phymath999: green01 f 在邊界上作積分（得 f(b)-f(a)）等於 f 的變化率 f' 在 [a,b] 上作積分。

Sunday, March 2, 2014

green01 f 在邊界上作積分（得 f(b)-f(a)）等於 f 的變化率 f' 在 [a,b] 上作積分。

f 在邊界 $\partial[a,b]$ 上作積分（得 f(b)-f(a)）等於 f 的變化率 f' 在 [a,b] 上作積分。

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_21_2_01/page4.html

從醉月湖的面積談起
向量微積分簡介（第 4 頁）蔡聰明

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．原載於數學傳播第二十一卷第二期
．作者當時任教於台大數學系
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4. 推廣成 Green 定理

公式(8)是露出海面上的冰山之一角，底下還有更廣大的整座冰山。為了發現這座冰山，我們將(8)式重新整理成：

$\begin{displaymath} \int \!\! \int_\Omega 2dxdy=2S=\oint_\Gamma xdy-ydx \end{displaymath}$

(10)

其中 Ω 表示 Γ 所圍成的領域，通常也記 $\Gamma=\partial\Omega$ ，表示 Ω 的邊界。 (10)式顯示兩重積分與線積分具有密切關係。常函數 $\varphi(x,y)=2$ 在 Ω 的內部作兩重積分就等於向量場 $\vec V(x,y)=x\vec i-y\vec j$ 沿 Ω 的邊界 $\partial\Omega$ 作線積分。這條線索類似於微積分根本定理

$\begin{eqnarray*} \int_{[a,b]} f'(x)dx &=& \int_{\partial[a,b]}f(x)dx \\ &=& f(b)-f(a) \end{eqnarray*}$

亦即 f 在邊界 $\partial[a,b]$ 上作積分（得 f(b)-f(a)）等於 f 的變化率 f' 在 [a,b] 上作積分。因此，常函數 $\varphi(x,y)=2$ 似乎應該就是向量場 $\vec V(x,y)=x\vec i-y\vec j$ 的某種「變化率」（或「微分」）。

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4. 推廣成 Green 定理

公式(8)是露出海面上的冰山之一角，底下還有更廣大的整座冰山。為了發現這座冰山，我們將(8)式重新整理成：

$\begin{displaymath} \int \!\! \int_\Omega 2dxdy=2S=\oint_\Gamma xdy-ydx \end{displaymath}$

(10)

$\begin{eqnarray*} \int_{[a,b]} f'(x)dx &=& \int_{\partial[a,b]}f(x)dx \\ &=& f(b)-f(a) \end{eqnarray*}$

亦即 f 在邊界 $\partial[a,b]$ 上作積分（得 f(b)-f(a)）等於 f 的變化率 f' 在 [a,b] 上作積分。因此，常函數 $\varphi(x,y)=2$ 似乎應該就是向量場 $\vec V(x,y)=x\vec i-y\vec j$ 的某種「變化率」（或「微分」）。為了尋找兩重積分與線積分的一般關係式，我們考慮平面上的向量場

$\begin{displaymath}\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j\end{displaymath}$

沿著一條封閉曲線 Γ 作線積分

$\begin{displaymath}\oint_\Gamma\vec F\cdot d\vec r=\oint_\Gamma P(x,y)dx+Q(x,y)dy\end{displaymath}$

問題4：: 線積分 $\oint_\Gamma Pdx+Qdy$ 可化成 Ω 上什麼形式之兩重積分，包括(10)式為特例？

我們仔細觀察(10)式。欲 $\oint_\Gamma xdy-ydx$ 改寫成 $\oint_\Gamma Pdx+Qdy$ 之形，只需取

$\begin{displaymath} P(x,y)=-y \mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 47}} Q(x,y)=x \end{displaymath}$

就好了。但是 $\int \!\! \int_\Omega 2dxdy$ 這一項怎麼來的呢？容易看出

$\begin{displaymath}{\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y}=1-(-1)=2\end{displaymath}$

因此 $\int \!\! \int_\Omega 2dxdy$ 就是由 $\int \!\! \int_\Omega ({\partial Q\over \partial x}- {\partial P\over \partial y})dxdy$ 得來的。到此為止,我們已經可以提出猜測(Conjecture)：

