【4-2 軌域與能階】
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能階 - 高瞻自然科學教學資源平台 - 國立臺灣大學
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Balmer Series of H. Transition of n. 3→2. 4→2. 5→2. 6→2. 7→2. 8→2. 9→2 ... 光不是在電子在繞的時候發出，而是在跳的時候發出！ ... Physics is now very confused again, anyway it's too difficult for me and I wish I am a movie comedian and ...
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人走路時為什麼要甩手？
大家也許小時候都有過一個疑問：人們走路的時候為什麼要甩手呢？為什麼如果走順拐了會感覺特別彆扭呢？一個常見的解釋是，為了保持身體平衡。這種解釋了和沒解釋沒什麼區別的答案是永遠正確的，問題是甩手到底是怎麼保持身體平衡的？
知道了什麼是角動量之後，我們就可以通過簡單的推導立刻得出一個非常牛逼的性質，角動量定理。物體的角動量變化率等於它所受的外力矩（大家應該記得力矩是什麼吧，就是 r 乘以垂直於 r 方向的力）。因此，倘若系統沒有外力矩作用，那麼角動量守恆。這種情況是十分多見的，例如一個旋轉著的陀螺，為什麼它不會很容易倒下呢？選取陀螺的轉軸為參考軸，可以看到，它是不受外力矩的，因此它的角動量守恆，在理想情況下它將一直轉下去。略微學過物理的人都知道動量 p 可以寫成 p = mv ，所以角動量 L 就等於 r × p 。因此角動量守恆就可以被稱之為 RP 守恆（這只是非官方叫法，莫當真）！
角動量守恆與能量守恆、動量守恆這三個守恆定律，是這個宇宙中最基本最牢不可破的三條定律，它們都是宇宙基本時空性質的反應。根據理論力學中的一個深刻的定理——諾特爾定理，能量守恆等價於時間平移對稱性，即物理定律並不隨著時間的流逝而發生改變；動量守恆等價於空間平移對稱性，即物理定律並不隨著空間地點的改變而改變；角動量守恆則等價於空間各向同性，即物理定律並不隨著空間朝向的改變而改變。這是一個關鍵而美麗的結果。現代物理很多內容都是建立在對稱性的種種性質上，諾特爾定理的結果就構成了現代物理基礎的一部份，它是由女數學家 埃米•諾特 （Emmy Noether）發現的。
回到本文一開始的問題上來。走路甩手是如何保持身體平衡的？
我們選取過人的質心與地面垂直的直線作為參考軸。右腳踩在地上而左腳往前邁時，左腳一個相對于軸向前的速度，而右腳有一個相對軸向後的速度。假設我們的手不甩的話，他們對身體總角動量就沒有貢獻，於是身體有了一個繞參考軸順時針旋轉的角動量。而當左腳踩在地上而右腳向前邁進時，相應的，人的身體具有逆時針旋轉地角動量。注意，身體的角動量剛才還是順時針，現在就變成了逆時針。根據角動量定理，角動量只要發生改變，就必須有力矩作用在系統上。因此，腳底必須給身體一個讓其逆時針旋轉的力矩，這是走路時身體受到外力矩的唯一方式。
但是由於人在勻速走路（通常情況下，我們的步行都可看成勻速的），所以把人看成一個整體的話，TA 所受的合力必然為 0 。因此這個力矩就必須是由一對等大、反向的力產生，而這個力就需要由腳底板和地面有個相對的旋轉運動才能產生。
