一塊布的邊緣是銅線，銅線恰好構成封閉線圈，而封閉曲線所包圍的曲面就是此布面
第9 章法拉第定律
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電力與電場
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第2 章高斯定律(Gauss's Law)
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第11 章馬克士威方程式
140.130.15.232/student/file/電磁學/11馬克士威方程式.pdf
電偶極electric dipole - 國科會高瞻自然科學教學資源平台 - 國立臺灣 ...
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何謂電位差- 文庫:: 文庫
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第2 章高斯定律(Gauss's Law)
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71
第9 章法拉第定律 周深淵 Formosa University
磁通量
要認識在馬克士威方程式中佔有一個重要角色的法拉第定律，先要認識什麼是磁通量，以前曾介紹過電通量，現在
要認識磁通量，只需將以前的電場E
改為磁場B
即可，假定一開放平面處於均勻磁場中，則定義通過此平面之磁通量
B φ (magnetic flux)為此平面上之磁場B
與該面向量A
的純量積，
cos B φ = B⋅ A = BA θ
(1)
其單位為T ⋅m2 =Wb = 韋伯，由上述可知，當θ > 90°時的磁通量變成負值，如果磁場不均勻，並且是曲面而非平面，
可將該曲面分割成無數塊極微小的平面(簡稱為微面)來探討，由於每一塊微面的範圍極其微小，在此微面上的磁場幾乎
不變，可視為均勻磁場，因此通過此微面之微磁通量B dφ 可以表示為：此微面上之磁場B
與該微面向量dA
的純量積，
dφB = B ⋅ dA = BdAcosθ
(2)
於是，如果一開放曲面處於不均勻磁場中，則可用積分方式將每一微面的微磁通量通通加起來，即得總磁通量，
B = ∫ d B = ∫ B ⋅ dA
φ φ (3)
同樣的，通過一封閉曲面的總磁通量，可以表示為
B B φ = ∫ dφ = ∫ B⋅dA
(4)
由於磁通量常應用在開放平面或曲面上，例如一個線圈所圍的平面，而開放平面的面向量方向有其不確定性，因為垂直
該平面的方向有兩個不確定性，還好科學上有一種常用到的世界統一的規定，可以配合平面或曲面的邊緣的繞轉方向來
選定面向量或微面向量的方向，用右手可判斷的方向，如下圖所示，
圖3a. 側看平面及其面向量與
周圍繞轉方向的關係。
A
圖3b.開放曲面可分割成無數微面，配合周圍之繞轉方向，每
dA
dA
一微面向量之方向雖然有變化，但一致的垂直指出單面。
dA
B
θ
圖2.側看微面，磁場穿過微面造成微磁通量
圖1.側看平面，磁場穿過平面造成磁通量
A
B
θ
72
法拉第定律
想像一下，一塊布的邊緣是銅線，銅線恰好構成封閉線圈，而封閉曲線所包圍的曲面就是此布面，如果空間有磁場
存在，則會有磁通量，有兩種因素可造成磁通量的變化，一種因素是線圈變動，例如此塊布邊緣的封閉曲線可以在立體
空間任意變形、移動、轉動等等，包圍的每塊微面會隨著變動，當然磁通量也會隨著變化，另一種因素是空間磁場變動，
當然磁通量也會隨著變化，有時候兩種因素會同時作用，當然磁通量也會隨著變化。
根據實驗，不管是那種因素造成磁通量的變化，銅線圈都會有電流繞轉，顯然有推動電流的電動勢形成，以前曾學
過電動勢ε 的意義是，對每單位電量q能提供多少能量來作功W ，也就是ε =W q，現在讓我們先來探討，當空間磁場
不變的狀況下，線圈在磁場中變動所造成磁通量的變化，與電動勢有什麼關係？讓我們先探討電動勢，當線圈在磁場中
