電磁學
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第7 章磁場
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第2 章高斯定律(Gauss's Law)
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電子工程系 - 102學年度大學校院一覽表
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學術專長及研究
水瑞鐏
壓電元件(通訊元件感測元件) 半導體薄膜光
吳添全
微結構製程低溫電磁性量測超導磁性
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電力與電場
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第2 章高斯定律(Gauss's Law)
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第11 章馬克士威方程式
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phymath999: Gauss01 tw01 em01 開放曲面可分割成無數微面，配合 ...
phymath999: tw01 emchapt01 在一個孤立系統中，任何反應發生前後 ...
101
第11 章馬克士威方程式 周深淵 Formosa University
位移電流
前面學過的安培定律∫ B⋅d = μ0i
，只考慮到實到實際的電流i 所形成的磁場B
，然而當空間的電場變化時也會有磁場形
成，那麼變化的電場相當的等效電流為何呢？可考慮如下圖的狀況，
將帶電流i 之導線中的一極微小段以缺口來取代，並讓電流持續流動，則缺口兩邊的電荷q與−q逐漸變化，此缺口就像
前面學過的平行板電容器一樣，當充電時在兩板間會有均勻的電場E
，且其電場的大小可以表示為
0
E q
ε A
= (可直接利用高斯定律證明此式) (1)
其中A是導線的截面積，也就是缺口平行板電容器的板面積，而其帶電量q 與電流i 應滿足如下之關係，
i dq
dt
= (2)
將式1 代入2 得
0
0 0
( ) ( ) E i dq d EA d EA d
dt dt dt dt
ε φ
= = =ε =ε (3)
其中φE = EA是缺口處截面的電通量，根據實驗，空間變化的電場確實會讓測試的磁針改變偏轉方向，就好像磁針在電
流線附近很明顯會感受到磁場之作用力一樣，因此雖然缺口處並沒有實際的電流，但確實有變化的電場存在，當然也有
變化的電通量，此「變化的」電場就相當於有一等效電流，稱之為「位移電流(displacement current)」，以符號id 代表之，
根據上圖，此等效電流id 恰好在缺口處用來取代原來實際的電流i ，也就是id 應該等於i ，
0
E
d
i i d
dt
φ
= =ε (4)
由於因為電場變化而有的位移電流id 也會在空間形成磁場，於是原先的安培定律0 ∫ B⋅d = μ i
必需擴充為
0( )d ∫ B⋅d = μ i + i
(5)
將式4 代入5，即得
0 00 E B d i d
dt
φ
∫ ⋅ = μ +μ ε
(6)
此擴充後的安培定律，稱之為安培-馬克士威方程式(Ampere-Maxwell equation)，是馬克士威方程式之一。
磁學的高斯定律
以前學過電的高斯定律
0
E dA q
ε
∫ ⋅ =
，是說任何封閉曲面的總電通量等於包圍的淨電量除以真空中的電容率，在前面
應該證明及解說得相當詳盡，現在要探討磁的高斯定律，也就是說任何封閉曲面的總磁通量∫ B⋅dA = ?
答案應該是
圖1.電場變化的等效電流分析圖
+q −q
i dq
dt
=
i dq
dt
=
E
102
∫ B⋅dA = 0
(7)
也就是說，任何封閉曲面的總磁通量等於零，這個公式恰好跟
0
E dA q
ε
∫ ⋅ =
有一對一得對應，因為在我們這個宇宙還沒有
發現磁荷的存在，所以∫ B⋅dA = 0
，此式在等號的右邊為零，如果在其它宇宙有磁荷存在，那麼在那邊∫ B⋅dA = 0
就要
改寫為類似m
m
B dA q
k
∫ ⋅ =
，其中m q 代表封閉曲面所包圍的磁量(名稱類似電量)，而m k 是一個常數，由於某一電荷q 在空
間構成的電場公式是r
r
E q ˆ4 2
πε 0
=
，那麼，根據對應，某一磁荷m q 在空間構成的磁場公式應該是2 ˆ4
m
m
B q r
π k r
=
，以此
