静电场边值问题的唯一性定理，即一定的边界条件可将空间中静电场的分布唯一地确定,,均匀导体的静电平衡条件：导体内场强处处为零

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热动平衡_百度百科

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当系统处于平衡状态时，其宏观物理性质是不随时间变化的，但从微观方面来看，组成系统的粒子却处于永不停息的 ... 在热力学中的平衡是动的平衡，故称作“热动平衡”。

非局部热动平衡_百度百科

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各类恒星大气偏离热动平衡的程度各不相同。对偏离热动平衡不大的恒星大气﹐可以引入局部热动平衡假设来近似地表述它的热状态。但在许多情况下﹐如太阳色球﹑ ...

局部热动平衡_百度百科

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恒星大气深层温度高﹐浅层温度低﹐整个大气显然不处于严格的热动平衡状态。因此﹐热动平衡规律不适用于恒星大气整体。为了描述恒星大气的热状态﹐K.史瓦西和 ...

第九章  静电场中的导体和电介质

在电场的作用下，导体和电介质中的电荷分布会发生变化，这种改变了的电荷分布又会反过来影响电场分布，最后达到静电平衡。

本章讨论静电场与物质的这种相互作用规律，以及静电场的能量。

 

§9.1  静电场中的导体

一 导体的静电平衡条件

( 1 ) 均匀导体的静电平衡条件

静电平衡：带电体系的电荷静止不动，电场分布不随时间变化的状态。

导体的特点：导体内存在着大量的自由电荷，在电场力的作用下它们会作定向运动，从而改变电荷的分布；反过来，电荷分布的改变又会影响到电场的分布。

均匀导体：导体的质料和温度都均匀，在其中不存在非静电力。

静电平衡条件：导体达到静电平衡分布所必须满足的条件。

均匀导体的静电平衡条件：导体内场强处处为零。

导体内部的场强E，指的是外加静电场E₀与导体内自由电荷移动后产生的附加电场叠加后的总电场，即

  .                                                                    (9.1)

如果导体内的电场E不是处处为零的，则在E不为零的地方自由电荷将作定向运动，这时导体实际上并没有达到静电平衡。这就用反证法证明了上述静电平衡条件是必要的。进一步运用静电场边值问题的唯一性定理，即一定的边界条件可将空间中静电场的分布唯一地确定下来，则可以证明上述静电平衡条件也是充分的。

( 2 ) 静电平衡条件下导体的性质

1) 导体是个等势体，导体表面是个等势面。

由于导体内场强处处为零，因此导体内任意两点P和Q之间的电势差

  ，

所以导体是个等势体，其表面是个等势面。

2) 电荷只分布在导体表面上，导体内部没有净电荷。

按照高斯定理，有

  ,

其中V是导体内任意一闭合曲面S所包围的体积，因此导体内体电荷密度r_e = 0. 

3) 导体以外靠近其表面处的场强处处与表面垂直，其大小取决于该导体表面的面电荷密度，即

  .                                         (9.2)

图9 - 1 导体表面的场强

设P是导体外紧靠表面处的任意一点，在邻近P点的导体表面上取一面元，作扁圆柱形高斯面，使其上底通过场点P，而下底在导体内部，两底都与平行并无限靠近，侧面与垂直，则该高斯面的电场通量为

  .

① 由于导体内部的场强处处为零，所以上式中第二项沿下底的积分为零。

② 由于导体表面附近场强与表面垂直，即，所以上式中第三项沿圆柱侧面的积分为零。

③ 在上式第一项沿上底的积分中，；由于很小，可认为E都与P点的场强相等。于是，有

  .

显然，高斯面内所包围的电荷为

              ，

因此根据高斯定理有

  ,

消去后即可得到式

  .                                                                         (9.2)

( 3 ) 电荷密度与场强之间的关系

导体表面上电荷分布的定量研究比较复杂，它不仅与该导体的形状有关，还与它附近的其他带电体有关。

孤立的带电导体：导体表面凸出而尖锐的地方曲率较大，面电荷密度较大；表面较平坦的地方曲率较小，较小；表面凹进去的地方曲率为负，则更小。由式(9.2)可见，孤立导体表面附近的场强分布与上述电荷分布有同样的规律。

在导体的尖端附近电场特别强，常会发生尖端放电现象。尖端放电只发生在靠近导体尖端表面的很薄的一层空气里，在暗处可以看到尖端附近隐隐地笼罩着一层光晕，称为电晕。高压输电线附近的电晕放电会浪费很多电能，为避免这种现象，高压输电线半径不能过小，表面应做得极为光滑，一些高压设备的电极还常常做成光滑的球面。    