變動的時候，會帶動其內的電荷q 在磁場B
中以速度v 運動而受力F qv B
= × ，此力推動電荷繞一迴圈所作的總功為
W = ∫ dW = ∫ F ⋅d = ∫ (qv × B) ⋅d
(5)
於是電動勢為
( )
( )
W qv B d v B d
q q
ε
× ⋅= = = × ⋅∫ ∫
(6)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
補充資料：為了進行後續證明，先復習一下要用到的向量數學概念。
以夾角為θ 的兩個向量a 與b
為鄰邊，可形成平行四邊形，如下之平面圖所示，其面積A等於底a乘以高h = bsinθ ，
於是以兩個向量a 與b
為鄰邊所形成平行四邊形的面積可以表示為
A ab a b
= sinθ = × (a-1)
可以附給此塊平行四邊形一個垂直平面的方向，成為面向量A
，恰好為a b
× 的方向，或者是b a
× 的方向。
如果以三個向量為鄰邊，可形成平行立方體，如下之立體圖所示，以a 、b
、c 三向量為鄰邊所形成的平行立方體，
其體積V 為底面積a b
× 乘以高H = c cosϕ ，(當ϕ > 90°時cosϕ < 0 )，於是以三個向量a 、b
、c 為鄰邊所形成的平行
立方體的體積可以表示為
V a b c a b c = × cosϕ = ( × ) ⋅ (a-2)
當然也可以b
、c 為鄰邊所形成的平行四邊形當底面，獲得體積為V b c a
= ( × ) ⋅ ，同理，也可以c 、a 為鄰邊所形成的
平行四邊形當底面，獲得體積為V c a b
= ( × ) ⋅ ，於是
a b c b c a c a b
( × ) ⋅ = ( × ) ⋅ = ( × ) ⋅ (a-3)
θ
b
h = bsinθ
a a b ×
a
b
b × a
b
a
a
a ×b
b
c
c cosϕ = Hϕ
73
由上圖的相對方向可以看出來，上式三個絕對值中的值， a b c ( × ) ⋅ 、b c a
( × ) ⋅ 、c a b
( × ) ⋅ ，只要按循環順序，則其值
應該同號，不是全部為正值，就是全部為負值，於是可以將上式的絕對值符號去掉，變成
a b c ( × ) ⋅ b c a
= ( × ) ⋅ c a b
= ( × ) ⋅ (a-4)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
接下來，再讓我們來詳細分析線圈在磁場中變動所造成磁通量的變化，如下圖所示，當線圈中的一個微線段向量d 以速
度v移動了微量時間dt，則臨接此段之微面向量dA
的變化量為d(dA) = dt v × d ，造成邊緣這塊微面的微磁通量的變化
為
d d B d B dA B dt v d dt v d B dt d v B
( φ ) = ( ⋅) = ⋅( × ) = ( × ) ⋅= −( × ) ⋅(7)
可利用向量的數學關係式a b c( × ) ⋅b ca= ( × ) ⋅c a b
= ( × ) ⋅將式7轉變為
d(dφB ) = −dt(v × B) ⋅d (8)
除了臨接邊緣的那些微面之微磁通量dφB的變化d(dφB )如上式所示以外，中間那些微面之微磁通量dφB的變化d(dφB )為
零，於是將整個封閉曲面所包圍曲面的d(dφB ) 全部積分(加)起來，可得
( ) ( ) ( ) B ( )
B B
d d dt v B d d dt v B d d v B d
dt
φ
φ φ
−∫ = −∫ × ⋅⇒ = −∫ × ⋅⇒ = ∫ × ⋅(9)
比較式6 及9，可得
dt
dφB
ε
−= (10)
上式就是有名的法拉第定律，雖然是經由特殊的狀況所得到的結論，也就是說在空間磁場不變的狀況下，電動勢等於線
圈在磁場中變動所造成磁通量的變化率的負值，不過，根據實驗，此定律適用於所有能造成磁通量變化的狀況，例如導
