fudan01 二维电子气自由电子气模型 - phymath999 - Blogger
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恒定磁场中电子的运动：.pdf-理科论文-在线文档投稿赚钱网
量子力学一维方势阱、 andau 能级、 象L表
—
179
—
量子力学是迄今为止人类对物质世界的最深刻的认识，
它主要是研究微观粒子的运动规律。
它彻底改变了基于传统
生活直观建立起来的牛顿力学的整个概念系统及其规律，
并
对人类的认识论和自然观产生深远的革命性影响。
它不仅在
研究物理学的各个领域，
如原子分子物理、
原子核物理、
凝聚
态物理、
粒子物理和激光物理等是不可缺少的理论基础和计
算工具，
而且已渗透到化学、
生物学等学科中，
形成了量子化
学和量子生物学等边缘学科，
特别是近年来，
量子力学的概念
和原理在现代高新技术中的应用呈现出日新月异的活力。
因
此，
量子力学是近代物理学的重要基础和支柱，
是物理专业本
科生的一门重要的、
必修的专业基础理论课。它是一门连接
基础课和专业课以及研究生课的重要课程，
是以后学习和研
究物理学必不可少的基础。
由于量子力学课程反映的是微观世界的客观规律与其它
大学物理课程
（经典物理）
在思想方法上有着本质的不同，
经
典物理在日常生活中有对应现象，
量子力学很难找到日常生
活对应。这与人们日常生活中的感知相差很远，
很难正确掌
握，
这给初学者带来极大的困难和困惑，
使得他们对于如何理
解量子力学理论所对应的图像非常困难。
正如在创建量子力
学的物理学家中公认的领袖玻尔所说，
任何能思考量子力学
而没有被弄得头昏脑胀的人都没有真正理解量子力学。
可见
学习量子力学的困难。因此，
如何使量子力学的教学从抽象
走向实际，
使量子力学的基本原理与当代科学的研究前沿结
合起来，
树立具体的物理图象，
避免学生把实在物理思想湮灭
在繁杂的数学表述中，
是笔者在教学中一直注重的问题。在
教学过程中结合一些具体的实验实例和大家已经熟悉的知识，
理论联系实际，
把理论教学落在实处。量子力学量子现象不
是只存在于教科书的理论，
而是有很多实实在在的物理现象
可以观察的，
可以实验验证的。另外尽管量子力学与经典物
理有着本质的不同，
但也不是与经典物理完全对立，
有些经典
物理的概念和思想仍然可以借鉴到量子力学中来。
这样做一
方面便于学生易于正确理解和掌握量子力学的概念和思想，
另一方面可以提高学习量子力学的兴趣和动力，
对学生进行
科研的训练，
培养科学的精神。下面以超晶格为例介绍量子
力学中的两个物理模型，
以表象和表象变换为例分析经典物
理和量子物理概念和思想上的借鉴关系。
一、
一维方势阱
量子力学教学中一个基本的问题是用薛定谔方程处理一
维方势阱中运动的粒子，
量子阱一词因此经常出现在教科书
中。它是指图
1
所示的一种理想的势能位形，
当电子处在这
样的一个势能的阱中时，
其能量将产生量子化，
即只可取一些
分立的值，相应于这样的一些能量值
2
,
1
2
3
）
，
男，
博士，
副教授，
研究方向为团簇结构与性质。
卢其亮
（安徽大学物理与材料科学学院，
安徽合肥，
230039
）
第
6
卷第
2
期
2011
年
2
月
长春理工大学学报
Journal
of
Changchun
University
of
Science
and
Technology
Vol.6
No.2
Feb.
2011
—
180
—
也可以由具有相同组分但不同掺杂类型而构成的超薄层组
合，
前者称为组分超晶格，
后者称为掺杂超晶格，
这里论及的
是组分超晶格。
当势垒层厚度
L
b
很大时，
各个势阱可以看成相互间没有
关系，
这时超晶格转变成多量子阱，
其性质与孤立势阱的情况
相似，
在带隙较小的半导体层形成的势阱内
（阱宽为
L
a
）
出现
分立的量子能级。这已为光发射和光吸收的实验所证实。
图
2
如果势垒宽度变薄，
则各个势阱内的载流子不能完全被
关在阱内，
会发生教科书中提到的一种量子效应——隧道效
应。由于超晶格多量子阱之间的耦台，
量子阱中分立的简并
能级会发生分裂，
将演变为一维子带，
一维子带的存在导致超
晶格中电子输运过程的负阻现象，
在一定条件下，
可能观测到
电子共振隧道效应。这也被实验所验证。
二、
Landau
能级
量子力学教科书中有这样一个例子，
电子或其他带电粒
子在
z
方向磁场中运动由于受到洛伦兹力的作用在垂直于
z
方向的运动受到约束而在
z
方向仍保持自由运动。
这一微观
系统的薛定谔方程首先由
L.D.
朗道
（
L.
D.