$\begin{displaymath} \oint_{\partial\Omega} P dx + Q dy = \int \!\! \int_\Omega ... ...rtial Q\over \partial x} - {\partial P\over \partial y}) dxdy \end{displaymath}$

(11)

我們先用一個例子來檢驗(11)式。

例3：: 設 $\vec F(x,y) = 2y \vec i+3x \vec j$ ，即 P(x,y) = 2y , $\quad Q(x,y) = 3x$ , $\Gamma :x^2 + y^2 =1$ 為單位圓，取參數方程式

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x=\cos t\\ y=\sin t \quad ,0\le t\le 2\pi \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

則

$\begin{eqnarray*} && \oint_\Gamma Pdx+Qdy\!=\!\oint_\Gamma 2ydx+3xdy \\ &=& \i... ...&=& \int_{0}^{2\pi}({1\over 2}+{5\over 2}\cos 2t)dt \\ &=& \pi \end{eqnarray*}$

另一方面

$\begin{eqnarray*} && \int\!\!\int_\Omega ({\partial Q\over \partial x} - {\part... ...rtial y})dxdy \\ &=& \int \!\! \int_{x^2+y^2\le 1}(3-2)dxdy=\pi \end{eqnarray*}$

因此，上述猜測對於本例成立。

我們已有相當理由支持(11)式之猜測，那麼我們就試證看看吧。仍然從最簡單的情形著手： (i)當 $\Omega=[a,b]\times[c,d]$ 為矩形領域時，參見圖8。

$\begin{eqnarray*} &&\,\oint_{\partial\Omega} Pdx+Qdy\\ &=& \int_{a}^{b}P(x,c)d... ...t_{c}^{d}(Q(b,y)-Q(a,y))dy\\ && -\int_{a}^{b}(P(x,d)-P(x,c))dx \end{eqnarray*}$

由 Newton-Leibniz 公式（簡稱 N-L 公式）知

$\begin{eqnarray*} Q(b,y)-Q(a,y)=\int_{a}^{b}{\partial Q\over \partial x}dx\\ P(x,d)-P(x,c)=\int_{c}^{d}{\partial P\over \partial y}dy \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{eqnarray*} && \oint_{\partial\Omega} Pdx+Qdy \\ &=& \int_{c}^{d}\int_{... ... ({\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y})dxdy \end{eqnarray*}$

圖8

(ii)其次考慮平面領域 Ω，滿足：邊界 $\Gamma=\partial\Omega$ 跟平行於 x 軸與 y 軸的直線至多只交於兩點，參見圖9。

圖9

我們只需要證明

$\begin{displaymath} \oint_\Gamma Pdx=-\int \!\! \int_\Omega {\partial P\over \partial y}dxdy \end{displaymath}$

(12)

與

$\begin{displaymath} \oint_\Gamma Qdy=\int \!\! \int_\Omega {\partial Q\over \partial x}dxdy \end{displaymath}$

(13)

再相加起來就好了。今證(12)式：邊界 Γ 可以分成兩部分
$\Gamma_1:CDA$ 與 $\Gamma_2:ABC$ 分別由函數
y=f₁(x) 與 y=f₂(x), $x \in [a,b]$ 所定義，於是

$\begin{eqnarray*} & & \oint_\Gamma Pdx \\ & = & \int_{\Gamma_1} Pdx \,+\, \in... ... & = & - \int \!\! \int_\Omega {\partial P\over\partial y}dxdy \end{eqnarray*}$

同理可證明(13)式。 (iii)當 Ω 為單純連通領域 (simply connected region) 時，可以分割成幾個(ii)的領域之聯集，這種情形上述的猜測也成立。參見圖10。

圖10

定理3：（Green 定理，1828年）

設 Ω 為由封閉曲線 Γ 所圍成的單純連通領域，並且 P , Q , ${\partial Q\over\partial x}$ , ${\partial P\over\partial y}$ 在 Ω 上皆為連續函數，則

$\begin{displaymath} \oint_\Gamma Pdx+Qdy=\int \!\! \int_\Omega({\partial Q\over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy \end{displaymath}$

(14)