然而這種腳底轉著搓地的動作想想都覺得難受，我們的身體大概沒有進化出專門幹這種詭異事情的肌肉。總結一下就是：如果不甩手，腳底板就要承受很彆扭的轉著搓地的運動。一般來說人們在走路時是不會選擇後者的，因此依靠甩手保持身體平衡就成了順理成章的事情。
當我們認可了腳底不會去轉著搓地之後，人的身體整個就沒有外力矩了，進而有角動量守恆並且等於零。換句話說，根植於潛意識中的走路程序始終是在維持著身體的角動量守恆。據此我們就可以很輕鬆地看出人類走路時應該如何甩手了：當兩腿讓身體有順時針旋轉時，雙手就必須讓整體再有個逆時針旋轉，即哪邊的腿往前邁，哪邊的手就必須往後甩，這樣才能讓整體角動量保持為零，這就是正常的甩手方式；而如果順拐的話，手和腿朝著同一方向，顯然無法讓整體角動量為零，這樣走路的話就又需要腳底板難受了。這就是走路甩手奧秘的全部。
除此之外，角動量守恆在生活中還有許許多多的應用。
一個很典型的例子是直升機的尾翼。為什麼直升機都配備一個尾翼呢，似乎直升機只要一個大的螺旋槳提供升力就夠了啊？只要用角動量守恆一分析就可以知道，如果沒有尾翼，直升機系統是角動量守恆的，因為起飛時角動量為零，所以會一直為零。而直升機的螺旋槳是一定要旋轉的，這就讓直升機只有機身拼命地往相反方向去旋轉才可能保證總角動量始終為零。在沒有尾翼的情況下，這種反向旋轉是不可避免的，為了讓機身不轉，必須打破角動量守恆，這就要提供外力矩，尾翼就是用來幹這事的。
數學科普大牛 馬丁•加德納 （ Martin Gardner）曾在自己的著作《意料之外的絞刑》裏提到了一種有意思的東西，翻身陀螺，上圖就是一個例子。它是一種特殊的陀螺，當它在綠色朝下旋轉的時候，會因為不穩定而自動翻身，變成綠色朝上然後穩定地旋轉。翻轉的道理先不用管，問題是：一開始讓它順時針旋轉的話，翻身之後它是逆時針轉還是順時針轉呢？也許沒有接觸過角動量概念的人會覺得是逆時針轉，因為陀螺好像不太可能停下來然後換個方向轉，而直接把陀螺倒過來看貌似就是逆時針轉的了。可是當我們知道了角動量守恆之後，就可以輕鬆判斷一定會仍然順時針旋轉了。我們甚至根本不必關心翻身的過程到底有多複雜，就可以得出答案，這就是用守恆律去研究問題的一大好處。
最後再來一張xkcd的漫畫，相信明白了角動量守恆的你們應該能看得懂了：
角動量和角動量定理
為了講清楚這個問題，就需要引入角動量的概念（本文中所研究的對象只涉及繞軸的旋轉，因此在這裏就引入一個角動量的簡化版本的定義）：對於一個質量為 m 質點，以任意一條直線作為參考軸，設被研究的質點到這條軸的距離為 r ，如果質點垂直於 r 方向的速度為 v ，那麼這個質點（相對於這條參考軸）的角動量則為 L = rmv 。如果被研究的物體不是質點，例如是一個人，那麼 TA 整個的角動量就是 TA 身上所有質點的角動量之和。
知道了什麼是角動量之後，我們就可以通過簡單的推導立刻得出一個非常牛逼的性質，角動量定理。物體的角動量變化率等於它所受的外力矩（大家應該記得力矩是什麼吧，就是 r 乘以垂直於 r 方向的力）。因此，倘若系統沒有外力矩作用，那麼角動量守恆。這種情況是十分多見的，例如一個旋轉著的陀螺，為什麼它不會很容易倒下呢？選取陀螺的轉軸為參考軸，可以看到，它是不受外力矩的，因此它的角動量守恆，在理想情況下它將一直轉下去。略微學過物理的人都知道動量 p 可以寫成 p = mv ，所以角動量 L 就等於 r × p 。因此角動量守恆就可以被稱之為 RP 守恆（這只是非官方叫法，莫當真）！
