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07第四章多电子原子1.ppt
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再对每个电子的方程进行分离变量. 角动量的本征值形式不变. 这就是球对称中力心场的微扰处理方法. 该方程的解是一个径向函数与球谐函数的乘积. 这样的波函数仍 ...
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定义
拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（）的散度（）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为： (1) f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数： (2) 作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把C函数映射到C函数，对于k ≥ 2。表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ : C(R) → C(R)，或更一般地，定义了一个算子Δ : C(Ω) → C(Ω)，对于任何开集Ω。 函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹：
坐标表示式
二维空间
其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标 另外极坐标的表示法为：
三维空间
笛卡儿坐标系下的表示法 圆柱坐标系下的表示法 球坐标系下的表示法
N 维空间
在参数方程为（其中以及）的N 维球坐标系中，拉普拉斯算子为： 其中是N − 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把的项写成。
恒等式
如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为： f是径向函数f(r)且g是球谐函数Ylm(θ,φ)，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此： 球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数： 因此：
推广
拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里德空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。 在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子： 达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。
拉普拉斯-贝尔特拉米算子
主条目：拉普拉斯-贝尔特拉米算子 拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯-贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子）。 另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯-德拉姆算子，它运行于微分形式。这便可以通过Weitzenböck恒等式来与拉普拉斯-贝尔特拉米算子联系起来。
径向基函数_百度百科
氫原子- 维基百科，自由的百科全书
zh.wikipedia.org/zh-hk/氫原子
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