為基礎，參考電的高斯定律的證明，只需將E
、0 ε 、q 分別用B
、m k 、m q 取代，即可正明出m
m
B dA q
k
∫ ⋅= ，由於在我們
這個宇宙，還沒發現磁荷，所以公式就變得簡化多了。
馬克士威方程式(Maxwell’ Equations)
至此，已經全部推論過所有四個馬克士威方程式，第一個為電的高斯定律，第二個為磁的高斯定律，第三個為法拉
第定律的線圈不動形式，第四個為安培定律的擴充形式，重新整理馬克士威方程式的積分形式如下：
(相關定律)
0
E dA q
ε
∫ ⋅= (電的高斯定律) (8)
∫ B⋅dA = 0 (磁的高斯定律) (9)
B E d d
dt
−φ
∫ ⋅= (法拉第定律) (10)
0 00 E B d i d
dt
φ
∫ ⋅= μ +μ ε (安培定律) (11)
以上積分形式可以經由數學規則轉換成微分形式如下，以後將會證明，先讓大家聞聞香味
0
E
ρ
ε
∇ ⋅=
(12)
∇⋅B = 0
(13)
E B
t
−∂
∇ × =
∂
(14)
0 00 E B j
t
μ μ ε ∂
∇ × = +
∂
(15)
電磁波
以下將利用馬克士威方程式來證明電磁波的一些觀念，當電磁波在自由空間(free space)或真空(vacuum)中前進的時
候，真空中當然是沒由電荷q 或電流i 存在，於是馬克士威方程式可簡化為
0
E dA q E dA 0
ε
∫ ⋅= → ∫ ⋅=
(16)
103
∫ B⋅dA = 0
(17)
B E d d
dt
−φ
∫ ⋅=
(18)
0 00 00
E E B d i d B d d
dt dt
φ φ
∫ ⋅= μ +μ ε → ∫ ⋅= μ ε
(19)
現在假設電磁波正在空間前進，如下圖所示，將電磁波前端的一小部分放大來分析，
如圖所示，電磁波向右前進，由於是橫波，其磁場的方向垂直於前進方向，如圖為垂直指出圖面(以圖中之黑點代表)，
在圖面上取一寬度為w 的長方形積分路徑，並附給它d
的繞轉方向，當電磁波以速率c 前進，經一段微量時間dt 後，電
磁波會前進cdt ，於是長方形路徑所包圍平面的磁通量會增加B dφ = BdA = B wc dt，於是根據式18可得
E d d B B wc dt B wc
dt dt
−φ −∫ ⋅= = = −(20)
由上式可見， ∫ E ⋅d
不為零，必定有電場存在，而根據對稱性及要讓∫ E ⋅d
的值為負值( −B wc )，此電場應該平行電
磁波最前端的平面，且其方向應該如下圖之平行圖面朝上的電力線所示，
整個長方形路徑只有最左端的那段的E ⋅d = E d cos180° = −E d
不為零，其餘地方不是沒有電場，就是E
與d 的夾角
為90°，E ⋅d = E d cos90° = 0
，於是
∫ E ⋅d = −E w
(21)
比較式20 及21，即得
E = B c (22)
若再配上方向就變成
E = B × c
(23)
d
d
d
B cdt
w
dA = wc dt
圖2.電磁波前端進入封閉迴圈造成磁通量變化的分析圖
3. B ∫ E ⋅d = −dφ dt
圖電磁波前端進入封閉迴圈造成的分析圖
E d
d
d
cdt
w
dA = wc dt
B 104
圖 3 是逆著磁場的方向看，現在讓我們轉個90 度，逆著電場方向看，電磁波就變成下圖啦，
如上圖所示，電磁波也是向右前進，其電場的方向為垂直指出圖面(以圖中之黑點代表)，而磁場的方向為平行圖面朝下，
也可在圖面上取一寬度為w 的長方形積分路徑，並附給它d 的繞轉方向，當電磁波以速率c 前進，經一段微量時間dt 後，
電磁波會前進c dt ，於是長方形路徑所包圍平面的電通量會增加dφE = E dA = E wc dt ，於是根據式19可得
0 0 0 0 0 0
E B d d E wc dt E wc
dt dt
φ
∫ ⋅= μ ε = μ ε = μ ε
(24)
由上圖亦可知，整個長方形路徑只有最左端那段的B⋅d = Bd cos0° = Bd
不為零，其餘地方不是沒有磁場，就是B
與d
的夾角為90°，B⋅d = Bd cos90° = 0
，於是
∫ B⋅d = B w
(25)
比較式24 及25，得
0 0 0 0 μ ε E wc = B w ⇒ μ ε E c = B (26)
將式22( E = B c )代入上式，得
2
0 0 0 0
0 0
μ ε Bc c B μ ε c 1 c 1
μ ε
= ⇒ = ⇒ = (27)
於是獲得「真空中光速為定值」的公式，將7
0 μ = 4π ×10−T ⋅m A及
2
12
0 2 8.85418781762 10 C
N m
ε ≈× −⋅代入上式，即得