註：: 我們不去追求最廣泛的 Green 定理。一般微積分教科書都將(10)式貶為是(14)式的特例或腳註。我們反其道而行，將(10)式視為是生出(14)式的胚芽 (germ) 或線索 (clue)。

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5. 整裝待發

如何將 Green 定理推廣到三維空間？為此，我們要對於 Green 定理的形式與內涵兩方面作更詳細的考察。

5.1 形式上的觀察

Green 定理可以寫成兩個等價的形式：

$\begin{displaymath} \oint_\Gamma Pdx+Qdy=\int \!\! \int_\Omega({\partial Q\over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy \end{displaymath}$

(15)

$\begin{displaymath} \oint_\Gamma Pdy-Qdx=\int \!\! \int_\Omega ({\partial P\over\partial x}+{\partial Q\over\partial y})dxdy \end{displaymath}$

(16)

事實上，在(15)式中，將 P 改為 -Q，Q 改為 P，就得到(16)式；反過來，在(16)式中，將 P 改為 Q，Q 改為 -P，就得到(15)式。進一步，採用向量記號將(15)與(16)改寫：令向量場 $\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j$ , 及微分算子 $\nabla={\partial\over\partial x}\vec i+{\partial\over \partial y}\vec j$ 。模仿向量的內積與外積運算，我們定義：

$\displaystyle \nabla\cdot\vec F$	=	$\displaystyle ({\partial\over\partial x}\vec i +{\partial\over\partial y}\vec j)\cdot(P\vec i+Q\vec j)$
	=	$\displaystyle {\partial P\over\partial x}+{\partial Q\over\partial y}$	(17)

$\displaystyle \nabla\times\vec F$	=	$\displaystyle ({\partial\over\partial x} \vec i+{\partial\over\partial y}\vec j)\times(P\vec i+Q\vec j)$
	=	$\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k\\ {\partia... ...l\over\partial y}&{\partial\over\partial z}\\ P & Q & 0 \end{array}\right\vert$
	=	$\displaystyle ({\partial Q\over\partial x}-{\partial P\over \partial y}) \vec k$	(18)

再令 s 表示曲線 Γ 之弧長參數，ds 表示無窮小線元，於是單位切向量為

$\begin{displaymath}\vec T= \frac{dx}{ds} \vec i+\frac{dy}{ds}\vec j \end{displaymath}$

向外單位法向量為

$\begin{displaymath}\vec n=\frac{dy}{ds} \vec i-\frac{dx}{ds} \vec j \end{displaymath}$

圖11

參看圖11。於是

$\begin{eqnarray*} & & \oint_\Gamma \vec F\cdot \vec T ds \\ & = & \; \oint_\G... ...\over ds}\vec j)ds \nonumber \\ & = & \; \oint_\Gamma P dx+Qdy \end{eqnarray*}$

以及

$\begin{eqnarray*} &&\oint_\Gamma \vec F\cdot\vec n ds \nonumber \\ & = & \; \o... ...x\over ds}\vec j)ds \nonumber \\ & = & \; \oint_\Gamma Pdy-Qdx \end{eqnarray*}$

從而(15), (16)兩式可分別改寫成：

$\begin{displaymath} \oint_\Gamma\vec F\cdot\vec Tds=\int \!\! \int_\Omega(\nabla\times\vec F)\cdot\vec k dA \end{displaymath}$

(19)

$\begin{displaymath} \oint_\Gamma\vec F\cdot\vec n ds=\int \!\! \int_\Omega(\nabla\cdot\vec F)dA \end{displaymath}$

(20)

其中 dA 表示無窮小的面積元。(19)式叫做切向式(tangential form)，(20)式叫做法向式(normal form)。換言之，Green 定理有(15)、(16)、(19)與(20)四種化身。這四個式子都叫做 Green 公式。

5.2 內涵的掌握

$\nabla\cdot\vec F$ 與 $\nabla\times\vec F$ （即(17)與(18)兩式）代表什麼物理意義呢？由於 Green 公式與 N-L 公式在形式與內涵上都具有相同的本質，所以 $\nabla\cdot\vec {F}$ 、 $\nabla\times\vec F$ 與函數 f' 應該具有密切關連。

