phymath999: 微分與積分求積是求變化率的反運算

Sunday, March 2, 2014

微分與積分求積是求變化率的反運算

微積分基本定理

Fundamental Theorem of Calculus

求面積與體積是一個長期刺激數學發展的古老問題。Eudoxus的窮盡法是求積問題最早的系統化想法，日後的動態窮盡法是更具彈性與威力的求積方法。但是任何窮盡法的缺點是它繁複的步驟、求級數和以及計算極限的困難，大大限制了它的應用範圍。微積分基本定理可以敘述如下：

: 微積分基本定理令 $F(x)=\int_a^x f(x)\;dx$ 則 F^'(x)=f(x) 。且若 G^'(x)=f(x), 則 $\int_a^b f(x)\;dx =G(b)-G(a)$ 。

微積分基本定理的發現，不但使看起來毫不相關的求積與求變化率的問題關連起來，而且從求積問題的歷史來看是一個真正的革命性突破。微積分基本定理的要義，是「求積是求變化率的反運算」；換句話說，經由微分學的系統化發展，許多求積問題經由求變化率的技術，變成遠較各式窮盡法簡單的一種方法，而且可應用的對象更為廣泛。雖然牛頓的老師 Barrow，已經知道微分與積分間的互逆關係，但他不能體會其意義，仍然拘泥於傳統的幾何論證中。真正提出微積分基本定理，並將之發揚光大的，是牛頓與萊布尼茲；歷史上第一個嚴謹的證明，則必須歸功於 Cauchy。