c = 2.99792458×108 m s (28)
此真空中光速為定值的結論就是特殊相對論的兩個基本出發點之一，有學過電磁學的同學，現在起碼知道透過馬克士威
方程式可推論出此重要的基本出發點，將有利於學習相對論。
馬克士威方程式的微分形式
前面介紹過馬克士威方程式的積分形式，有積分形式，當然也有微分形式，可以經由數學規則轉換成微分型式如下，
(後面將詳細逐一證明)
0 0
E dA q E
ρ
ε ε
∫ ⋅= ⇒ ∇⋅=
(29)
E B 90° 90° c90°
4. E B c E = B×c
圖電磁波的電場、磁場、光速三者間的關係圖
d
d
d
E B cdt
w
dA = wc dt
0 0 5. E B d d
dt
φ
∫ ⋅= μ ε
圖電磁波前端進入封閉迴圈造成的分析圖
105
∫ B⋅dA = 0 ⇒ ∇⋅B = 0
(30)
B E d d E B
dt t
−φ −∂
⋅= ⇒ ∇× =∂
∫
(31)
0 00 0 00
E B d i d B j E
dt t
φ
μ μ ε μ μ ε ∂
⋅= + ⇒ ∇× = +
∂ ∫
(32)
首先讓我們來證明式29：從0 ∫ E ⋅dA = q ε
推論出0 ∇⋅E = ρ ε
，當我們在計算∫ E ⋅dA
的時候，是沿著一條封閉曲面做積
分，此封閉曲面可以是在立體空間彎曲的任意形狀，就像在立體空間任意扭曲的一顆任意形狀的橡皮塊的表面一樣，其
所包圍的立體空間可以分割成無數的微小的立方體，
而垂直封閉曲面朝外的微面向量dA
的總和∫ dA
，恰好就是所有這些微小立方體表面之微面向量的總和，因為在每兩個
微小塊之交界面處，垂直朝外的微面向量恰好大小相等，方向相反，抵消掉，其E ⋅dA
也抵消掉，只剩下最外圍的部分
沒有抵消掉，因此我們可研究微小立方體的表面總微電通量
6
1
i i
i
dφ E dA
=
=Σ ⋅，再全部加(積分)起來，即得最外圍整個封閉
曲面的總電通量φ = ∫ E ⋅dA
，任取一微小立方塊來分析，如下圖所示，有六個表面，各有其垂直朝外的微面向量i dA
，
如果我們選擇座標軸，使得長方體的三個鄰邊恰好分別平行x、 y、 z 軸，則可簡化分析，其六個微面向量分別可表示
為
1
dA = −dydz iˆ(33)
2
dA = dydz iˆ(34)
3
dA = −dzdx ˆj
(35)
4
dA = dzdx ˆj
(36)
dA
dA
dA
dA
dA
6
1
6. i
i
dA dA
= Σ
∫
圖封閉曲面之總電通量等於無數微小立方體表面電通量之總和
1 dA
2 dA
3 dA
4 dA
5 dA
6 dA
圖7.微小立方體表面之六個微面向量
106
5
dA = −dxdy kˆ(37)
6
dA = dxdy kˆ(38)
於是六個微面之微電通量分別為
1 1 1 1x dφ = E ⋅dA = −E dydz
(39)
2 2 2 2x dφ = E ⋅dA = E dydz
(40)
3 3 3 3y dφ = E ⋅dA = −E dzdx
(41)
4 4 4 4y dφ = E ⋅dA = E dzdx
(42)
5 5 5 5z dφ = E ⋅dA = −E dxdy
(43)
6 6 6 6z dφ = E ⋅dA = E dxdy
(44)
因此微小立方體之表面的總微電通量dφ 為
6 6
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
1 1
i i i
i i
dφ dφ E dA E dA E dA E dA E dA E dA E dA
= =
=Σ =Σ ⋅= ⋅+ ⋅+ ⋅+ ⋅+ ⋅+ ⋅1x 2 x 3 y 4 y 5z 6z = −E dydz + E dydz −E dzdx + E dzdx −E dxdy + E dxdy
2 1 4 3 6 5 ( ) ( ) ( ) x x y y z z = E −E dydz + E −E dzdx + E −E dxdy (45)
而從我們以前就學過的偏微分概念可知，
2 1
x
x x
E E E dx
x
∂
= +
∂
(46)
4 3
y
y y
E
E E dy
y
∂
= +
∂
(47)
6 5
z
z z
E E E dz
z
∂
= +
∂
(48)
將上三式代入式45，可得
( x y z ) E E E d dxdydz
x y z
φ
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
(49)
而dxdydz 就是微立方體的體積dv ，
dv = dxdydz (50)
且從以前我們學過的，以直角座標來描述，則偏微分向量∇
及電場向量E
