Saturday, July 5, 2014

bestmath01 tw01 f (a, b) 處,朝哪個方向看起來,會有最大的方向導數。方向導數可用梯度與單位向量作內積

f (a, b)
處,朝哪個方向看起來,會有最大的方向導數。


怎樣的φ 會使上式極大


方向導數可用梯度與單位向量作內積



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正在原點(0, 0),而鍋子的溫度函數是170 cos(y + xy) + 9(x2 + x + 2y)。此





時牠應朝哪個方向移動?


為了不被煮熟趕快逃跑,這隻熱鍋上的螞蟻急得像熱鍋上的螞蟻。在


此危急關頭,正所謂「急中生智」,牠在一瞬之間領悟了微積分,知道

此時要算最小方向導數。最大方向導數是取cos(φ) = 1,而最小就是取


cos(φ) = 1。也就是說,跟梯度向量的方向反向。





於是先求出梯度

f (0, 0)




=


170y sin(y + xy) + 9(2x + 1)





(0,0)


, 170(1 + x) sin(y + xy) + 9(2)





(0,0)






= (9, 18)


因此它要往(1, 2) 3 的方向移動,才會降溫最快。不過即使往降溫最快




的方向跑,溫度仍然很高,所以牠還是被煮熟了。



本站架構



本站的章節架構如下:

01 極限與連續
微積分的起源與極限的概念
極限的基本運算與連續的概念
連續函數的性質
極限的嚴格定義
02微分
微分的定義與基本性質
常見函數的微分
積法則與商法則
連鎖規則
自然指數與自然對數
隱微分
參數式的微分
反函數的微分
名詞的微分(differential)
03微分的應用
變率問題
極值問題
函數的遞增遞減與凹凸性
徒手畫函數圖的方法
均值定理
牛頓求根法
04積分
積分的基本定義及其基本性質
微積分基本定理
不定積分
曲線間所夾面積
05積分技巧
分部積分
變數代換
參變代換
三角代換
三角函數的積分
參數式積分
有理函數的積分
瑕積分
06積分的應用
曲線弧長
求體積
旋轉體的體積
旋轉體的表面積
07特殊函數
雙曲函數
gamma函數
08無窮級數
無窮級數的收斂與發散
積分審斂法
比較審斂法
比值審斂與根值審斂
交錯級數審斂
條件收斂與絕對收斂
冪級數
09泰勒展開
多項式逼近的基本概念與方法
多項式逼近的應用
泰勒定理與餘項
以冪級數反求函數
10極座標
極座標簡介
極座標之下求面積
極座標之下求弧長
11多變函數的微分
多變函數簡介
多變函數的極限
偏導數
多變數的泰勒展開
全微分
多變數的連鎖規則
多變數的隱微分
梯度與方向導數
多變函數的極值問題
Lagrange乘子法
12重積分
二重積分
三重積分
重積分的變數代換
極座標代換
圓柱座標代換
球座標代換
13向量微積分
向量函數的微分與積分
散度與旋度
線積分
線積分基本定理
Green定理
參數曲面
曲面積分
散度定理與旋度定理

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