問題5：: 如何解釋 N-L 公式

$\begin{displaymath}f(b)-f(a)=\int_{a}^{b}f'(x)dx\quad ?\end{displaymath}$

我們採用流體流動的觀點來解釋。考慮一根直線管子，參見圖12，假設橫截面具有單位面積。

圖12

今想像有流體在管子中流動，其速度場為 $\vec v (x)=v(x)\vec i$ ，密度為 $\rho (x)$ 。令向量場

$\begin{displaymath} \vec F(x)=\rho (x)v(x)\vec i=f(x)\vec i \end{displaymath}$

這叫做流體的通量向量場 (the flux vector field of the flow)。因此，f(x) 表示單位時間流體通過 x 點處橫截面之通量 (flux)。由於 $\vec i$ 是向右之單位向量，故當 f(x)>0 時，表示流體向右流過 x 點處的截面；當 f(x)<0 時，表示流體向左流過 x 點處的截面。於是從大域的 (global) 眼光來看，f(b)-f(a) 表示在管段 [a,b] 中，單位時間流體的減少量，即單位時間流體流出 [a,b] 的通量。另一方面，從局部的 (local) 眼光來看流速場的變化。考慮區間 $[\alpha,\beta] \subset[a,b]$ 且 $x\in (\alpha,\beta)$ ，那麼 $f(\beta)-f(\alpha)$ 表示在管段 $[\alpha,\beta]$ 中單位時間流體的減少量，從而，牛頓商 ${f(\beta)-f(\alpha)\over\beta-\alpha}$ 表示單位時間單位長度管段 $[\alpha,\beta]$ 中流體的平均減少量。因此微分

$\begin{displaymath} f'(x)=\lim_{\beta\downarrow x,\alpha\uparrow x}{f(\beta)-f(\alpha) \over\beta-\alpha} \end{displaymath}$

(21)

表示單位時間單位長度流體在 x 點處的減少量，亦即在 x 點單位時間單位長度流散出的量，因此叫做散度 (divergence)。按積分的定義可知， $\int_{a}^{b} f'(x)dx$ 表示單位時間流體在 [a,b] 中的減少量。今因流體不會無中生有，也不會無故消失，所以 N-L 公式

$\begin{displaymath}f(b)-f(a) = \int_{a}^{b}f'(x)dx \end{displaymath}$

顯然成立。這是一種散度定理。上述流體的觀點，推廣到兩維平面恰好也就是 Green 定理(20)式的解釋。為了說明這件事，我們必須推廣(21)式。在(21)式中，分母可改為矩形的面積，但是分子較難推廣，不過並不絕望。我們重新整頓一下 ${f(\beta)-f(\alpha)\over\beta-\alpha}$ ：分母是區間 $I=[\alpha,\beta]$ 的長度，記為 |I|，而分子 $f(\beta)-f(\alpha)$ 改為

$\begin{displaymath}f(\beta)-f(\alpha)=\sum\limits_{i=1}^{2}(-1)^i f(r_i)\end{displaymath}$

其中 $r_1 = \alpha, r_2 = \beta$ 是 I 的邊界點，符號 (-1)ⁱ 表示在左端點取負號，右端點取正號，這樣才符合流體流出 $I=[\alpha,\beta]$ 的意思，即在 I 的端點流體是向外流出的。換言之，在邊界點都賦予向外法向之概念，即

$\begin{displaymath} f'(x)=\lim_{I\downarrow {x}} \frac{\sum f(r_i)\cdot \mbox{({... ...ily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 178})}}{\vert I\vert} \end{displaymath}$

(22)

其中 $\sum\limits$ 是對 I 的邊界點來求和的。經過這樣的修飾，(22)式才適合推廣到高維空間。設 $\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j$ 為兩維平面上的一個向量場，想像成流體的通量向量場。令 $S\subset \bf R^2$ 為平面上一塊領域， $(x,y)\in S$ ，將(22)式中的求和 $\sum\limits$ 改為沿邊界 $\partial S$ 作積分，即定義：

$\begin{displaymath} \lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S}\vec F\cdot\vec n ds\over \vert S\vert}=(div\vec F)(x,y) \end{displaymath}$

(23)

