黎曼积分的概念_百度文库
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2012年5月12日 - 一、小结1、 黎曼积分的概念从利用定积分、二重积分、对弧长的曲线积分及对面积的曲面积分计算非均匀分布物体质量问题的研究中，我们不难发现 ...
1、 黎曼积分的概念
从利用定积分、二重积分、对弧长的曲线积分及对面积的曲面积分计算非均匀分布物体质量问题的研究中，我们不难发现它们有以下共同点：
(1) 它们都是非均匀变化问题.当把它们看成是均匀变化的时候，可以表示为某两个量的乘积形式.
(2) 它们具有对区域的可加性：设Q是一个与点X的变化区域有关的量，将 分成n个无公共内点的小区域1:n
iii时，Q相应地也被分成n个部
分量(1,2,,)iQin，且1
n
iiQQ.
(3) 运用“分割——近似——求和——取极限”的方法来处理问题时，都出现同一种类型和式的极限.
这就表明，我们可以将上述各种积分抽象为同一类数学模型，该数学模型通常称为函数的黎曼（Riemann）积分.
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1、 黎曼积分的概念
从利用定积分、二重积分、对弧长的曲线积分及对面积的曲面积分计算非均匀分布物体质量问题的研究中，我们不难发现它们有以下共同点：
(1) 它们都是非均匀变化问题.当把它们看成是均匀变化的时候，可以表示为某两个量的乘积形式.
(2) 它们具有对区域的可加性：设Q是一个与点X的变化区域有关的量，将 分成n个无公共内点的小区域1:n
iii时，Q相应地也被分成n个部
分量(1,2,,)iQin，且1
n
iiQQ.
(3) 运用“分割——近似——求和——取极限”的方法来处理问题时，都出现同一种类型和式的极限.
这就表明，我们可以将上述各种积分抽象为同一类数学模型，该数学模型通常称为函数的黎曼（Riemann）积分.
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11_黎曼积分的概念_百度文库
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曲线积分- 维基百科，自由的百科全书
zh.wikipedia.org/zh-hk/曲线积分
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黎曼 - 中華百科全書
ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia_media/main-s.asp?id=9089
phymath999: 弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值 ...
phymath999.blogspot.com/2012/12/blog-post_6826.html
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第一型曲面积分_互动百科
www.baike.com/wiki/第一型曲面积分
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11_黎曼积分的概念_百度文库
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3) 中黎曼积分的概念n R (n ? 3) 空间中与n 分割-近似-求和-取极限有关 ... 将曲线L 任意分割成n 个小段Li , 每小段的弧长记为?si . ? (?i ,?i ) ? Li , 则每小段上的质量可 ...
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曲線弧長問題
www2.bbsland.com › 靈机一動
2006年9月25日 - 換句話說，曲線“拉直”后測得的長度一定=弧長積分嗎？ 回答這問題， ... 很容易証明曲線下的積分=曲線圍成的面積：面積可被黎曼積分小和，大和夾.
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曲线积分- 维基百科，自由的百科全书
zh.wikipedia.org/zh-hk/曲线积分
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积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。带有权重是曲线积分
zh.wikipedia.org/zh-hk/曲线积分
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黎曼 - 中華百科全書
ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia_media/main-s.asp?id=9089
黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，西元一八二六～一八六二年），（見圖1） ... 級數之論文，提出了現代初等微積分中「定積分」（或稱「黎曼積分」）概念，建立了 .... 可求曲線弧長的約旦曲線（Jordan Curve）及其內部均屬於開集D，則（方程式圖）。
ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia_media/main-s.asp?id=9089
[PDF]
重积分
www.daxueshuxue.cn/upload/.../2007521111344692.pdf
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一、小结1、黎曼积分的概念从利用定积分、二重积分、对弧长的曲线积分及对. 面积的曲面 ... 形体Ω 或者是可求长的（如区间、曲线等）；或者是可求面积的（如曲面、平面.
www.daxueshuxue.cn/upload/.../2007521111344692.pdf
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第一类曲线积分
web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n10/z1/z1.htm
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10.1 曲线积分. 10.1.1 第一 ... 推导过程中要用到：中值定理，弧长公式及连续函数的一些极限性质． 分割：在L上 ... 右端是黎曼积分和数，利用黎曼积分定义. 取极限：得 ...
web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n10/z1/z1.htm
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phymath999: 弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值 ...
