &... ...k &x_{k+1}\\ y_k &y_{k+1} \end{array}\right\vert \end{eqalign}\end{displaymath}$

(3)

其中規定 x₄=x₁ 且 y₄=y₁

註：

通常教科書將(3)式寫成

$\begin{displaymath} S={1\over 2} \left\vert \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ x_1 &x_2 &x_3\\ y_1 &y_2 &y_3 \end{array}\right\vert \end{displaymath}$

(4)

不過，(3)式適於推廣到任何多邊形，而(4)式則不然。換言之，(4)式是死的，(3)式才是活的有源之泉。

圖5

仿上述之論證可得

定理1：: 設 A₁ (x₁ , y₁) , A₂ (x₂ , y₂) , … , A_n (x_n,y_n) 為 n 邊形之頂點坐標且為逆時針定向，則此 n 邊形的面積為

$\begin{displaymath} S={1\over 2}\sum\limits_{k=1}^{n} \left\vert \begin{array}{cc} x_k& x_{k+1}\\ y_k& y_{k+1} \end{array}\right\vert \end{displaymath}$

(5)

其中規定 x_n+1=x₁ 且 y_n+1=y₁

註：: (5)式又叫做測量師的公式。

從醉月湖的面積談起
向量微積分簡介

蔡聰明

6. 推廣到三維空間：Gauss 定理與 Stokes 定理

7. 特殊與普遍的互相含納

1.一個求面積的問題

面積是一個很古老的幾何概念，它起源於人類要丈量土地的大小。Geometry 這個字的根源是 geometrein，geo 是土地，metrein 是測量，故幾何學的原意是測量土地、求面積。自古以來，由於所給的條件有各式各樣，於是對應有各式各樣的面積公式。經過兩千多年的發展，終於創立微積分，透過微分法一舉解決了一切求積問題。

問題1：: 在平面上，一條封閉曲線所圍成的領域，例如台大的醉月湖，如何求它的面積呢？

按思考的常理，我們先退到比較簡單的特例，譬如說透過離散化或有窮化，退到多邊形，再退到四邊形乃至三角形。對於三角形的情形，如果所給的數據是三個邊之長，那麼其面積就有 Heron 公式可循，參見 [1]。推廣到四邊形的情形，如果所給的數據是四個邊之長加上兩對角線或兩個對角，那麼其面積又有 Brahmagupta 公式與 Bretschneider 公式可算，參見 [2]。四邊形的面積公式已經有點煩瑣，如果要再推廣到五邊以上的多邊形，其困難是可以想像得到的,甚至根本行不通。一個求面積公式，若只能對付三角形或四邊形，那麼也太局限了，不合數學追尋普遍的“萬人敵”之道。換個追尋的方向，改變所給的數據是個好辦法： (i)假設多邊形的頂點皆為平面上的格子點，那麼其面積就有 Pick 公式

$\begin{displaymath} A=\frac{b}{2}+i-1 \end{displaymath}$

(1)

其中 b 與 i 分別表示在邊界上及內部的格子點之個數，參見[4]。讓格子的間隔越來越小，原則上利用(1)式可以求出一般平面領域的面積。 (ii)已知多邊形的頂點坐標，因為頂點唯一決定多邊形（邊則不然），所以多邊形的面積理應可以利用頂點的坐標來表達。實際測量一塊多邊形的土地，我們得到邊長 $r_1 , r_2 , \cdots$ 以及邊相對於水平線之旋轉角 $\theta_1 , \theta_2 , \cdots$ ，參見圖1。由這些數據可以得到多邊形的頂點坐標。設第一點的坐標為 A = (x₁, y₁) （由取平面坐標系而決定下來）；然後就可求出 B = (x₂, y₂) 如下：

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{l} x_2=x_1+r_1\cos \theta_1\\ y_2=y_1+r_1\sin \theta_1\\ \end{array}\right.\end{displaymath}$