叫做向量場 $\vec F$ 在 (x,y) 點的散度 (divergence)，其中 |S| 表示 S 的面積， $\vec n$ 表示沿邊界的 $\partial S$ 的向外單位向量。這是一維導數(22)式的類推與推廣。根據定義， $(div\vec F)(x,y)$ 代表在 (x,y) 點處單位時間單位面積流體向外流出的通量。這是局部變化率，是向量場 $\vec F$ 的一種「微分」概念。

圖13

按兩重積分的定義， $\int \!\! \int_\Omega(div F)dA$ 的意義是：將 Ω 分割成無窮多塊的無窮小塊，參見圖13。於是 $(div\vec F)dA$ 表示單位時間流體流出 dA 的通量，然後對整個 Ω 連續求和，即作積分，就得到 $\int \!\! \int_\Omega(div\vec F)dA$ 。由於在內部的邊界，流體的進出恰好抵消，整個合起來只剩下流出邊界 $\partial\Omega$ 的通量。因此， $\int \!\! \int_\Omega(div\vec F)dA$ 代表單位時間流體流出 $\partial\Omega$ 的通量。另一方面，這個流出通量按定義就是線積分 $\oint_{\partial\Omega}\vec F\cdot\vec n ds$ ，所以下式顯然成立：

$\begin{displaymath} \oint_{\partial\Omega}\vec F\cdot\vec n ds=\int \!\! \int_\Omega(div\vec F)dA \end{displaymath}$

(24)

此式跟(20)式還有一段距離，不過我們可以證明

$\begin{displaymath} div\vec F=\nabla\cdot\vec F={\partial P\over\partial x}+ {\partial Q\over\partial y} \end{displaymath}$

(25)

代入(24)式就得到法向式的 Green 公式了。另一方面，在上述(23)式的定義中，其分子是沿邊界 $\partial S$ 的向外單位法向作積分，現在如果改為沿邊界的切向 $\vec T$ 作積分，用循環量 (Circulation) 代替通量 (flux)，就得到旋度 (Curl 或 rotation) 的定義：

$\begin{displaymath} \lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S}\vec F\cdot\vec T ds\over \vert S\vert} = (rot\vec F)(x,y)\cdot\vec k \end{displaymath}$

(26)

換言之， $rot\vec F$ （有時也記為 $Curl\vec F$ ）為一個向量場，它在 z 軸的投影恰好就是流體在 (x,y) 點處單位時間單位面積的循環量。這也是局部變化率，是向量場 $\vec F$ 的另一種「微積分」概念。

圖14

按重積分的定義， $\int \!\! \int_\Omega(rot\vec F)\cdot\vec k dA$ 的意義是：將 Ω 分割成無窮多塊的無窮小塊，參見圖14。於是 $(rot\vec F)\cdot\vec k dA$ 表示單位時間流體繞 dA 的循環量，然後對整個 Ω 作積分得到 $\int \!\! \int_\Omega(rot\vec F)\cdot\vec k dA$ 。由於沿內部的邊界之循環量恰好來回抵消，整個合起來只剩下沿邊界 $\partial\Omega$ 的循環量。另一方面，這個總循環量按定義就是線積分 $\oint_{\partial\Omega} \vec F\cdot\vec T ds$ ，所以下式顯然成立：

$\begin{displaymath} \oint_{\partial\Omega}\vec F\cdot\vec T ds=\int \!\! \int_\Omega (rot\vec F)\cdot\vec k dA \end{displaymath}$

(27)

我們也可以證明

$\begin{displaymath} (rot\vec F)\cdot\vec k=(\nabla\times\vec F)\cdot\vec k= {\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y} \end{displaymath}$

(28)

代入(27)式就得到切向式的 Green 公式了。

圖15

下面我們就來證明(25)與(28)兩式。為了計算方便起見，我們作一矩形，以 (x,y) 點為中心，圍成領域 S，並且四邊跟 x 軸或 y 軸平行，參見圖15。設 $AB=\Delta x, BC=\Delta y$ ，於是四個頂點的坐標為

$\begin{eqnarray*} A=(x-{1\over 2}\Delta x,y-{1\over 2}\Delta y),\\ B=(x+{1\over... ...r 2}\Delta y),\\ D=(x-{1\over 2}\Delta x,y+{1\over 2}\Delta y), \end{eqnarray*}$