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2012年12月17日 - 2012年10月5日– 1一、小结1、 黎曼积分的概念从利用定积分、二重积分、对弧长的曲线积分及对面积的曲面积分计算非均匀分布物体质量问题的 ...
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第一型曲面积分_互动百科
www.baike.com/wiki/第一型曲面积分
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第一型曲面积分-黎曼积分的分类之一，又称对面积的曲面积分。当几何形体为平面内或空间内的曲线段l,f(P)是l上的点函数时，称黎曼积分为函数f(P)在曲线l上对弧长
www.baike.com/wiki/第一型曲面积分
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曲线积分- 维基百科，自由的百科全书
zh.wikipedia.org/zh-hk/曲线积分
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曲線積分- 台灣Wiki
www.twwiki.com/wiki/曲線積分
路徑積分- 台灣Wiki
www.twwiki.com/wiki/路徑積分
路径积分- 百度百科
baike.baidu.com/client/.../3290609.htm?app... - 轉為繁體網頁
路径积分 - 百度百科
baike.baidu.com/view/3290609.htm
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什么是电压？ - 蜗窝科技
www.wowotech.net/basic_subject/voltage.html
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積分符號∫中間加壹個圈∮是什麼意思?
www.westca.com/Forums/viewtopic/...1/t.../lang=tchinese.html
path integral - 有道海量词典
dict.youdao.com/w/path_integral/
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黎曼假設在NPC公理系統中被證明成立(5) - 央視網
big5.cntv.cn/gate/big5/blog.cntv.cn/10836718-4153966.html
黎曼假设在NPC公理系统中被证明成立(5)-挑战相对论-西陆网
club.xilu.com/hongbin/msgview-950451-283286.html
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黎曼积分的概念
1
一、小结
1
、
黎
曼积分的概念
从利用定积分、
二重积分、
对弧长的曲线积分及对面积的曲面积分计算非均
匀分布物体质量问题的研究中，我们不难发现它们有以下共同点：
(1)
它们都是非均匀变化问题
.
当把它们看成是均匀变化的时候，
可以表示为
某两个量的乘积形式
.
(2)
它们具有对区域的可加性：设
Q
是一个与点
X
的变化区域
有关的量，
将
分成
n
个无公共内点的小区域
1
:
n
i
i
i
时，
Q
相应地也被分成
n
个部
分量
(
1,
2,
,
)
i
Q
i
n
，且
1
n
i
i
Q
Q
.
(3)
运用
“
分割
——
近似
——
求和
——
取极限
”
的方法来处理问题时，都出现
同一种类型和式的极限
.
这就表明，
我们可以将上述各种积分抽象为同一类数学模型，
该数学模型通
常称为函数的黎曼（
Riemann
）积分
.
空间
(
3)
n
R
n
中的区间、
曲线、
曲面以及由曲线围成的平面区域和由曲面围
成的空间区域等统称为空间
(
3)
n
R
n
中的几何形体，并统一记为
.
如果几何
形体
或者是可求长的（如区间、曲线等）；或者是可求面积的（如曲面、平面
区域等）；或者是可求体积的（如空间区域等），则称几何形体
是可度量的，
将其度量值亿为
，或仍记为
.
我们来给出几何形体
上黎曼积分的定义
.