體線圈固定不變動的狀況下，只要空間的磁場變化，也會有磁通量的變化，而實驗時也確實有電流繞轉，可見有推動電
流的電動勢存在，被推動的自由電荷到底受到什麼力量推動呢？以前曾學過，電荷q 可能受兩種力量作用，一種是電場E
的作用力，電力E F = qE
，另一種是在磁場B
中以速度v運動而受到的作用力，磁力B F = qv × B
，兩種力量合稱為羅侖
茲力，
E B F = F + F = qE + qv × B
(11)
在此狀況中，最開始的時候，線圈並沒有變動來帶動內部自由電荷在磁場B
中以速度v運動，所以顯然電流的形成不是
起因於磁力qv × B
，那麼只有剩下唯一的原因，也就是起因於電力qE
了，有電力qE
必有電場E
存在，顯然空間磁場的
「變化」形成了電場，此電力推動電荷繞一迴圈所作的總功為
W = ∫ dW = ∫ F ⋅d = ∫ qE ⋅d
(12)
於是電動勢為
W qE d E d
q q
ε
⋅= = = ⋅∫ ∫
(13)
當然有了電流以後，沿導線流動的電荷也會受到磁力qv × B
作用，但此時的磁力方向是垂直於流動的速度v方向，也就
是垂直於導線的方向，是無法推動電流的。
有時候，上面兩種狀況是混在一起的，也就是說不但導線圈變動，空間的磁場也在變化，磁通量當然會變化，形成
圖4.線圈在磁場中變動造成磁通量變化分析圖
d
d (dA) = (v dt) × d
dA
d
轉繞
正
方
向vdt
74
推動電流之電動勢，不但有磁力在推動，也有電力在推動，其實，在不同的座標來看，所佔的比例是不同的，例如以
站在地面座標的角度來看，一般發電廠是讓導線圈在磁鐵所構成的磁場中轉動，有了磁通量變化，有了電動勢，有磁力
qv B
× 在推動，而認為磁鐵在空間構成的磁場沒變，也沒電場在造成推力，可是同樣一件事，若站在固定於導線圈的座
標來看話，會認為線圈是相對不動的，因此並沒有因線圈帶動電荷在磁場中運動而受磁力，反而是整個地球及磁鐵都在
繞著它旋轉，空間磁場當然在變化，也就有了磁通量變化，有了電動勢，完全是磁場的變化所形成的電場在推動電流，
哇！同一個有電動勢推動電流的事件，不同座標看到的推力竟然完全不同，一個認為是磁力qv B
× 在推動，電動勢是
ε = ∫ (v × B) ⋅d
(14)
另一個卻認為是電力qE
在推動，電動勢是
ε = ∫ E ⋅d
(15)
看法竟然是南轅北轍，不過，大家也都承認『有電動勢ε 』，顯然上兩式的右邊雖然形式不同，但有其等效性，等於等號
左邊的電動勢ε ，另外，大家也都承認『磁通量在隨時間變化』，而且前面式9 已證明了在空間磁場不變狀況下，導線圈
變動所造成的電動勢ε 為
( ) B v B d d
dt
−φ
∫ × ⋅=
(16)
那麼，基於同一事件的等效性，從上三式可知，在導線圈不變動的狀況下，空間磁場變化所造成的電動勢ε 應該為
B E d d
dt
−φ
∫ ⋅=
(17)
這就是有名的馬克士威方程式之一，事實上，這狀況正好符合了一般的積分路徑是固定不動的。由上式配合對稱性，可
以推論出下圖的關係，
由上圖可以看出，當長直螺線管的電流逐漸變大的時候，管中的磁場會逐漸變大，通過截面的磁通量也會逐漸變大，而
在管外距軸心r 的圓圈處，所形成的感應電場，根據式17 可知，可以用有正負值之分的純量符號表示為
2
B E d
r dt
φ
π
−= (18)
其正負值的判斷，可根據右手定則，例如就上右圖來說，電場E 逆時針繞轉為正，順時針繞轉為負，而磁場B 垂直指出
圖面為正，垂直指進圖面為負。上式可進一步改寫為
( 2 ) 2
2 2 2
B E d d B R R dB
r dt r dt r dt
φ π
π π
−−−= = = (19)
當然，上圖之電流若是逐漸變小的時候，管中的磁場會逐漸變小，通過截面的磁通量也會逐漸變小，而在管外距軸心r 的
圓圈處，所形成的感應電場的方向當然也會相反，如下圖所示，不過，式18 還是適用。
B i漸增,B漸增,φ 漸增
從上順著軸線往下看
B
R r
E
E
E
E
