Tuesday, June 3, 2014

已泊松分布源电荷分布 知源电荷分布，求空间场分布 ?利用高斯定理的积分形式（当电场分布具有某种空间对称性

泊松分布源电荷分布 的結果 (無引號)：


核衰变统计规律
由于原子核的放射性，衰变存在统计涨落。因此多次测量相同时间间隔内的放射性计数，即使保持相同的实验条件，每次测量的结果并不相同，而是围绕某一平均值上下涨落，有时甚至有很大差别。本实验的目的是了解核衰变放射性计数统计误差的意义，学习检验测量数据的分布类型的方法，加深对核衰变过程的理解。
一、实验原理
对于大量原子核，经过时间后，平均地说其数目将按指数规律衰减，为衰变常数，它与放射源半衰期之间满足公式：。在时间内平均衰变的原子核的数目为
                       （ 1）
在时间内，统计平均看，在个原子核中有n个核发生衰变的几率为
          （ 2）
设原子核总数>>1，测量时间远小于放射源的半衰期，即，也即衰变数n远小于粒子总数。这时式（ 2）分子中的，，…，均可用代替，于是有
由式（1）可知，这时，则有
                    （ 3）
这就是泊松分布。如果在时间间隔内平均衰变次数为，则在时间间隔内衰变数为n出现的几率为p（n）。
放射性计数的统计性是放射性原子核衰变本身固有的特性，与使用的测量仪器及技术无关。通常把看作是测量结果的最可几值，把起伏带来的误差称为统计误差，它的大小用标准误差σ来描述。
设一次测量得到的总计数为，它的标准误差就用来表示，它的相对标准误差为
                    （ 4）
由此看出：核衰变测量的统计误差决定于测量的总计数的大小，越大，绝对误差越大而相对误差却越小。设对某个计数率作了时间的测量，则总计数，计数率的统计误差为
                 （ 5）
 
