tw01 emchapt01 在一個孤立系統中，任何反應發生前後的淨電荷是不變的(電量的總和不變)，這就是電荷守恆定律(law of conservation

在一個孤立系統中，任何反應發生前後的淨電荷是不變的(電量的總和不變)，這就是電荷守恆定律(law of conservation

of charge)。
http://140.130.15.232/student/file/%E9%9B%BB%E7%A3%81%E5%AD%B8/01%E9%9B%BB%E8%8D%B7%E3%80%81%E9%9B%BB%E5%8A%9B%E8%88%87%E9%9B%BB%E5%A0%B4.pdf

1

 

電磁學

 

周深淵 虎尾科技大學

 

前言

 

電磁學，顧名思義，是跟電與磁有關的學問，集其大成者為馬克士威(James Clerk Maxwell, 1831−1879)，如果你學過

電磁學，對馬克士威方程式(Maxwell’s equations)連一點概念也沒有，顯然是在鬼混，馬克士威方程式總共有四個方程式，

可以兩種不同的形式展現，一種是積分形式(integral form)，另一種是微分形式(differential form)，分別適用於巨觀

(macroscopic view)與微觀(microscopic view)的分析，先將這兩種形式列出來，讓大家先睹為快，初學者現在看不懂是很

正常的事，以後會慢慢證明，先列出馬克士威方程式的積分形式，

 

0

 

E dA q

  

ε

 

∫ ⋅ =

􀁇 􀁇

 

􀁶

 

∫ B⋅dA = 0

􀁇 􀁇

 

􀁶

 

B E d d

d t

  

− φ

∫ ⋅ =

􀁇 􀁇

 

􀁶 􀁁

0 00 E B d i d

d t

  

φ

 

∫ ⋅ = μ +μ ε

􀁇 􀁇

 

􀁶 􀁁

再列出馬克士威方程式的微分形式，

 

0

 

E

  

ρ

ε

 

∇ ⋅=

 

􀁇 􀁇

 

∇⋅B = 0

􀁇 􀁇

 

E B

t

  

−∂

∇ × =

∂

 

􀁇 􀁇 􀁇

 

0 00 EB j

t

  

μ μ ε ∂

∇ × = +

∂

 

􀁇 􀁇 􀁇 􀁇

 

在此特別強調一點是，雖然電磁學最後的精髓只有簡潔的四個方程式，但想要靈活運用它們，你必須知道它們是怎麼推

論出來的，從推論過程也可以學到一些重要概念並掌握一些解決問題的技術，就像學習數學，或許有些地方會很枯燥，

很抽象，可能會讓人覺得學起來有什麼用呢？然而養兵千日，用之一時，只有平時紮實的訓練，甚至於需要時間的消化，

才能在問題出現之前就豁然開朗，微笑以對，不，樂歪以對。

 

2

 

第1 章電荷、電力與電場 周深淵 虎尾科技大學

電荷(Electric Charge)

物質是由原子(atom)所構成，原子大致上像一顆球，球心有帶正電的原子核(atomic nucleus)，外圍有帶負電的電子

(electron)在繞轉，原子核裡面含有兩種顆粒，一種是帶正電的質子(proton)，另一種是電中性(不帶電)的中子(neutron)，例

如氦的原子核中含有兩個質子及兩個中子，質子與中子也有個共同的名稱是核子(nucleon)，這有點像女孩與男孩有個共

同的名稱是小孩一樣。質子數(proton number)或原子序(atomic number)相同而中子數(neutron number)不同的稱為同位素

(isotope)，例如氫(hydrogen, H)的原子核裡只有一個質子，沒有中子，其同位素之一，氘(deuterium) 的原子核裡除了有一

個質子以外，還有一個中子，另一同位素，氚(tritium)的原子核裡除了有一個質子以外，還有兩個中子。

如圖1所示，原子的直徑大約為若干埃(Å=10−10m )，例如氫原子的直徑約為1.06 Å，氡(radon, Rn)原子的直徑約為

2.4 Å，銫(cesium, Cs)原子的直徑約為5.96Å，原子核的直徑大約為若干費米( fm = fermi = 10−15m = 10−5 Å)，大致上可用如