Landau
）
解出，
由此
得到的均匀、
间隔的能级被称之为
Landau
能级，
Landau
能级
是高度简并的，
因此每个能级上可以容纳大束的电子。电子
这样的一种运动状态也不是一个纯理论的模型，
利用超晶格
材料就可以获得这样做二维运动的电子。
若在宽能隙材料中
掺入施主杂质，
比如在
Ga
x
Al
1-x
As
中掺入
Si
，
而在窄能隙材料
GaAs
不进行掺杂，
就构成所谓的掺杂超晶格。由于
GaAs
导
带底比较低，
施主
Si
所带来的电子会向
GaAs
区迁移，
从而产
生极薄
（几十埃）
的高迁移率电子层，
称为二维电子气。这时
电子沿垂直于表面方向的运动变得量子化，
即它的能量只能
取一系列的分立值；
而平行于表面的运动仍是自由的，
能量可
以是任意值。在此情况下，
电子的总能量为垂直于表面运动
的能量
（分立值）
与平行于表面运动的能量
（可以连续变化）
之
和，
这一系列能量状态形成许多个子能带。电子在这样的材
料中，
它的实际运动状态介于纯二维与三维之间，
即电子的运
动是部分受限的。在极低温和强磁场下，
二维电子气呈现一
系列特异的量子效应，
垂直运动受到高势垒束缚而量子化，
垂
直方向所加的磁场进一步使得它们平面内的运动量子化，
每
个子能带会变成—系列高度简并的
Landau
能级，
成为能量完
全分立的系统。
朗道能级和相应的波函数的性质在对量子霍尔效应和反
常量子霍尔效应等的研究中有重要的应用。
1980
年，
冯
克利
钦发现二维电子气的霍耳电导，
即垂直于电场和磁场方向的
电导呈现出一个几乎是理想的平台，
即常数值，
这些平台精确
地等于基本常数
＝１／
２５８１２．
８
为普朗克常数，
为正整数）
。
具有电导率的量纲，
这一结果
的精度至少达到
8
，
并且有不受环境条件影响的优点，
从而
改进了这一基本常数的测量精度，
并导致新的便携式电阻标
准。量
子
霍
尔
效
应
还
可
用
以
确
定
精
细
结
构
常
数
2
/2
0
0
早已由其它方法精确测定。
这样固体物理学和量子电动力学发生了联系，
因此量子霍尔
效应无论在基础研究还是实际应用上都是很重要的。
1982
年，
美国贝尔实验室的科学家
们又发现霍尔平台可以出现在
N
取
1/3
，
2/5
和
2/7
等分数值的情况。对二维电子气的这些
重要物理特性的研究促进了固体物理学的发展。
对二维电子
气的深入研究有助于了解它的基本物理过程。
三、
表象和表象变换
量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。
波函
数的表示方式在量子力学中并不是唯一的，
正如几何学中选
用坐标系不是唯一的一样。
波函数也可以选用其他变量的函
数，
力学量则相应地表示为作用在这种波函数的算符。量子
力学中表象的选取决定于所讨论的问题。
表象选取得适当可
以使问题的讨论大为简化，
这正如几何学或经典力学中选取
坐标系一样。讨论问题时，
常常需要从一个表象变换到另一
个表象。在一般的量子力学教科书中，
表象是作为新的概念
表达出来的，
而表象之间的变换又是用一大堆的数学公式表
达出来的。很多学生对此感到一头雾水，
被烦琐的数学公式
推导过程所沉溺而忘记了其物理本源。
其实对于表象和表象变换，
可以有一个通俗的理解，
即坐
标和坐标变换，
这些内容是学生们已经熟悉的概念，
问题就变
的很简单了。表象就是经典物理中的坐标，
就如我们熟悉的
直角坐标系和极坐标系。在直角坐标系中，
对某个位移量用
（
x
，
y
，
z
）
三个参数来表达，
在极坐标系则使用
（
r
，
）
来表示，
二者之间有对应关系即坐标变换。
在量子力学中某个波函数
（或某个力学量）
可以在一个坐标系
（一个表象）
中表达，
也可
以用另一个坐标系
（另一个表象）
表达。
只不过原来经典物理
中的
（
x
，
y
，
z
）
，
现在换成了
（
2
，
4
…）
也就是基函数，
而
（
r
，
）
换成
（
2
，
4
…）
也就是另一个基函数，
两个
基函数之间有坐标变换关系即表象变换。
只不过原来是三维
的实空间，
现在是
n
维的，
是用一组波函数作为坐标参数来表
达某个物理量的。在教学过程中应该明确指出这一点，
通过
与经典物理中的概念进行对照，
理解表象的概念和表象变换
就很容易了，
教学中也可以避免烦琐的数学推导过程。
量子力学课程的突出特点是最接近前沿，
在教学过程中
关注科学前沿的新进展，
并将有关内容及时地充实到教学之
中，
将抽象的理论概念和结果与实验实证研究或已有物理概
念相对照，
可以帮助学生对概念的理解，
使学生了解物理学的
发展动态，
扩展学生的视野，
既生动又直观，
不仅可提高教学
效果，
还非常有利于学生学以致用，
对所学知识融会贯通，
增
强其创新思维的能力，
收到更好的教学效果。
参考文献：
［
1
］
曾谨言
.
量子力学教程
［
M
］
.
北京：
科学出版社，
2003.
［
2
］
谢希德，
陆栋
.
固体能带理论
［
M
］
.
上海：
复旦大学出版社，
2007.
［
3
］
郑厚植
.
整数、
分数量子霍耳效应简介
［
J
］
.
半导体学报，
1999
，
20
（
1
）
:1
－
10.
［
4
］
苏汝铿
.
量子力学
［
M
］
.
北京：
高等教育出版社，
1997.
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