可分別表示為iˆˆj kˆx y z
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
及
ˆˆˆx y z E = E i + E j + E k
，將∇
以點積(dot product)方式作用在E
上(∇⋅E
，divergent E
)，可得
x y z E E E E
x y z
∂ ∂ ∂
∇ ⋅= + +
∂ ∂ ∂
(51)
1
−dydz iˆ= dA
2
dA = dydz iˆ3
dA = −dzdx ˆj
4
dA = dzdx ˆj
5
dA = −dxdy kˆ6
dA = dxdy kˆdx iˆdy ˆj
dz kˆ圖8.以直角座標探討微小立方體表面之六個微面向量
107
將式50 及51 代入式49，即得微小立方體之表面的總微電通量dφ 為
dφ = ∇⋅E dv
(52)
而前面已知，任一封閉曲面之總電通量φ = ∫ E ⋅dA
，即為所有這些微小立方體之表面的總微電通量dφ 的總和，也就是
∫ E ⋅dA = ∫∇⋅E dv
(53)
而由馬克士威方程式之電的高斯定律知，
0 0
q dv E dA
ρ
ε ε
⋅= = ∫ ∫
(54)
其中ρ 為電荷密度( ? C m3 )，比較上兩式，可得
0
E
ρ
ε
∇ ⋅=
(55)
此為馬克士威方程式的微分形式之一。
接著讓我們來證明式30：從∫ B⋅dA = 0
推論出∇⋅B = 0
，剛剛已證明了式53， ∫ E ⋅dA = ∫∇⋅E dv
，這是個數學的通
則，讓我們能將沿著封閉曲面的積分，轉變為包圍之體積的積分，真是奧妙，因此，我們只需將電場符號E 改為磁場符
號B
，即可得
∫ B⋅dA = ∫∇⋅B dv
(56)
而由馬克士威方程式之磁的高斯定律知，
∫ B⋅dA = 0 = ∫ 0 dv
(57)
比較上兩式，可得
∇⋅B = 0
(58)
此亦為馬克士威方程式的微分形式之一。
接著讓我們來證明式31：從B E d d
dt
−φ
∫ ⋅=
推論出
E B
t
−∂
∇ × =
∂
，當我們在計算∫ E ⋅d
的時候，是沿著一條封閉線
圈做積分，此封閉線圈可以是在立體空間彎曲的任意形狀，就像在立體空間任意扭曲的一張任意形狀的紙張的邊緣一樣，
紙面可以分割成無數的微小的長方形紙片，而沿著紙張邊緣繞轉的封閉迴圈，也可拆成沿著這些無數的微小的長方形紙
片的邊緣之繞轉迴圈，因為如下圖所示，每兩個小迴圈之交界線處的d
恰好相反，抵消掉，其E ⋅d
也抵消掉，只剩下
最外圍的部分沒有抵消掉，因此我們可研究微小長方形迴圈的
4
1
i i
i
E d
=
Σ ⋅，再全部加(積分)起來，即得電場在整個外圍迴
圈的封閉線積分∫ E ⋅d
，
圖9.封閉迴圈可以是在立體空間彎曲的任意形狀，且相當於由無數小迴圈所合成
E d
d
d
108
任取一微小長方形迴圈來分析，如下圖所示，有四個線段，各有其微線向量i d
，
如果我們選擇直角座標軸，使得1 d
順著正x 軸的方向，而2 d
順著正y 軸的方向，則可簡化分析，並且可令
1
d = x iˆ(59)
2
d = y ˆj
(60)
3
d = −x iˆ(61)
4
d = −y ˆj
(62)
於是電場與四個微線向量之點積分別為
1 1 1x E ⋅d = E dx
(63)
2 2 2y E ⋅d = E dy
(64)
3 3 3x E ⋅d = −E dx
(65)
4 4 4y E ⋅d = −E dy
(66)
因此電場在此微小長方形迴圈之ΣE ⋅d為
4
1 1 2 2 3 3 4 4
1
i i
i
E dA E d E d E d E d
=
Σ ⋅= ⋅+ ⋅+ ⋅+ ⋅1x 2 y 3x 4 y = E dx + E dy −E dx −E dy
1 3 2 4 ( ) ( ) x x y y = E −E dx + E −E dy (67)
而從我們以前就學過的偏微分概念可知，
2 4
y
y y
E
E E dx
x
∂
= +
∂
(68)
3 1
x
x x
E E E dy
y
∂
= +
∂
(69)
將上兩式代入式67，可得
4
1
x y
i i
i
E E E dA dydx dxdy
= y x
−∂ ∂
⋅= +
∂ ∂ Σ ( y x ) E E dxdy
x y
∂ ∂
= −∂ ∂
(70)
其中dxdy 就是微長方形的面積dA ，而此面積即為微長方形之微面向量dA
的大小， dA
的方向垂直微長方形平面，到底
指向那一垂直方向，可配合右手來判斷，可將大拇指除外的四個手指頭順著繞轉的方向，則此時大拇指所指的方向即是，
2
d = dy ˆj
1
d = dx iˆ3
d = −dx iˆ4
−dy ˆj = d