由上式可看出：测量时间越长，误差越小。利用上式可以计算的误差；反过来也可以由误差要求，计算测量需用的时间。测量时就按照算出的时间进行测量，以免不必要地耽误很多时间或者误差过大。
在时间间隔内核蜕变产生的放射性平均计数为，在此时间内核蜕变产生的放射性计数为n的出现几率服从统计分布。当较小时（如10以下），服从泊松分布，如果比较大（如20以上），服从高斯分布。放射性测量数据检验的基本做法是比较测量数据应有的一种理论分布和实测数据之间的差异，然后从概率的意义上说明这种差异是否显著。差异显著，则否定原来的理论分布，说明测得的数据存在问题；反之，则接受理论分布，认为测量数据是正常的。
1、验证泊松分布
泊松分布可写为：  
            （ 6）
式中n为每次计数的值，n=0，1，2…，其平均值为，一般将取在3～7范围内。使用比较弱的放射源或直接用本底计数，选择测量时间间隔，使在此时间内平均计数在10以下。重复测量此时间间隔的计数至少400次以上。计算值根据（6）式绘出的理论曲线。观察实验数据分布曲线是否和理论曲线相吻合，如吻合则满足泊松分布。
2、验证高斯分布
高斯分布可写为 ：
                        （ 7）
式中称为方差。
实验时只需选择稍强些的放射源，让时间间隔稍长，都可满足＞20，作法与验证泊松分布相同，但重复次数要求500次以上，测量所得数据可做出计数与其出现次数的直方图，与理论曲线相比较。
本实验采用微机系统控制的核实验装置，可以方便地选择实验条件，观察值由小逐渐变大而使值从与泊松分布相符合逐渐变化到与高斯分布相符合的过程，有更丰富的实验内容和更好的实验结果。
3、检验法
 对于具有k个测量值的一组数据（i=1,2,…,k），对它们进行分组，分组的序号用j表示，j=1，2，…，γ。统计每个分组区间中实际观测到的次数，用表示。若测量值服从高斯分布或泊松分布，则可计算每个分组区间中按理率分布应有的出现次数，用表示。理论出现次数，可以根据高斯分布或泊松分布曲线下的面积函数算出各区间的面积，然后再乘以总次数k得到（曲线下总面积为1，各区间的面积即测量值按理论分布落在该区间中的概率），即
可以证明统计量
          （ 8）
近似地服从分布，其自由度v为（r-s-1），这里s是在计算理论分布次数时所用的理论分布曲线所包含的参量数目。对于正态分布s=2，对于泊松分布s=1。在数理统计中可以证明分布具有图 1所示，图中横坐标表示的取值，纵坐标表示的概率密度p(x2)。可算所取值大于某个预定值的概率，令此概率为，则
           （ 9）
                                          x21-a     x2
图 1  分布的图形
统计量可用来衡量实测分布与理论分布之间有无明显的差异。使用检验时，要求总次数不小于50，以及任一组的理论次数不小于5（最好在10以上），否则可以将组适当的合并以增加。比较的方法是先取一个任意给定的小概率，称为显著性水平，根据自由度的大小，查出对应的值，比较统计量和的大小来判断拒绝或接受理论分布，这种判断是在某一显著性水平上得出来的。
4、频率直方图检验法
对一组测量数据可以把它们直接和一个理论分布比较，从而检验这组数据是否符合该理论分布。对于实验上测得的一组数据（i=1，2…，k）首先求其平均值
                         （ 10）
计算                          （ 11）
然后对于上述的测量数据按下述区间来分组，各区间的分界点为：各区间的中心值为 
统计测量结果出现在各区间内的次数或频率，以次数或频率作为纵坐标，各区间的中心值为横坐标，作频率直方面。将所得到频率直方面与平均值，标准误差为的高斯分布曲线比较。通过比较可以定性地判断测量数据分布是否合理，以及是否存在其它不可忽略的偶然误差因素。
5、闪烁探测器的坪曲线
图 2  闪烁探测器的坪曲线
在进行研究核衰变的统计规律实验时，绝对不能使工作条件（包括几何条件和探测器状态）有丝毫改变。但在实际情况下工作电压的少量漂移在所难免，因此需要测定NaI(TI)闪烁探测器的坪曲线，以确定合适的工作电压，即选择计数率随电压漂移变化较小的工作点。坪曲线是入射粒子的强度不变时，计数器的计数率随工作电压变化的曲线。图 2是由某次实验所得的闪烁计数器的坪曲线。工作电压应选择源计数率随电压变化较小（曲线较平部分）的电压，如在图 2中，就可以选取840v。
二、实验装置
实验装置的方框如图 3所示
                 图 3   实验装置图
实验器材包括：①NaI(TI)闪烁探测器；②放射源（137Cs或60Co）；③高压电源、放大器和BH1224—4096型微机多道谱仪。
三、实验内容
1、连接各仪器设备，对实验现象进行粗测，判断工作是否正常。
2、 测量NaI(TI)闪烁探测器的坪曲线，采取定时计数的方法（建议=200秒，以减少统计涨落）；可以从V=600V开始，ΔV=30V改变工作电压；一般工作电压不宜超过1000V，以免光电倍增管发生连续放电现象而减短使用寿命。
3、根据坪曲线的实验结果选取适当的工作电压，并确定放大倍数使谱形在多道脉冲分析器上分布合理。
4、工作状态稳定后，重复进行至少100次以上独立测量放射源总计数率的实验（建议进行150-200次，每次定时15或20秒）。
本实验中，测得A个数据后，计算算术平均值和均方根差的估计值：           
（A为总测量次数），将平均值置于中央，以为组距把数据分组，算出相应的实验组频率，以（）/SX为横坐标，组频率为纵坐标，作直方图，参考图 4。
图 4  频率直方图
5、画出相应的理论分布曲线
若计数值服从正态分布，则可算出以为组距的各个相应的理论组的频率，并画于图中。
6、计算测量数据落在、、范围内的频数，并与理论值作比较。
7、对此组数据进行检验。（表 1第七栏为各区间的数值。）
例如：在本装置上做放射性的统计分布实验，选择适当的高压，使实验条件不变，以相同的时间重复计数1000次，实验数据见下表，然后对数据进行分析。数据处理见表 1。由此数据可画出图 4的频率直方图。
表  1
按为组距分组
实验次数
实验频率
理论频率
理论次数
330～339
-3.12～-2.64
0.005
0.003
0.089
340～348
-2.64～-2.16
0.008
0.011
349～357
-2.16～-1.68
0.034
0.031
358～366
-1.68～-1.20
65
0.065
0.068
68
0.132
367～375
-1.20～-0.72
129
0.129
0.120
120
0.675
376～384
-0.72～-0.24
168
0.168
0.169
169
0.006
385～393
-0.24～0.24
193
0.193
0.194
194
0.005
394～402
0.24～0.72
168
0.168
0.169
169
0.006
403～411
0.72～1.20
119
0.119
0.120
120
0.008
412～420
1.20～1.68
62
0.062
0.068
68
0.529
421～429
1.68～2.16
0.028
0.031
0.022
430～438
2.16～2.64
0.018
0.011
439～447
2.64～3.12
0.002
0.003
注意事项：
①根据所得全能谱形的实际情况可以适当截去前面计数或峰形比较杂乱的几道；
②在实验中不得改变放射源和探测器的相对位置以及放大器的放大倍数，放大倍数的选取要注意当电压达到1000V左右（即接近电压所取最大值）时谱形不得越出多道脉冲分析器的量程。
四、思考题
1．什么是坪曲线？谈谈坪曲线测量在研究核衰变统计规律实验中的意义。
2．什么是放射性核衰变的统计性？它服从什么规律？
3．的物理意义是什么？以单次测量值来表示放射性测量值时，为什么是？其物理意义又是什么？
4．为什么说以多次测量结果的平均值来表示放射性测量时，其精确度要比单次测量值高？
参考文献
1.      吴思诚 王祖铨.《近代物理实验》.北京: 北京大学出版社.1995
2.      吴泳华等.大学近代物理实验.北京:中国科学技术大学出版社.1992
3.      王正行.近代物理学.北京:北京大学出版社 .1995 
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