我們先證明(25)式。為此，必須估算流體流出 S 之通量。流體流出邊界 AB, CD, AD 與 BC 的通量分別約為

$\begin{eqnarray*} &-Q(x,y-{1\over 2}\Delta y)\cdot\Delta x,\\ &Q(x,y+{1\over 2}... ...a x,y)\cdot\Delta y,\\ &P(x+{1\over 2}\Delta x,y)\cdot\Delta y, \end{eqnarray*}$

其中我們取四邊的中點當估值的代表點。因此，流出 S 的通量約為

$\begin{eqnarray*}[P(x + {1\over 2}\!\Delta x,y) - P(x - {1\over 2}\!\Delta x,y)]... ... {1\over 2}\!\Delta y) - Q(x,y - {1\over 2}\!\Delta y)] \Delta x \end{eqnarray*}$

由平均變率定理 (Mean value theorem)，這個通量為

$\begin{displaymath}[{\partial P\over\partial x}(x\!+\!\xi\Delta x,y) + {\partial Q\over\partial y}(x,y+\eta\Delta y)] \Delta x \Delta y \end{displaymath}$

(29)

其中 $0<\xi,\eta<1$ 。顯然，當 $\Delta x$ 與 $\Delta y$ 越來越小時，近似估計就越來越精確。今將(29)式除以 $\vert S\vert=\Delta x\Delta y$ ，再讓 $\Delta x$ 與 $\Delta y$ 趨近於 0，則得

$\begin{displaymath}\lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S} \vec F\cdot\ve... ...ial P\over \partial x}(x,y) + {\partial Q\over \partial y}(x,y)\end{displaymath}$

亦即

$\begin{displaymath}(div\vec F)(x,y) = (\nabla\cdot\vec F)(x,y)\end{displaymath}$

於是(25)式得證。其次證明(28)式，仍然參見圖15。我們要估算流體沿邊界 $\partial S$ 的循環量，即 $\vec F$ 沿 AB、BC、CD、DA 的線積分，其總和約為

	$\textstyle [P(x,y\!-\!{1\over 2}\!\Delta y) - P(x,y\!+\!{1\over 2}\!\Delta y)] \Delta x$
	$\textstyle + [Q(x\!+\!{1\over 2}\!\Delta x,y) - Q(x\!-\!{1\over 2}\!\Delta x,y)] \Delta y$
=	$\textstyle [{\partial Q\over\partial x}(x+\xi\Delta x,y) - {\partial P\over \partial y}(x,y+\eta\Delta y)] \Delta x \Delta y$	(30)

其中 $0<\xi,\eta<1$ 。將(29)式除以 $\vert S\vert=\Delta x\Delta y$ ，再讓 $\Delta x$ 與 $\Delta y$ 趨近於0，得到

$\begin{displaymath}\lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S} \vec F\cdot\ve... ...ial Q\over\partial x}(x,y) - {\partial P \over \partial y}(x,y)\end{displaymath}$

亦即

$\begin{displaymath}(rot\vec F)(x,y)=(\nabla\times\vec F)(x,y)\end{displaymath}$

從而(28)式得證。

6. 推廣到三維空間：Gauss 定理與 Stokes 定理

抓住了 Green 公式的形式與內涵，要推廣到三維空間就不難了。首先令

$\begin{eqnarray*} \vec F(x,y,z) & = & P(x,y,z)\vec i + Q(x,y,z)\vec j \\ & + & R(x,y,z)k \end{eqnarray*}$

表示空間中的一個向量場 (Vector field)，即定義在空間中某領域的一個向量值函數。

定義：: $\begin{eqnarray*} \nabla\cdot\vec F &=& {\partial P\over\partial x}+ {\partial Q... ...{\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y})\vec k \end{eqnarray*}$

分別叫做向量場 $\vec F$ 的散度與旋度。

其次我們注意到，平面領域 Ω 可以有兩個方向的推廣：一個是空間中的可定向 (Orientable) 曲面 S（Möbius帶子就不是可定向曲面），參見圖16；另一個是空間中的一塊立體領域 V，參見圖17。