E 形成感應電場
圖5.磁場或磁通量變化形成感應電場
2
2 2
B E d R dB
rdt r dt
φ
π
−−= =
E
E
E
E
i
i
R
r
B
75
式 10 是單圈的公式，如果像導線繞成螺線管，繞的很緊密，長度又相當長，則管中的磁場相當均勻，每一導線圈的
磁通量若為φB，繞了N 圈的總磁通量就是NφB，就算不是每圈的磁通量皆相同，我們也可用NφB來代表總磁通量，於
是可變成
dt
d(NφB )
ε
−= (20)
例1：如下圖，均勻磁場的方向垂直指出圖面，有一面積為3m2的橢圓形導線圈恰在圖面上，當磁場的大小在5秒內，
從0.5T 均勻的增大為80.5T ，則(a)導線圈感受到的電動勢為何？ (b)感應電流繞轉方向為何？
解：(a) ( ) (80.5 0.5) 3 48( )
5
B d dBA dBA
dt dt dt
φ
ε
−−−−−= = = = × =−伏特，(b) 順時針繞轉
說明：一般沒特別聲明的話，是令逆時針為繞轉正方向，上面ε 算出來是負值，代表推動電流往順時針方向繞轉，而面
向量的方向要配合繞轉方向，可用右手定則判斷，如圖中所示的面向量的方向是垂直指出此圖面。當磁場恰好與
面向量只有同向或反向之分時，也可用正負值來表示方向。當然也可用如下將B 看成只是大小之解法：
( ) ( cos0) ( ) (80.5 0.5) 3 48( )
5
B d dBA dBA dBA dBA
dt dt dt dt dt
φ
ε
−−⋅−° −−−−= = = = = = × =−伏特
例 2：如下圖，均勻磁場的方向垂直指進圖面，有一面積為8m2的橢圓形導線圈恰在圖面上，當磁場的大小在4秒內，
從0.8T 均勻的增大為60.8T ，則導線圈感受到的電動勢為何？感應電流繞轉方向為何？
解：
( ) [ 60.8 ( 0.8)] 8 120( )
4
B d dBA dBA
dt dt dt
φ
ε
−−−−−−−= = = = × = 伏特， 逆時針繞轉
說明：上面是用正負值來表示磁場的方向，也可用如下將B 看成只是大小之解法，
( ) ( cos180 ) ( ) 60.8 0.8 8 120( )
4
B d d B A d BA d BA dB A
dt dt dt dt dt
φ
ε
−−⋅−° −−−= = = = = = × =
伏特
例 3：如下圖，長直圓柱形的均勻磁場垂直穿出圖面，圓形截面的半徑為R = 2m，當磁場的大小在5秒內，從4T 均勻的
增大為84T ，則離軸心r = 3m處的感應電場為何呢？
B B
圖6.磁場或磁通量變化形成感應電場
B i漸減,B漸減,φ 漸減
形成感應電場E
2
2 2
B E d R dB
rdt r dt
φ
π
−−= =
E
E E
E
i
i
R
r
B
從上順著軸線往下看
r
E
E
E
E
R
B
76
解：
( 2 ) 2 22 (84 4) 10.7 ( )
2 2 2 2 3 5
B E d d B R R dB V
r dt rdt rdt m
φ π
π π
−−−−× −= = = = ≈−× ×
，負值代表順時針繞轉
運動電動勢
由式 6 可知，線圈中的任一微線段向量d 以速度v在磁場B
中運動時，會形成微量的電動勢dε ，
dε = (v × B) ⋅d (21)
由此可推論出，如果一直線段向量以速度v在均勻磁場B
中運動時，形成的電動勢ε 為
ε = (v × B) ⋅(22)
例4：如下圖，實驗室中的均勻磁場為8T 向天上，有一條長3m的線段，成水平，東偏北30°方向，以5m s向東的速度
移動，求a端與b端的電位差Vab = Va −Vb = ?那一端的電位較低？
解： v × B = v Bsin90° = 5×8×sin 90° = 40
60( )
2
( ) cos120 40 3 1 = −伏特
−= = × ⋅= × ° = × ×
Vab ε v B v B
a 端的電位較低
電感