2 d
1 d
3 d
4 d
圖10.微小長方形迴圈之四個微線向量
圖11.以直角座標探討微小長方形迴圈之四個微線向量
109
如下之立體圖所示，顯然此微長方形之微面向量dA
可表示為
dA = dxdy kˆ(71)
且從以前我們學過的，以直角座標來描述，則偏微分向量∇
及電場向量E
可分別表示為iˆˆj kˆx y z
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
及
ˆˆˆx y z E = E i + E j + E k
，將∇
以叉積(cross product)方式作用在E
上(∇× E
，curl E
)，可得
ˆˆˆx y z
i j k
E
x y z
E E E
∂ ∂ ∂
∇ × =
∂ ∂ ∂
ˆˆˆy z x z x y
y z i x z j x y k
E E E E E E
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ∂ ∂ −∂ ∂ + ∂ ∂
( z y )ˆ( z x ) ˆ( y x ) ˆE E E E E E i j k
y z x z x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= −−−+ −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(72)
將式72 點乘上式71，可得
( y x ) E E E dA dxdy
x y
∂ ∂
∇ × ⋅= −∂ ∂
(73)
將上式代入式70，即得電場在微小長方形迴圈之
4
1
i i
i
E d
=
Σ ⋅，
4
1
i i
i
E d E dA
=
Σ ⋅= ∇× ⋅(74)
而前面已知，電場在任一封閉曲線之線積分∫ E ⋅d
，即為所有這些
4
1
i i
i
E d
=
Σ ⋅的總和，也就是
∫ E ⋅d = ∫∇× E ⋅dA
(75)
而由馬克士威方程式的法拉第定律知，純粹(偏)由磁場隨時間變化所造成的電動勢，有如下關係
B d d B dA B E d dA
dt dt t
−φ −⋅−∂
⋅= = = ⋅∂
∫ ∫ ∫
(76)
比較式75 及76，可得
E B
t
−∂
∇ × =
∂
(77)
此亦為馬克士威方程式的微分形式之一。
接著讓我們來證明式32：從0 00 E B d i d
dt
φ
∫ ⋅= μ +μ ε
推論出0 0 0
E B j
t
μ μ ε ∂
∇ × = +
∂
，剛剛已證明了式75，
2
d = dy ˆj
1 2
dA = d ×d = dxdy kˆ12. dA
圖長方形平面之微面向量
1
d = dx iˆ110
∫ E ⋅d = ∫∇× E ⋅dA
，這是個數學的通則，讓我們能將沿著封閉曲線的積分，轉變為包圍之曲面的積分，真是奧妙，
因此，我們只需將電場符號E
改為磁場符號B
，即可得
∫ B⋅d = ∫∇× B⋅dA
(78)
而由馬克士威方程式的安培定律知，
0 00 0 00
E B d i d j dA E dA
dt t
φ
μ μ ε μ μ ε ∂
⋅= + = ⋅+ ⋅∂ ∫ ∫ ∫
(79)
比較上兩式，可得
0 00
B j E
t
μ μ ε ∂
∇ × = +
∂
(80)
此亦為馬克士威方程式的微分形式之一。至此，從馬克士威方程式的積分形式，推論出微分形式的證明，全部證明完畢。
再下來就是運用了。
前面已採用馬克士威方程式的積分形式，證明了電磁波的一些特性，現在打算從另一角度，採用微分形式來分析。
假定真空中有一前進的平面電磁波，所謂的平面波(plane wave) ，就是在立體空間中前進波的每一個波前(wave front) 為
一(無窮大)平面，在整個平面上有相同的物理量，例如相同的電場、磁場；通常離開波源很遠處的波就近似於平面波。
如果是電場方向為正y 軸方向，而前進方向是向正x 軸方向的正弦波，則空間的電場隨著位置x 及時間t 的變化，可以
表示為
( , ) sin( ) ˆp E x t = E kx −ω t j
(81)
其中k 是波數(wave number)，k = 2π λ ，可將有長度因素的位置(position) x換算成角度，每一個波長(wavelength)λ 換算
成2π ，而ω 是角頻率(angular frequency)，ω = 2π T ，可將時間t 換算成角度，每一個周期(period)T 換算成2π 。
既然平面電磁波的電場E(x,t)
隨著空間與時間的變化已能完整表示如上，那麼磁場B(x,t)
應該如何表示呢？可以運用
E B
t
−∂
∇ × =
∂
來探討，先來計算∇× E
，
