tw01 Laplace01 算子 偏微分方程粗 是把左邊的微分組合解釋為沿(a, b) 方向的“方向微分”,

http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d243/24302.pdf

是把左邊的微分組合解

釋為沿(a, b) 方向的“方向微分”,

即引進s

及考慮u(x1 + sa, x2 + sb), 則u 沿(a, b)

方向的變化率為

橢圓偏微分方程漫談

陳俊全

一. 橢圓方程

偏微分方程粗分為橢圓、拋物及雙曲三

類型, 它們是怎麼分的? 這麼分又有什麼

好處? 首先, 考慮最簡單的情況, 假設函數

u = u(x1, x2) 只有兩個變數, 並且滿足一

階方程(即最高次微分只有一次)

aux1 + bux2 = 0, (1.1)

其中a, b 為常數, ux1 = @u

@x1

, ux2 = @u

@x2

。通

常解這類方程的方法是把左邊的微分組合解

釋為沿(a, b) 方向的“方向微分”, 即引進s

及考慮u(x1 + sa, x2 + sb), 則u 沿(a, b)

方向的變化率為

d

ds

u(x1 +sa, x2 +sb) = aux1 +bux2 = 0.

由此, 可推得在每一條直線{(x1 +as, x2 +

bs) : −∞ < s < ∞} 上, u 都是常數。反

之, 若u 在這些直線上是常數, 則必定滿足

方程(1.1)。

現在, 考慮難一點的二階方程(即最高

次微分為兩次)

aux1x1 + bux1x2 + cux2x2 = 0, (1.2)

其中a, b, c 為常數, ux1x1 = @2u

@x1@x1

,

ux1x2 = @2u

@x1@x2

, . . .。一個解(1.2) 的自然

想法是把二階偏微分的組合分解成兩個一階

微分的作用。如果二次方程

aλ2 + bλ + c = 0 (1.3)

有兩實根λ1 及λ2, 則可將(1.2) 改寫成

0 = aux1x1 + bux1x2 + cux2x2

= a

"

∂

∂x1

(ux1 − λ1ux2)

−λ2

∂

∂x2

(ux1 − λ1ux2)

#

≡ a(

∂

∂x1 − λ2

∂

∂x2

)

・(

∂

∂x1 − λ1

∂

∂x2

)u.

上式最後一項是以濃縮的方式表示微分作用。

如此一來, (1.2) 左邊可解釋為沿(1,−λ1)

方向作微分, 再沿(1,−λ2) 方向作微分。分

兩次仿照解(1.1) 的方法, 即可找出(1.2) 的

解。

當λ1, λ2 非實數時, 我們必須用其它方

法或在複數系中考慮方程(1.2)。此時, 解的

性質表現得非常不同。為此原故, 根據λ1, λ2

的不同可將方程(1.2) 分成三類型(在此假

設a, b, c 為實數):

17

18 數學傳播24卷3期民89年9月

(1) 當λ1 6= λ2 為相異實根, 即b2 − 4ab >

0, 稱方程為雙曲型;

(2) 當λ1 = λ2 為實重根, 即b2 −4ab = 0,

稱方程為拋物型;

(3) 當λ1 及λ2 非實數時, 即b2 −4ab < 0,

則稱方程為橢圓型;

對更一般二階線性方程

aux1x1 + bux1x2 + cux2x2 + dux1

+eux2 + f = 0,

它的分類只根據最高次微分項的係數a, b, c

依同樣方法分類。三類型方程的名稱由來和

二次曲線

ax21

+ bx1x2 + cx22

+ dx1 + ex2 + f = 0.

是一致的。b2−4ac > 0,= 0,< 0 對應的二

次曲線恰為雙曲、拋物, 和橢圓。它們的代表

方程分別為x22

− x21

= 1, x2 − x21

= 0 及

x21

+ x22

= 1。若不考慮常數項部份, 相應的

代表方程分別是

波方程(雙曲) ux2x2 − ux1x1 = 0

熱方程(拋物) ux2 − ux1x1 = 0

Laplace方程(橢圓) ux1x1 + ux2x2 = 0.

關於這三個方程進一步性質,請參看本期「劉

太平」的文章。

當函數的變數個數增加或方程微分次數

增高時, 雖然上述三種分類再也不能涵蓋所

有情形, 但許多重要的例子仍然可歸於這些

分類當中。以Laplace 方程而言, 在n 維

空間中的自然推廣是

ux1x1 + ux2x2 + ・ ・ ・ + uxnxn = 0.

習慣上, 我們以△ 代表@2

@x2

1

+ @2

@x2

2

+・ ・ ・+ @2

@x2

n

這個運算, 稱之為Laplace 算子, 並將方程

簡寫作

△u = 0.

對於一般n 變數二階線性方程

X

1≤i,j≤n

aijuxixj +

X

1≤i≤n

biuxi + cu = f

(1.4)

同樣的, 它的分類以最高次微分的係數aij 作

依據。在一個合理的分類當中, 方程的類型不

應該隨座標變換而更動。當

P

aijuxixj

可經

座標變換而化成△u 時, 便稱(1.4) 為橢圓

型方程。它的充分必要條件為: 存在λ > 0

使

X

1≤i,j≤n

aijξiξj ≥ λ

X

1≤i≤n

ξ2

i (1.5)

對所有(ξ1, ξ2, . . . , ξn) ∈ Rn 都成立, 即矩

陣(aij)n×n 是正定的。

當(1.4) 中的係數和x = (x1, . . . , xn)

有關時, 橢圓型的定義是在每一點x 上,

(1.5) 都成立。對於更高階線性方程式, 從

經驗上來看, 橢圓型的定義應該要滿足類似

(1.5) 的條件。因此, 我們把最高次微分的項

拿出來, 每一個偏微分運算@

@xi

都用ξi 取

代, 並把u 去掉, 這樣得到的數值若對任何

(ξ1, . . . , ξn) 6= (0, . . . , 0), ∈ Rn, 都不會是

零, 便稱之為橢圓型。對於非線性方程式, 我

們利用泰勒展開式, 以線性方程作逼近, 再以

線性方程