如果將導線做成螺線管的形狀，通電流的時候，會在管中形成磁場，如果螺線管繞的緊密，長度又相當長，則管中的磁
場相當均勻，每一導線圈的磁通量若為φB，繞了N 圈的總磁通量就是NφB，就算不是每圈的磁通量皆相同，我們也可用
NφB這個組合符號來代表總磁通量，此總磁通量會跟電流成正比，NφB ∝ i，也就是
B Nφ = L i (23)
定義此比例常數L 為此電感器的自感(self-inductance)，通常會簡稱為電感(inductance)
B L N
i
φ
= (24)
自感是起源於螺線管自身的電流所形成磁場，並造成自己線圈面的總磁通量，如果是起源於不同螺線管的電流，例如第
1 螺線管的電流1 i 所形成磁場1 B
，造成第2 螺線管線圈面的總磁通量
2 2B1 N φ ，則
2 2B1 21 1 N φ = L i (25)
定義此比例常數21 L 為電感器2 相對於電感器1 的互感(mutual inductance)，同樣的，第2 螺線管的電流2 i 所形成磁場2 B
，
也會造成第1 螺線管線圈面的總磁通量
1 1B2 N φ ，則
1 1B2 12 2 N φ = L i (26)
定義此比例常數12 L 為電感器1 相對於電感器2 的互感， 12 L 與21 L 會相等，這有點類似作用與反作用的關係。
30° va
b B
東
北
B 30° va
b
東
北
v ×B
B
R
r
77
電感的單位是韋伯安培=Wb A = H =亨利，其電路圖中的符號像下圖螺線圈的形狀
例如前章所描述的長直螺線管，若截面積為A，總長為，共繞了N 圈，電流i 流通，其內的磁場大小為
B = μ0 N i = μ0ni
(27)
其中
n = N 是繞轉線圈數的線密度，螺線管每單位長度繞多少圈的意思。於是每一圈的磁通量φB為
φB = BA = μ0 N i A = μ0ni A
(28)
共繞了N 圈，所以總磁通量NφB為
N B NBA N i A n i A
2
0
2
φ = = μ0 = μ (29)
於是獲得截面積為A，總長為，共繞了N 圈的長直螺線管的電感為
N A n A
i
L N B 2
0
2
μ0 μ
φ
= = = (30)
如果我們將式23 代入式20，可得電感為L 的電感器在電流變動時所形成的電動勢為
dt
L di
dt
d N B = −−= ( ) φ
ε (31)
由上式中的負號可知，當往正方向的電流變大時，會有往負方向推動的電動勢反抗變化，造成負方向那一端為高電位。
當往正方向的電流變小時，ε = −Ldi dt 為正值，會有往正方向推動的電動勢ε 反抗變化，造成正方向那一端為高電位。
其它電子元件也有類似的反抗效應，例如蓄電池會反抗充電流，電阻會反抗電流流暢，電容器會反抗電流充電。
例 5：如下電路圖，電感器之電感為7 亨利，當可變電阻逐漸變小而電流隨時間均勻增加，4 秒內從1.2 安培變到9.2 安
培，求b點與a點的電位差Vba = ?那一邊的電位較高？
解：
7 (9.2 1.2) 14 ( )
b a ba 4
V V V L di
dt
ε
−−= = = −= −× = −伏特， a 點的電位較高。
磁場的能量
i
a b
圖7.電感器在電路圖中的符號
圖9.當電感器的電流變化時，會有反抗的電動勢，在兩端形成電位差
L ε
−+
i 變小
圖8.當電感器的電流變化時，會有反抗的電動勢，在兩端形成電位差
L ε
+ −i 變大
L ε
+ −i 變大
圖10.比比看，各種電子元件的反抗電動勢
b ε
+ −充電流i
R ε
+
i
−C ε
i
+ −蓄電池會反抗充電流電阻會反抗電流流暢電容器會反抗充電電感器會反抗電流變化
78
當電流i 通過電感為L的長直螺線管電感器的時候，管中會有均勻的磁場形成，每圈會有磁通量φB，整個螺線管也有
總磁通量NφB = Li，當電流改變的時候，磁場會變化，磁通量會變化，當然也會有反抗變化的電動勢ε = −L(di dt)出現，
於是外界必需作電功，硬著克服反抗將電流變大，這樣會對長直螺線管電感器作正功，也就是供應能量給此系統，那麼
