道夫（Hausdorff）1919年引入的维数概念：
它表明对于p维空间中的子集合，需要用N块边长为ε（任意值）的d维方块去覆盖。为
了使覆盖越来越精确，必须使ε趋向零，也即用无限多个小方块来覆盖无限多个点，通过
求它们的比值把无限维的问题转化为有限的情况来处理，所以往往呈分数的形式
发信人: lanlankai (厚积薄发), 信区: Mechanics 标 题: 混沌理论解释湍流现象2 发信站: 饮水思源 (2003年12月03日12:12:28 星期三) 三、奇怪吸引子 在研究实际情况的高维映射中，除了具有与一维映射类似的性质外，还存在着相空间 的相似性。这种相似性是由奇怪吸引子的分数维数所描述的。和通常的高维吸引子不同， 奇怪吸引子的形状，既非曲线也非曲面，而是由离散点集组成的，点集中任何二个相邻的 点之间必定存在不属于这个点集的点。为了具体说明这个问题让我们考察埃农（Henon）映 射 xn+1=1-ax2n+yn yn＝bxn （5） 这是一个二维映象，b=0.3，a＝0.4时它是一个耗散系统，经过10000次迭代后，人们 可以绘制出点集（x，y）的图A来。如果把迭代次数增加到10万次取出A图中的一小块放大 绘成B图，可以看出它仍有内部结构。迭代100万次，再取出B图中的一小块放大，人们会得 到与B相似的C图……藉此不难想像出高维映象中奇怪吸引子的性态。 奇怪吸引子的出现是由于高维相空间中的耗散系统，在演化过程中要耗损掉快弛豫参 量，剩下决定系统长时间行为的慢弛豫参量。在这过程中，系统的相体积要不断地收缩， 并趋向一个维数比原来相空间维数低的有限区域——吸引子上；方程的非线性，使得某些 方向上的运动是不稳定的，局部看来呈指数分离。为了在有限的区域里进行指数分离，空 间运动轨道只能采取无穷次折迭起来的办法。奇怪吸引子吸引一切在它外面的运动，而它 内部的运动轨道又是互相排斥的，它是吸引与排斥二种趋势相斗争、妥协的结果。它所描 述的相空间中无穷嵌套的自相似结构和湍流中大漩涡套小漩涡的情景有异曲同工之妙。所 以罗埃尔在1971年就提出了湍流就是奇怪吸引子的观点。瞬息万变的湍流现象内部有无限 多的层次，但是我们一旦抓住了各个层次上的共同特征及其本质的规律后就可以化繁为简 ，构造出奇怪吸引子这个处处稀疏、处处不连续的几何对象来刻划它。 由于奇怪吸引子的行为特异，所以至今还没有为人们普遍接受的定义，但是下面的性 质是公认的。 奇怪吸引子上的运动对于初始条件十分敏感，因而不存在周期性。其结果使体系遍历 各种可能的状态。这种谓之遍历性的性质将初始条件的影响彼此抵消、互相调匀了，为我 们用统计方法描述体系的性质提供了依据。 奇怪吸引子的另一个特征便是作为相空间中的子集合，往往具有非整数维数。这是豪斯 道夫（Hausdorff）1919年引入的维数概念： 它表明对于p维空间中的子集合，需要用N块边长为ε（任意值）的d维方块去覆盖。为 了使覆盖越来越精确，必须使ε趋向零，也即用无限多个小方块来覆盖无限多个点，通过 求它们的比值把无限维的问题转化为有限的情况来处理，所以往往呈分数的形式。非整维 数的引进把牛顿、爱因斯坦以来的时空观又向前推进了一大步。作为非整维数的实例，我 们介绍一下康托尔（Cantor）集合，它是由线段[0，1]三等分后舍去中段，对剩下二个闭 区间再作同样的处理，如此无穷继续下去，最后剩下的点的全体所组成的。这是一种处处 稀疏、处处不连续的几何对象。显然，康托尔集合的维数d＝ln2/ln3=0.630。 康托尔集合是一种很基本的对象，它出现在许多更复杂，具有无穷自相似层次的几何 结构的某些截面中。前述埃农吸引子在某一方向上基本是连续的一维结构，而在与之相垂 直的方向上，虽然有一定宽度但又处处稀疏达不到一维连续统。