ˆˆˆ[ sin( )] ˆˆcos( )
0 sin( ) 0
p
p
p
i j k
E kx t
E k kE kx t k
x y z x
E kx t
ω
ω
ω
∂ ∂ ∂ ∂ −∇ × = = = −∂ ∂ ∂ ∂
−(82)
於是cos( ) ˆp
B kE kx t k
t
ω
−∂
= −∂
，顯然B
的通解為0
( , ) sin( ) ˆp
B x t k E kx ω t k B
ω
= −+
，其中之0 B
為一定值，可能代表空間固
p E
p −λ E
2
−λ 3
2
λ
2
λ λ 2λ
x
y , E
t
k
ω
0 sin( ) ˆ, 2 p t EE kx j k
π
λ
= = =
實線：時間之瞬間的電場波形
sin( ) ˆ, 2 p t x E E kx t j
T
π
= −ω ω =
虛線：隨時間變化向正軸前進的電場波
2
2
c f T
T k
λ π ω
λ
π λ
波速： = = = =
圖13.平面電磁波的正弦波形與隨時空演變的函數
111
定的磁場，不屬於我們所要找尋的磁波，因此可捨去，於是
( , ) sin( ) ˆp
B x t k E kx ω t k
ω
= −(83)
而由圖13之說明知，電波的波速c =ω k ，於是上式可以改寫為
( , ) p sin( ) ˆsin( ) ˆp
E
B x t kx t k B kx t k
c
= −ω = −ω
(84)
當然上式的峰值或振幅p E c就是磁波的峰值或振幅p p B = E c，也就是電場的峰值p E 與磁場的峰值p B 有如下的關係
p p E = B c (85)
現在已從電場波( , ) sin( ) ˆp E x t = E kx −ω t j
證明出磁場波( , ) p sin( ) ˆsin( ) ˆp
E
B x t kx t k B kx t k
c
= −ω = −ω
，而波速c= c iˆ，因此
電磁波中任一位置x 任一時刻t 的電場E
、磁場B
與波速c三者之間，顯然有如下的簡單關係，
E = B ×c
(86)
當然三者之大小也有簡單的關係
E = B c (87)
讓我們繼續用0 00
B j E
t
μ μ ε ∂
∇ × = +
∂
來分析，由於真空中沒有電流也就沒有電流密度j
，故可簡化為用0 0
B E
t
μ ε
∂
∇ × =
∂
來
分析，由於∇× B
為
ˆˆˆ[ sin( )] ˆˆcos( )
0 0 sin( )
p
p
p
i j k
B kx t
B j kB kx t j
x y z x
B kx t
ω
ω
ω
∂ ∂ ∂ ∂ −∇ × = = −= −−∂ ∂ ∂ ∂
−(88)
而
E
t
∂
∂
為
[ sin( ) ˆ p cos( ) ˆp
E E kx t j E kx tj
t t
ω
ω ω
∂ ∂ −= =−−∂ ∂
(89)
故
0 0
cos( ) ˆcos( ) ˆp p −kB kx −ω t j = −μ ε ωE kx −ω t j
p 0 0 p kB = μ ε ωE
2
0 0
1 p
p
E
c c c
k B
ω
μ ε
= = =
0 0
c 1
μ ε
= (90)
終於同樣獲得「真空中電磁波速率c 為定值」的公式，果真條條道路通羅馬。
14. E B c E = B×c
圖電磁波的電場、磁場、光速三者間的關係圖
cx
y
z
E B 90° 90°
90°
112
光的偏振
前面所學可知，光是電磁波，波中含有電場及磁場，以光速前進，電場E
、磁場B
與光速c的關係為E = B ×c
，三
者的方向互相垂直，如下圖所示，
你可以將一般之各種光線看成是，由一列一列斷斷續續通過的光車所構成，每一列光車是由一些連續的脈動(pulse)所組
成的波列(wave train)，就像有好幾節車箱的火車一樣，有些比較多節，有些比較少節，光車箱裡面裝著電場與磁場，同
一列光車之前後脈動的電場方向應該是平行的，如上圖就是。如果一束光中，前後波列的電場方向，皆互相平行時，稱
之為偏振光，反之，普通光源所發射之光束中，前後波列之電場方向散亂，不是偏振光，但是經過偏振片後，如下圖，
可以變成偏振光，
偏振片有一偏振方向，光束中的任何電場沿此方向的分向量才可通過，因此，當兩個偏振片的偏振方向互相垂直時，光
不能透射，如下圖，而當兩個偏振片的偏振方向互相平行時，透射光最強，
當偏振光的電場振動方向與偏振片的偏振方向的夾角為θ 時，由於電場E
可分解為平行偏振方向的電場// E
與垂直偏振方
向的電場E⊥
，
// E E E⊥
= +
(91)
因此只有// E E E⊥
= +
可以通過偏振片，
E 電場
c光速
光通過時
動方向
電場之振B
磁場
圖15.