下之公式去計算其半徑，

 

1 3

 

0 r = r A 其中 15

0 r = 1.2×10− m = 1.2 fm (1)

其中A 代表該原子的質量數(mass number)，又稱為核子數(nucleon number)，也就是質子數與中子數的總和，由此可見原

子核只占整個原子體積的一極小部分，大約為10 的15 次方分之1，但大部分的質量卻集中於此(參閱表1)，而質量只佔

整個原子極小部分(大約四千分之一)的電子們，繞著原子核旋轉，分佈的空間相當於整個原子的大小。如果將整個原子

放大成教室這麼大(長、寬約10米)，那麼原子核就在教室空間的正中心處，也依同比例放大成大約直徑為10米×10−5

= 10−4米= 0.1 毫米，比螞蟻還小，其它廣大的空間，幾乎是空的，只散佈幾粒質量微小的電子在繞轉，因此對於不帶電

的微小顆粒，例如中子彈所釋放出來的大量中子，很容易穿越。

 

表1. 構成原子之三種粒子的一些資料

粒子名稱 符號 帶電量 質量

 

電子(electron) e −e ≈ −1.6021765×10−19C 9.109382 10 31 em ≈ × − kg

質子(proton) p e ≈1.6021765×10−19C 1.672622 10 27 1836 p e m ≈ × − kg ≈ m

中子(neutron) n 0 1.674927 10 27 1839 n e m ≈ × − kg ≈ m

自然界穩定存在的基本電荷(elementary charge)有兩種，一種是質子，帶電量為e，另一種是電子，帶電量為−e，其

中

 

e ≈1.6021765×10−19C 或 C =庫侖≈ 6.2415096×1018e (2)

當學習分析問題的時候，通常會從最簡單的狀況開始，甚至於將問題簡化或理想化，於是會出現點電荷(point charge)

這個名稱，點電荷是體積趨近於零而為一點的電荷，事實上，就算是基本電荷，其體積也不可能為零，但為了理論基礎

 

原子核直徑≈費米= fm =10−15m

原子直徑≈埃= A=10−10m

圖1.原子與原子核的大約尺寸

3

 

的建立起見，開始選用『理想的』點電荷來探討，依此基礎，後面將可推論出，球面均勻分佈的電荷，在球面外來感受

其作用時，就好像所有的電荷皆集中在球心一樣，所以視之為點電荷也算蠻實際的。

 

一個系統的內部可能分佈有電性不同的正、負電荷，其總代數和稱之為淨電荷(net charge)，相當於正負抵消後留下

來的多餘電荷，可能為正，也可能為負。

 

在一個孤立系統中，任何反應發生前後的淨電荷是不變的(電量的總和不變)，這就是電荷守恆定律(law of conservation

of charge)。例如絲絹與玻璃棒摩擦時，玻璃上的一些電子跳至絲絹，使得絲絹因多了電子而淨電荷為負(帶負電)，但玻

璃也因少了電子而淨電荷為正(帶正電)，一少一多，總淨電荷不變，類似的，毛皮與塑膠棒摩擦後，毛皮帶正電，塑膠

棒帶負電。又例如高能量的γ 射線中之一顆光子(photon)在恰當的條件下可以消失，轉變為質量相同的一個電子e− 與一個

正電子e+ (positron，帶電量為e ，是電子e− 的反物質)，

γ →e− + e+ (3)

在此反應前後之淨電荷皆為零，無中生有一個負電荷，也必附帶無中生有一個正電荷。反過來，一個電子與一個正電子

也極易經由相互湮滅過程(annihilation process)而消失，轉變為兩顆反向離開的光子，

 

e−+ e+ →γ +γ (4)

同樣的，此反應前後之淨電荷皆為零。

 

庫侖定律

 

根據實驗分析，「靜態時，點電荷間之交互作用力的大小，與帶電量的乘積成正比，與距離的平方成反比，力的方向沿著

 