從電流為零，逐漸變大為i ，總共要作多少電功呢？可運用以前學過的電功率P = dW dt = iV 的概念來計算，
L
dW Pdt iV dt iL di dt Li di
dt
= = = = (32)
於是總功為
2
0
0
1 1
2 2
i
i W = ∫ dW = ∫ L i di = L i = L i (33)
也就是說從電流為零，逐漸變大為i ，外界對電感器總共作電功為0.5L i2，對一個系統作正功就是供應能量給它，那麼
電感器獲得的能量U 就是
2
2
U = 1 L i (34)
沒有電流時，管中沒有磁場，電流愈來愈大時磁場也愈來愈大，顯然這些能量以磁場的形式顯現出來，那麼如何找出能
量與磁場之間的關係呢？可將上式先改寫為
L
NBA
L
N
L
U L i Li B
2
( )
2
( )
2
( )
2
1 2 2 2
= 2 = = =
φ
(35)
然後再將式30 的L 值代入上式，可得
B A
N A
N B A
L
U NBA
0
2
2
0
2 2 2 2
2
2
2
( )
μ
μ
= = = (36)
上式等號右邊的A是長直螺線管中均勻磁場的體積，將它除到左邊，可得磁場的能量密度uB為
0
2
2μ
B
A
u U B = =
(37)
這個公式恰好是對應於以前學過的電場的能量密度2 2
uE = ε 0E ，是相當重要的概念。
例 6：某一電感為8H 的電感器，通以電流3A ，則此電感器所含有的磁能為何？
解： 2 2 1 1 8 3 36( )
2 2
U = Li = × × = J
例 7：真空中某處有20T 北偏西30° 的均勻磁場，求該處磁場的能量密度。
解：
2 2
8
7 3
0
20 1.59 10 ( )
2 2 4 10 E
u B J
μ π −m = = ≈×
× ×
例 8：某一體積為5m3的區域有4T 南偏東30°的均勻磁場，求該區域磁場所含有的能量。
解：
2 2
7
7
0
4 5 3.18 10 ( )
2 24 10 B
U u V B V J
μ π −= = = × ≈×
× ×
電感器的增流與減流
除非是超導體，否則任何電路都有電阻存在，因此當電感器增加電流或減小電流的時候，避免不了有等效串聯電阻
L
L di V
dt
ε =−=−11. L L 圖電感器因電流欲變大而有反抗的電動勢ε = −L di dt = −V 形成端電壓V
i變大
79
的影響，以下將分析之。
如下左圖，原先無電流，當時間t = 0時，將線路開關接通，則電流i 、電位差V 隨時間t 變化之情形為何呢？
當線路開關一接通，則電流i 從零開始增加，電阻兩端當然會有端電壓R V ，電感也會形成反抗電流變化的電動勢，造成
如上右圖所示的端電壓L V ，根據克希荷夫迴路定律，可列式並發展如下，
0 b R L ε −V −V =
0 b
Ri L d i
dt
ε −−=
b
d i dt
ε Ri L
=
−0 0
i 1 t 1
b
d i dt
ε Ri L
=
−∫ ∫
0
0
1 ln( ) 1
i
t
b Ri t
R L
ε
−−=
1 ln( b )
b
Ri t
R L
ε
ε
−−= ( ln x ln y ln( x )
y
∵ −=
ln(1 )
b
Ri R t
ε L
−−=
1
Rt
L
b
Ri e
ε
−−=
i b (1 e t (L R) )
R
ε −= −(38)
i b (1 e t L )
R
= ε −−τ (39)
上式中的L
L
R
τ = 稱為RL 電路的時間常數(time constant)，
由上圖可以看出，電感器的電流變大到飽和的電流b ε R是要花時間的，經過L τ = L R 的時間才達飽和的63.2%，經過2 L τ
的時間達飽和的86.5%，經過3 L τ 的時間達飽和的95.0%，經過4 L τ 的時間達飽和的98.2%，經過5 L τ 的時間達飽和的
b ε
R
L
圖12.