设
为空间
(
3)
n
R
n
中的可度量的几何形体，
(
)
f
X
是定义在
上的有界
函数
将
任意分割成为
n
个可度量的小几何形体
(
1,
2,
,
)
i
i
n
，
它们的度量值
相应地记为
i
，记
1
max
,
(
1,
2,
,
)
i
i
i
i
n
X
i
n
，作下列和式（称为黎
2
曼和，或称为积分和）
1
(
)
n
i
i
i
f
X
，若不论运用何种方法对几何形体
进行分
割，也不论采用何种方式在
i
上选取点
i
X
，当
0
时，和式
(1)
恒有惟一的极
限值
I
存在：
0
1
lim
(
)
n
i
i
i
I
f
X
，则称函数
(
)
f
x
在几何形体
上是黎曼可积的
（简称可积），记为
(
)
(
)
f
x
R
，极限值
I
称为
(
)
f
x
在几何形体
上的黎曼积
分值，记为
(
)
f
x
d
，即
0
1
(
)
lim
(
)
n
i
i
i
I
f
x
d
f
X
，其中
(
)
f
x
称为被积函
数，
称为积分区域，
d
称为积分元素，
称为黎曼积分号
根据几何形体
的
形态不同，
我们可以进一步给出
上积分的具体表示式和名称
.
我们以前讨论的
那些积分都是几何形状上的积分的特例：假设以下所涉及的积分都存在，则
(1)
当
为空间
R
中的区间
[
,
]
a
b
时，
[
,
]
X
x
a
b
，
d
dx
，黎曼积分表
示的就是定积分：
0
1
(
)
(
)
lim
(
)
n
b
i
i
a
i
f
X
d
f
x
dx
f
x
x
.
(2)
当
为空间
2
R
中的平面区域
D
时，
(
,
)
X
x
y
D
，
d
d
为
2
R
中平
面区域的面积元素，黎曼积分表示的就是二重积分：
0
1
(
)
(
,
)
lim
(
,
)
n
i
i
i
i
D
f
X
d
f
x
y
d
f
x
y
.
(3)
当
为空间
3
R
中的空间区域
时，
(
,
,
)
X
x
y
z
，
d
dv
为
3
R
中的
体积元素，黎曼积分表示的就是三重积分：
0
1
(
)
(
,
,
)
lim
(
,
,
)
n
i
i
i
i
i
f
X
d
f
x
y
z
dv
f
x
y
z
v
.
(4)
当
为
2
R
中的平面曲线
L
时，
(
,
)
X
x
y
L
，
d
ds
为
2
R
中曲线的弧
长元素，黎曼积分表示的就是对弧长的曲面积分：
3
0
1
(
)
(
,
)
lim
(
,
)
n
i
i
i
i
L
f
X
d
f
x
y
ds
f
x
y
s
.
(5)
当
为空间
3
R
中的曲面
时，
(
,
,
)
X
x
y
z
，
d
dS
为
3
R
中曲面的
面积元素，黎曼积分表示的就是对面积的曲面积分：
0
1
(
)
(
,
,
)
lim
(
,
,
)
n
i
i
i
i
i
f
X
d
f
x
y
z
dS
f
x
y
z
S
3
、
黎
曼积分的性质
设
1
2
,
,
为
(
3)
n
R
n
中可度量的有界闭几何体，
(
),
(
)
(
)
f
X
g
X
R
，
表
的度量值
.
性质
1
(
)
f
X
d
.
性质
2
设
,
a
b
为常数，则
[
(
)
(
)]
(
)
(
)
af
X
bg
X
d
a
f
X
d
b
g
X
d
.
性质
3
设
1
2
，
1
2
,
无公共内点，则
1
2
(
)
(
)
(
)
f
X
d
f
X
d
f
X
d
.
性质
4
若在
上，
(
)
0
f
X
，则
(
)
0
f
X
d
.
推论
1
若在
上，
(
)
(
)
f
X
g
X
，则
(
)
(
)
f
X
d
g
X
d
.
推论
2
(
)
(
)
f
X
d
f
X
d
.
性质
5
若在
上，
(
)
m
f
X
M
，则
(
)
m
f
X
d
M
.
性质
6
若
(
)
(
)
f
X
C
，则
0
X
，使
0
(
)
(
)
f
X
d
f
X
.
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