兩者的連線，同性電相斥，異性電相吸。」以上描述稱為庫侖定律(Coulomb's law)，如圖2 所示，以21 F

􀁇代表帶電量2 q 之

點電荷受到帶電量1 q 之點電荷的作用力， 21 r􀁇代表電荷2 q 相對於電荷1 q 的相對位置， 21 r 代表電荷2 q 與電荷1 q 的距離， 21 ˆr

代表從電荷2 q 指離電荷1 q 的單位向量，也就是21 21 21 r􀁇= r rˆ，則庫侖定律的數學形式可以表示為

1 2

21 2 21

21

 

F kq q rˆr

=

 

􀁇(5)

其中的比例常數k，稱之為靜電常數(electrostatic constant)，其值約為

2 2

9 9

 

2 2 k 8.98755178736818 10 N m 9 10 N m

C C

  

⋅⋅≈× ≈× (6)

為了以後會推論出較常用方程式的簡潔起見，而將k 改寫為

0

 

1

4

 

k

  

π ε

 

= (7)

其中的常數0 ε 稱之為自由空間的電容率(permittivity of free space)，或稱之為真空的電容率(permittivity of vacuum)，其值

約為

 

2

12

 

0 2 8.85418781762 10 C

N m

  

ε ≈× −⋅(8)

因此，式5 可以改寫為

 

1 2

21 2 21

0 21

 

ˆ4

 

F q q r

  

π ε r

=

 

􀁇(9)

21 ˆr

21 21 2 1 21 r rˆ= r􀁇−r􀁇= r􀁇12 ˆr 12 21 F = −F

􀁇􀁇1 q

2 q 21 F

􀁇圖2

2 r􀁇1 r􀁇21 rˆ：2指離1的方向

12 rˆ：1指離2的方向

21r􀁇2 1 ： 相對於的位置

21 F 2 1

􀁇： 受到的力

12 F 1 2

􀁇： 受到的力

4

 

有作用力21 F

􀁇，當然也有反作用力12 F

􀁇，大小相等，方向相反，也就是q1受到q2的作用力F1 2 = −F21

􀁇􀁇，

1 2 1 2

12 2 12 2 21 21

12 21

 

F kq q rˆkq q ( rˆ) F

r r

  

= = −=−􀁇􀁇(10)

或者是

 

1 2 1 2

12 2 12 2 21 21

0 12 0 21

 

ˆ( ˆ)

4 4

 

F q q r q q r F

  

π ε r π ε r

= = −= −􀁇􀁇(11)

其中的12 r 與12 ˆr 就如同前面的21 21 21 r􀁇= r rˆ中的21 r 與21 ˆr ，也就是12 12 12 r􀁇= r rˆ， 12 r􀁇代表電荷1 q 相對於電荷2 q 的相對位置，

12 21 r􀁇= −r􀁇， 12 r 代表電荷1 q 與電荷2 q 的距離， 12 21 r = r ， 12 ˆr 代表從電荷1 q 指離電荷2 q 的單位向量， 12 21 rˆ= −rˆ，如果以純量符

號代表向量，以正負值來分辨方向，例如以F 代表帶電量2 q 及1 q 之點電荷間的交互作用力，正值代表排斥，負值代表吸

引，另外，因為12 21 r = r ，可以簡化為用r來代表兩點電荷間之距離，則式5、9可以分別改寫為

1 2

2

 

F k q q

r

  

= (12)

1 2

2

 

0 4

F q q

  

π ε r

= (13)

例1： 1 q = 4C， 1

r􀁇= (2iˆ−3 ˆj + 4kˆm， 2 q = −6C ， 2

r􀁇= (6iˆ+ 5 ˆj −kˆm ，則電荷2 受到1 之電力21 F

􀁇的的大小及方向為何呢？

解： 21 2 1

r􀁇= r􀁇−r􀁇= 4iˆ+ 8 ˆj −5kˆ， 21 r = 16 + 64 + 25 = 105

21 F

􀁇的大小為

9 9 9

1 2 9

21 2 2

21

 

9 10 4 ( 6) 216 10 72 10 2.06 10 ( )

( 105) 105 35

 

F kq q N

r

  

× × × −× ×

= = = = ≈×

 

21 F

􀁇的方向為2 指向1 的