圖16
未偏振光
通過時，
前後波列
電場振動
方向散亂
任何方向之
電場皆可分
解為互相垂
直之分向量
只有與偏振片之
偏振方向平行的
分向量才能透射
兩偏振片之偏振方向互相垂直
圖17
偏振光
無光透射
未偏振光
113
而 // E
的大小// E 為
E// = E cosθ (92)
且光的強度S 正比於能量U ，能量又正比於電場的平方(根據2
0 2 Eu =ε E )，所以通過偏振片以後的強度S 變為原來強度
0 S 的cos2θ 倍，
2
// 2
2
0 0 0
S U u E cos
S U u E
= = = = θ
2
0 S = S cos θ (93)
一般光線並非偏振光，前後波列各種角度輪流變換，因此通過偏振片以後的強度S 變為原來強度0 S 的cos2θ 的平均倍數，
而cos2θ 的平均值為1 2，
2
2 2 2
0 0 0
0
1 cos 2 ( sin 2 ) cos 2 2 4 0 1
2 2 2 2 2
S d d
S
π
π π θ θ θ
θ θ θ π
π π π π
+ +
+
= = = = =
∫ ∫
也就是說，普通光線通過偏振片後的強度S 降為原來強度0 S 的一半。
0
2
S = S (94)
電磁波強度
電磁波中的電場及磁場都含有能量，電場的能量密度為2
0 2 Eu =ε E ，磁場的能量密度為2
0 2 Bu = B μ ，由於E = Bc及
2
0 0 c = 1 μ ε ，故
2 2 2 2 2
0 0 0
0 0 0 2 2 2 2 E B
u E B c B B u
ε ε ε
μ ε μ
= = = = =
E B u = u (95)
也就是說，真空中電磁波的電場及磁場含有相等的能量密度，總能量密度為
2
0 2
0 2 2
E B E 2
u u u u E E
ε
= + = = =ε (96)
或
2 2
0 0
2 2
2 E B B
u u u u B B
μ μ
= + = = = (97)
而這些能量在空間以光速流動，所造成的「能流密度(energy current density) 」為何呢？也就是問每單位(垂直於流動方向
的)截面積，每單位時間，有多少能量流過呢？
由於已學到真空中電磁波的電場E
、磁場B
、速度c三者互相垂直，且有簡單的關係E = B ×c
，因此可採用如下的
簡圖來分析，
θ
電場的振動方向
偏振片的偏振方向
E // E
E⊥
θ
圖18.電磁波的電場為向量，可分解為平行與垂直於偏振方向的分向量
114
由上圖可以看出此微小長方體垂直於流動方向的截面積為dA = dy dz，體積為dv = dxdA，含有電磁場的能量為
dU = u dv (98)
此能量dU 經一微量時間dt 會流過截面積dA ，因此其能流密度的大小為
dU u dv u dxdA u dx
dAdt dAdt d
S u
dt
c
A dt
= = = = =
S = u c (99)
若再附以方向，則變成
S = u c
(100)
也就是說電磁波的能流密度S
等於電磁場的能量密度u 乘以波速(光速) c，這正好再驗證了以前學「電流密度」時得到
的一個通則，
？流密度= ？量密度⋅流速 (101)
可以將能流密度的大小S = u c改寫為
2 2
0 0 0
0 0
0
0
1 uc E c EBcc EBc EB EB S ε ε ε ε
μ ε μ
= = = = = =
0
S EB
μ
= (102)
若再配合方向，則上式可變成
0
S E B
μ
×
=
(103)
電磁波的能流密度這個向量S
又稱為坡印亭向量(Poynting vector) ，也代表電磁波的強度(intensity) ，例如一束雷射光的
強度為多少瓦特每平方米( ?W m2 )。
電磁波通過時，空間的電磁場是變化的，例如可見光的頻率約為5×1014Hz，波的強度當然也隨著變化，通常測量儀
器會取得其平均值，
2
0 0 0 0 0
sin sin 1 cos 2 s
2 2
p p p p in p p p p E E t B t E B E B t t
B E B
S
ω ω ω
μ
ω
μ μ μ μ
−= = = = =
0 2
p p E B
S
μ
= (104)
可利用E = B c ，將上式改寫為
2
0 2
p E
S
μ c
= (105)
或
cE B dx = c dt
dy
dz
圖19.