圖16

圖17

在(19)式中， $\vec k$ 是 Ω 的向外單位法向量；當 Ω 改為空間曲面 S 時， $\vec k$ 就應該改為 S 的向外單位向量 $\vec n$ 。我們可以證明 $\nabla\cdot\vec F$ 與 $\nabla\times\vec F$ 跟二維的情形有類似的解釋。 $\nabla \cdot \vec F(x,y,z)$ 表示單位時間單位體積流體在點 $(x,y,z) \in V$ 的流出通量， $(\nabla \times \vec F) (x , y , z) \cdot \vec n$ 表示單位時間單位體積流體在點 $(x,y,z)\in S$ 的循環量。從而(19)與(20)兩式就推廣為：

定理4： (Gauss 定理，又叫做散度定理，1839年)

設向量場 $\vec F$ 的分量 P,Q,R 及其一階偏導函數皆為連續函數，則

$\begin{displaymath} \int \!\! \int_{\partial V}\vec F\cdot\vec n dA = \int \!\! \int \!\! \int_V(\nabla\cdot\vec F)dv \end{displaymath}$

(31)

其中 $\partial V$ 為圍成 V 之封閉曲面，dV 表示無窮小的體積元。

定理5： (Stokes 定理，又叫做旋度定理，1854年)

在與定理4相同的假設下，我們有

$\begin{displaymath} \oint_{\partial S}\vec F\cdot\vec T ds =\int \!\! \int_S(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n dA \end{displaymath}$

(32)

參見圖16。

在上述中，(31)式與(32)式分別將曲面積分與三重積分，線積分與曲面積分連結起來。若採用直角坐標系來表達，它們分別就是

$\begin{eqnarray*} & & \int \!\! \int_{\partial V} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy \\ & = & \i... ... +{\partial Q\over\partial y}+{\partial R\over\partial z})dxdydz \end{eqnarray*}$

以及

$\displaystyle \int_{\partial S}Pdx+Qdy+Rdz$

$\displaystyle \int \!\! \int_{S}\!({\partial R \over \partial y} - {\partial Q \over \partial z})dydz$

$\displaystyle ({\partial P \over \partial z}-{\partial R \over \partial x})dzdx$

$\displaystyle ({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy$

(33)

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7. 特殊與普遍的互相含納

我們從醉月湖的求面積問題出發，先退到多邊形，再退到三角形，最後更退到一頂點是原點之特殊三角形。此時問題變得很簡單，一下子就解決了。然後開始前進，先是一般三角形，再來是多邊形，緊抓住公式的正確形式，連續化就解決了求醉月湖的面問題。接著順勢推舟，飛躍出 Green 定理，整理成法向式與切向式，再類推、推廣成三維空間的 Gauss 定理與 Stokes 定理，最後統合於廣義的 Stokes 定理。這種解決問題的「退進之道」，在數學中隨處可見。偉大數學家 Hilbert 說得淋漓盡致：「做數學的要訣（或藝術）在於找到含有普遍性的所有胚芽那個特例。」 (The art of doing mathematics consists in finding that special case which contains all the germs of generality.) 三角形的面積公式就是符合 Hilbert 所說的「那個特例」。本文正好可作為 Hilbert 這句名言之腳註。特殊孕育出普遍，充實普遍；普遍又回過頭來照顧特殊，含納特殊。這種特殊到普遍之拾級而上，有機連結，互相啟發與觀照，發人深省。

: 1.蔡聰明：談Heron公式──記一段教學經驗，數學傳播，第十七卷第一期，1993。
: 2.蔡聰明：四邊形的面積，數學傳播，第十七卷第三期，1993。
: 3.蔡聰明：Leibniz 如何想出微積分？數學傳播，第十八卷第三期，1994。
: 4. B. Grunbaum and G. C. Shephard, Pick's Theorem, Amer. Math. Monthly, 150-161, 1993.
: 5. M. J. Crowe, A History of Vector Analysis, Univ. of Notre Dame Press, 1967.
: 6. M. Kline, Mathematical thought from Ancient to modern time, Oxford Univ. Press, 1972.
: 7. D. M. Bressoud, Second year calculus, Springer-Verlag, 1991.