场离子显微镜(FIM)：样品制成针尖形状，置于先抽成真空后充进少量氦气的玻璃泡中，泡内壁敷上一层荧光质导电膜。在针尖样品和荧光膜之间加上高电压，样品附近极强的电场使吸附在其表面上的氦原子电离，氦离子沿电场线运动撞击荧光膜引起发光，从而获得样品表面的原子图象。

图9 - 2 场离子显微镜

 

二 导体壳和静电屏蔽

( 1 ) 腔内无带电体的情形

当导体壳的腔内没有其他带电体时，在静电平衡状态下，导体壳的内表面上处处没有电荷，电荷只分布在外表面上；空腔内没有电场，电势处处相等(和实心导体一样)。

证明：① 在导体壳的内、外表面之间作一闭合曲面S将空腔包围起来。由于闭合面S完全处在导体内部，没有电场通量穿过它。按照高斯定理，在闭合面S内部，即在导体壳的内表面上，电荷的代数和为零。

② 用反证法。若在导体壳内表面上有的地方，则必定有的地方，两者之间就必定有电场线存在；然而，电场线的两端又必定有电势差存在，这就与导体是等势体相矛盾。因此，导体壳的内表面上处处没有电荷。

③ 由于导体壳的内表面附近，且电场线既不可能起止于内表面，又不可能在腔内有端点或形成闭合线，所以腔内不可能有电场线和电场，腔内空间各点的电势处处相等。

图9 - 3 导体壳

电荷只分布在导体外表面上的结论，是建立在高斯定理基础上的，而高斯定理又是由库仑平方反比律导出的。因此，如果点电荷之间的相互作用力偏离平方反比律，即

 

中，则高斯定理将不再成立，从而导体上的电荷也就不会完全分布在外表面上了。用实验方法来研究导体内部是否确实没有电荷，可以比库仑扭秤实验精确得多地验证力的平方反比律。这类实验首先是由卡文迪许在1773年完成的。1971年，威廉斯等人的实验结果表明，d 的上限为.

( 2 ) 腔内有带电体的情形

当导体壳的腔内有其他带电体时，在静电平衡状态下，导体壳的内表面上所带的电荷与腔内电荷的代数和应为零。

 

( 3 ) 静电屏蔽

静电屏蔽：导体壳(不论接地与否)内部电场不受壳外电荷的影响，接地导体壳外部电场不受壳内电荷的影响。

静电屏蔽在实际中有重要的应用。例如，为了使精密的电磁测量仪器不受外界电场的干扰，通常在仪器外面加上金属外壳或金属网作成的外罩。又如，为使高压设备不影响其他仪器的正常工作，可把它的金属外壳接地。

图9 - 4 静电屏蔽

 

三 电容和电容器

( 1 ) 孤立导体的电容

孤立导体所带的电量q与它的电势V成比例，即

  .                                                                       (9.3)

式中的比例系数C称为孤立导体的电容，它与导体的尺寸和形状有关，而与q和V无关。在国际单位制中，电容的单位是F(法拉)。在实际中常用mF(微法)和pF(皮法)等。

( 2 ) 电容器及其电容

1 ) 定义

导体A的电势不仅与它本身所带的电量有关，而且与附近其他导体的形状和位置有关。

为了消除周围其他导体的影响，可用一封闭导体壳B将A屏蔽起来，A和B间的电势差与A所带的电量成比例，不受外界影响。我们把导体壳B与腔内的导体A所组成的导体系叫做电容器，其电容为

  .                                                   (9.4)

组成电容器的两导体，叫做电容器的极板。电容器的电容与两极板的尺寸、形状及其相对位置有关，而与q和U_AB无关。

在实际应用的电容器中，对其屏蔽性能的要求并不很高，只要求从一个极板发出的电场线几乎都终止在另一个极板上就行了。

图9 - 5 电容器

2 ) 几种特殊电容器的电容表达式

① 平行板电容器：

  ,                                                                          (9.5)

其中S为极板面积，d为两极板内表面间距离。

② 同心球形电容器：

  ,                                                      (9.6)

其中R_A和R_B分别为两极板内表面的半径。

③ 同轴柱形电容器：

  .                                                                      (9.7)

其中长度l远比半径差大。

3 ) 电容器的串并联

电容器并联时，加在各电容器上的电压是相同的，电量与电容成正比地分配在各个电容器上，因此整个并联电容器系统的总电容为

 

.                                         (9.8)

电容器串联时，串联的每一个电容器都带有相同的电量q，电压与电容成反比地分配在各个电容器上，因此整个串联电容器系统的总电容C的倒数为

 

.                                          (9.9)