115
2
0 2
p c B
S
μ
= (106)
點波源的波強度
假定一點波源以功率P 往四面八方均勻發出電磁波，則在距離r 處的球面上的波強度為
4 2
S P
π r
= (107)
顯然此點波源的強度與距離的平方成反比，S ∝1 r2，而由式105或106可看出，波強度正比於電場或磁場的平方，S ∝ E2
(or B2 )，故E ∝ S1 2 ∝1 r，與靜電荷所構成的E ∝1 r2 很明顯的不一樣，這也就是為什麼除非在非常臨近電荷處，不然
有加速度的電荷所形成的波場(wave field)是主要的場。
電磁波的輻射壓力
電磁波除了有能量以外，也有動量，根據定義，動量p
等於質量m 乘以速度v，也就是p= mv，動量的方向與速度
相同，因此電磁波的動量方向與速度的方向相同，而電磁波速度的大小為c ≈3×108 m s，因此電磁波的動量大小p等於
電磁波的(相對性)質量m 乘以速率c ，(雖然電磁波無靜止質量0 m )
p = mc (108)
又根據有名的相對論公式E = mc2 (以後有機會再證明) ，其中E 代表能量(Energy)，而這邊要用U 代表電磁波的能量，故
U = mc2 ，於是
mc2 U
c
p mc
c
= = =
也就是電磁波的動量大小p 等於能量U 除以速率c
p U
c
= (109)
當物體完全接收電磁波能量的時候，也就完全接收其動量，那麼就會感受到力量的大小為
F dp d(U c) dU
dt dt cdt
= = = (110)
當截面積A的一束電磁波垂直照射一物的表面，如果全部被吸收的話，則被照射處會承受到的壓力(pressure)為
F dU
A cAd
P S
t c
= = = (吸收) (111)
當被照射的物體沒有接收電磁波能量，而是全部反射回去的時候，則電磁波的動量改變為
Δp= −p−p= −2 p(112)
於是被照射的物體就必須承受兩倍大小的入射動量，那麼感受到力量的大小為
F dp d(2U c) 2dU
dt dt cdt
= = = (113)
如果截面積A的一束電磁波垂直照射一物的表面，且完全反射，則被照射處承受到的壓力(pressure)為
F 2dU 2
A cAdt
P S
c
= = = (反射) (114)
例1：假定某一進行波可用SI制當基本單位表示為y = 5sin(7x + 3t)，則此進行波的(a)波速為何？(b)前進方向為何？
解： (a) 3 0.43 ( )
7
v ms
k
ω
= = ≈(b) 向負 x 軸方向
116
例2：某一瞬間，空間某一點，一電磁波的電場指向正y 軸方向，而磁場指向負z 軸方向，則傳播的方向為何？
解：
E = B × c
， c為負x 軸方向
例 3：兩平行的偏振片，偏振方向互相垂直，因此普通光線無法通過，現在將第三個偏振片置於兩者之間，其偏振方向
與前兩者各差30° 與60° ，則普通光線是否可以通過？若可以的話，則強度變化為何？
解： 可以通過。
普通光線通過第1 片後，變成偏振光，強度降為一半，
1
0
1
2
S
S
=
通過第 2 片後，還是偏振光，強度又降為2
21 cos θ 倍，
2 2 2 2
21
1
cos cos 30 ( 3 ) 3
2 4
S
S
= θ = ° = =
通過第 3 片後，還是偏振光，強度又再降為2
32 cos θ 倍，
3 2 2 2
32
2
cos cos 60 (1) 1
2 4
S
S
= θ = ° = =
總括來說，強度最後降為最原先的3 1 2 3
0 0 1 2
1 3 1 3
2 4 4 32
S S S S
S S S S
= = × × = 倍
例 4：波長為6×10−7m 的雷射光，其電場的振幅為8×103V m，求此雷射光的(a)頻率，(b)磁場振幅。
解： (a)
8
14
7
3 10 5 10 ( )
6 10
f c Hz
λ −×
= = = ×
×
(b)
3
5
8
8 10 2.7 10 ( )
3 10
B E T
c
× −= = ≈×
×
例 5：兩束雷射光具有相同的顏色，而第1 束之電場振幅1 E 為第2 束之電場振幅2 E 的3 倍， 1 2 E = 3E ，則第1束與第2
束之(a)磁場振幅的關係為何？(b)強度的關係為何？(c)波長的關係為何？
解： (a) 1 2 B = 3B
(b) 1 2 S = 9S
(c) 1 2 λ = λ
例 6：當一束光線的平均強度為2×103W m2 ，則其電場的峰值為何？
解：
2
0 2
p E
S
μ c
= ， 7 8 3 3
0 2 24 10 310 210 1.2310() p
E cS V
m
= μ = × π × −× × × × ≈×
例 7：當一束光線的平均強度為2×103W m2 ，則其磁場的峰值為何？
解：
2
0 2
p c B
S
μ
= ，
7 3
0 6
8
2 2 4 10 2 10 4.09 10 ( )
p 3 10
B S T
c
μ π −× × × × −= = ≈×
×
另解：由例5 之解亦可進一步求得
3
6
8
1.23 10 4.1 10 ( )
3 10
p
p
E
B T
c
× −= = = ×
×
E B cx
y
z
?140.130.15.232 student file – PDFs Search engine. - goPDFs
www.gopdfs.com/140.130.15.232-student-file
140.130.15.232 student file 電磁學08 - best PDFs Search engine ...
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