Wednesday, August 1, 2012

力学中的微分方程 相对于初始位形的平衡方程,相对于最终位形的平衡方程

微分方程与变分法
已有 334 次阅读2012-5-15 21:34|个人分类:生活点滴|系统分类:科研笔记
对力学中的微分方程,有两种极端观点:1)教科书中的经典论证,相对于初始位形的平衡方程,因而,力学量的计算和求解是在初始位形的坐标上表达的。不加深刻思考的话,可能根本就不知道还有另外的说法。(欧拉坐标系)
2)相对于最终位形的平衡方程,因而,力学量的计算和求解是在最终位形的坐标上表达的。显然,这一开始就陷入困境:最终位形是未知的,因而,一个物质点在最终位形的坐标也是未知的。(拉格朗勒坐标系)
这样,一个只言片语就把这个尖锐问题克服了:对微小变形,欧拉坐标系描绘和拉格朗勒坐标系描述间的差别可以忽略不计。
这种理所当然在最终位形(所得到的解)与初始位形的确差别很大时,也就荡然无存。
可以这样辩论:在任何一个微小的增量变形下,二者的差别可以忽略不计。因而,引入中间位形(介于最终位形和初始位形中间)就可以了。这真是和稀泥的好办法,谁都不得罪。
不断的引入中间位形,在理论上就能解答复杂的大变形了。
太好了,有限元法及时的充当了这个角色。
沿着和稀泥的思路,在最终位形和初始位形间的中间位形连续操作得到是一个积分过程,好,定名它为:路径积分。
这样,对拉格朗勒量作路径积分就得到了所谓的作用量。它的最小化就给出了解。
由此,有限元法的理论基础也就坚定了。
大量的专著“证明了”:最小作用量原理得到的微分方程与以广泛接受的微分方程是等价的,或同样的。
当然,高水平的专著不会犯这类错误。
一般说来,用最小作用量原理得到的微分方程是与路径参数有关的,在思想上就是对2)(相对于最终位形的平衡方程)的具体落实。
现在,在经历几十年的努力后,人们发现:我们需要这样一个数学理论,它既满足1)(相对于初始位形的平衡方程)又满足2)(相对于最终位形的平衡方程)。而且是在一个方程里同时满足。
无知者和大多数的权威者一样的对此不屑一顾。
但是,在上世纪90年代,用这个观点处理麦克斯韦方程组取得了理论操作上的成功。尽管工程上的成功还没有明确的报导过,但是,大门就此打开。
到了2000年,专门的期刊出现了。到2010年,已小有气候。
但是,五花八门的,各说各话。
这个东周列国时代几时才是个头?没人知道。
但是,这是正确的方向。至少参与者是这样认识的。
我考察过传统的期刊,偶尔能看到这类性质的论文。
无论如何的去贬低这类性质的论文,也无论如何的去改善传统的微分方程与变分法,一个不以人的意志为转移的事实是:这条路就在那,以它自身的发展规律在成长。
少数一流的大学已经把这条路的成果编入教科书,显然,一流的学生也将出现在那类学校。
我看到某期刊的投稿须知上有一句话:参考文献必须是本刊文章或XXX期刊集团的文章。
笑笑而已。天高任鸟飞。


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