R
L
圖13.
b ε L
V L d i
dt
=
+
−i R V = Ri
+ −(L R)
i
( ) b ε R
1 2 3 4 5 6
0.632
0.865 0.950 0.982 0.993 0.998
t
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
14. RL i b (1 e t (L R) )
R
ε 圖電路通電時，電流隨時間變化圖= −−80
99.3%，毽毽?，理論上若要達100%是要等無窮長的時間。這跟電容器的充電需要花時間有點類似，不過，電感器的狀況
是，當電阻R 愈大時，反而能夠愈快接近飽和電流，奇怪嗎？其實沒什麼好奇怪的，因為當電阻R 愈大時，飽和的電流
ε b R就愈小，當然就更容易快點接近囉。
既然電感器的電流i 已解出，則端電壓L V 就順理成章從公式L V = Ldi dt 可得
t (L R) t L
L b b V =ε e−=ε e−τ (40)
剛剛是探討電路接通的變化，現在來探討電路突然拔斷的狀況，如下圖線路，原先有穩定電流，電感器的總磁通量B Nφ = Li
為定值，沒有變化，就沒有端電壓， L V 為零，將線路開關突然拔開，則會有什麼事情發生呢？
將線路開關拔開的瞬間，電流有突然降為零的趨勢，電感器會有反抗變化的電動勢ε = −Ldi dt 形成，理論上，若
d i dt → −∞ ，則此反抗的電動勢會趨近於無窮大，ε → ∞ ，這樣會造成電感器的端電壓趨近無窮大， L V → ∞ ，根據克
希荷夫迴路定律，
0 b open R L ε −V −V +V = (41)
0 b open R ε −V −V + ∞ = (42)
由於電池的電動勢b ε 是有限值，電阻的端電壓R V = Ri 也是有限值(電流i 從有限值降至零)，因此若上式要成立，則
open V → ∞ (43)
拔開瞬間，缺口處的端電壓open V → ∞ ，就會形成極強的電場，使該處的空氣游離而導電，於是產生火花放電，也順便將
電感器中磁場所含有的能量釋放掉。一般電器都難免有電感的組成元件，例如變壓器，因此以後你若進入一間瓦斯漏氣
的房子，千萬別馬上隨便關掉任何電器，否則恐怕產生火花，接著爆炸，．．．．．．．．
15. t (L R)
L b 圖RL電路通電時，電感器端電壓隨時間變化圖V =ε e−L V
( ) b
ε
1 2 3 4 5 6 (L R)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
t
0.368
0.135 0.050 0.018 0.007 0.002
0 L V =
R V = Ri
圖16.有穩定電流的RL電路尚未斷路時
R
b L ε
+ −i
圖17.原有穩定電流的RL電路突然斷路
open V
L V → ∞
R V = Ri
+
R −b L ε
+ −i
+
−圖18. RL電路突然斷路之瞬間會產生跳電火花
open V → ∞
+
−L V → ∞
R V = Ri
R
b L ε
+ −i
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