角動量守恆與能量守恆、動量守恆這三個守恆定律，是這個宇宙中最基本最牢不可破的三條定律，它們都是宇宙基本時空性質的反應。根據理論力學中的一個深刻的定理——諾特爾定理，能量守恆等價於時間平移對稱性，即物理定律並不隨著時間的流逝而發生改變；動量守恆等價於空間平移對稱性，即物理定律並不隨著空間地點的改變而改變；角動量守恆則等價於空間各向同性，即物理定律並不隨著空間朝向的改變而改變。這是一個關鍵而美麗的結果。現代物理很多內容都是建立在對稱性的種種性質上，諾特爾定理的結果就構成了現代物理基礎的一部份，它是由女數學家 埃米•諾特 （Emmy Noether）發現的。
角動量如何影響走路
回到本文一開始的問題上來。走路甩手是如何保持身體平衡的？
我們選取過人的質心與地面垂直的直線作為參考軸。右腳踩在地上而左腳往前邁時，左腳一個相對于軸向前的速度，而右腳有一個相對軸向後的速度。假設我們的手不甩的話，他們對身體總角動量就沒有貢獻，於是身體有了一個繞參考軸順時針旋轉的角動量。而當左腳踩在地上而右腳向前邁進時，相應的，人的身體具有逆時針旋轉地角動量。注意，身體的角動量剛才還是順時針，現在就變成了逆時針。根據角動量定理，角動量只要發生改變，就必須有力矩作用在系統上。因此，腳底必須給身體一個讓其逆時針旋轉的力矩，這是走路時身體受到外力矩的唯一方式。
但是由於人在勻速走路（通常情況下，我們的步行都可看成勻速的），所以把人看成一個整體的話，TA 所受的合力必然為 0 。因此這個力矩就必須是由一對等大、反向的力產生，而這個力就需要由腳底板和地面有個相對的旋轉運動才能產生。
然而這種腳底轉著搓地的動作想想都覺得難受，我們的身體大概沒有進化出專門幹這種詭異事情的肌肉。總結一下就是：如果不甩手，腳底板就要承受很彆扭的轉著搓地的運動。一般來說人們在走路時是不會選擇後者的，因此依靠甩手保持身體平衡就成了順理成章的事情。
當我們認可了腳底不會去轉著搓地之後，人的身體整個就沒有外力矩了，進而有角動量守恆並且等於零。換句話說，根植於潛意識中的走路程序始終是在維持著身體的角動量守恆。據此我們就可以很輕鬆地看出人類走路時應該如何甩手了：當兩腿讓身體有順時針旋轉時，雙手就必須讓整體再有個逆時針旋轉，即哪邊的腿往前邁，哪邊的手就必須往後甩，這樣才能讓整體角動量保持為零，這就是正常的甩手方式；而如果順拐的話，手和腿朝著同一方向，顯然無法讓整體角動量為零，這樣走路的話就又需要腳底板難受了。這就是走路甩手奧秘的全部。
角動量的其他應用
除此之外，角動量守恆在生活中還有許許多多的應用。
一個很典型的例子是直升機的尾翼。為什麼直升機都配備一個尾翼呢，似乎直升機只要一個大的螺旋槳提供升力就夠了啊？只要用角動量守恆一分析就可以知道，如果沒有尾翼，直升機系統是角動量守恆的，因為起飛時角動量為零，所以會一直為零。而直升機的螺旋槳是一定要旋轉的，這就讓直升機只有機身拼命地往相反方向去旋轉才可能保證總角動量始終為零。在沒有尾翼的情況下，這種反向旋轉是不可避免的，為了讓機身不轉，必須打破角動量守恆，這就要提供外力矩，尾翼就是用來幹這事的。
數學科普大牛 馬丁•加德納 （ Martin Gardner）曾在自己的著作《意料之外的絞刑》裏提到了一種有意思的東西，翻身陀螺，上圖就是一個例子。它是一種特殊的陀螺，當它在綠色朝下旋轉的時候，會因為不穩定而自動翻身，變成綠色朝上然後穩定地旋轉。翻轉的道理先不用管，問題是：一開始讓它順時針旋轉的話，翻身之後它是逆時針轉還是順時針轉呢？也許沒有接觸過角動量概念的人會覺得是逆時針轉，因為陀螺好像不太可能停下來然後換個方向轉，而直接把陀螺倒過來看貌似就是逆時針轉的了。可是當我們知道了角動量守恆之後，就可以輕鬆判斷一定會仍然順時針旋轉了。我們甚至根本不必關心翻身的過程到底有多複雜，就可以得出答案，這就是用守恆律去研究問題的一大好處。
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