计算表明，埃农吸引子的 豪斯道夫维数d=1.26。需要指出的是，由于豪斯道夫维数是一种测度性质，它可能随参数 或空间位置不同而异。 在科学史上往往有这样的情况：从某一个方向考虑一个难题许久未有结果，但如果从 另一个角度去考虑，有时甚至只是改变了一下问题的提法就看到了希望所在。湍流的研究 也许就是这样。1976年曼德勃罗特（Mandalbrot）提出必须从几何形态的考虑着手解决湍 流问题。根本改变了传统的做法。他根据大尺度间歇现象的发现，认为大气湍流不是像传 统的连续介质那样处处都存在，而是有些地方有，有些地方又没有；有时有，有时又没有 。因此，湍流运动只是一种局部的、间断的现象，应该把湍流区看作是介于二维和三维之 间的一种分数维数的情况来处理。湍流的运动区域与肥皂泡的形状很像，与“奇怪吸引子 ”有类似的结构。他也提出要用分形（fractal）研究湍流。 “他山之石可以攻玉”，这里一方面指的是不同领域、不同学科之间的交叉、渗透， 同时也包括了积极吸收前人的成果，吸取他人的先进思想，把它应用到有待解决的问题中 去。通过奇怪吸引子把古老的湍流问题和现代相变理论挂上了钩，许多人借用了相变理论 中的临界指数、标度律和普适性等概念，藉助重整化群的方法来处理湍流问题，并且得到 了满意的结果。 四、条条道路通湍流 目前，对混沌现象的研究离开发达的湍流相去甚远。但是，大家都希望能用少自由度 的低维吸引子来刻划湍流。这个观点在弱湍流阶段已得到了实现。在下面的行文中，我们 将不加区别地运用混沌和湍流这两个词。 从数学上来讲，通向湍流的道路和非线性方程解的分岔性质有着密切的关系。我们已 经比较详细地讨论了倍周期分岔的道路，下面将简单地介绍其它几种情况。 1．切分岔——阵发混沌的道路 它发生在混沌区内周期窗口附近。现以a=1.75为起始点的三周期f(3)（x）为例说明之 ，在f(3)（x）～x图中，f(3)（x）与对角线f(3)（x）=x在三点同时相切，这三个切点就 是不动点。当a＞1.75时，三个切点变为三对交点。根据稳定性判据，在每一对交点上有一 个是稳定的，另一个是不稳定的，因此同时出现了一对稳定和不稳定周期。最后在这里形 成了稳定的三周期轨道。而在a＜1.75时，f(3)（x）与对角线没有交点，因而也不存在稳 定的或者不稳定的周期，这个由切点而导致的分岔称为切分岔。阵发混沌发生于切分岔起 点之前，它随时间变化的基本特征是：在基本上属于周期振荡的序列中，有时会突然出现 一阵混沌运动，尔后又出现周期运动……。随着a的减小混沌运动所占的时间比例越来越大 ，最后完全变为混沌。研究表明，凡是观察到倍周期分岔的系统都可以看到阵发混沌。 2．霍甫（Hopf）分岔——准周期的道路 由于分岔次数的差别它又分为二种情况： (1)朗道（Landau）—霍甫道路 霍甫分岔描述的是在二维以上的相空间中，当某个不动点在参数变化的过程中由稳定 而失稳时，新的稳定状态往往是围绕着原有不动点的周期运动，并产生频率为f1的振荡。 控制参数继续增大，极限环又失稳出现了另一个新频率f2，运动扩充以到二维环面。只要 f1、f2之比为无理数时，运动就有准周期的性质：在充分长的时间内，系统所经历的状态 可以与事先给定的一种状态任意地接近。随着参数的增大，新产生的频率越来越多，当频 率数变得充分大时，导致了发达的湍流。 但是，在其后的几十年中，无论是理论研究还是实验观察都否定了上述机制。然而， 他们对这个问题考虑的精华部分却被后人所接受。 (2)罗埃尔—泰肯斯（Tankens）道路 1971年他们提出，不动点经过三次霍甫分岔后，只要所产生的三个频率是不可约的就 可能失稳而进入湍流状态。1978年他们认为只需要经过二次分岔，即二维环面上的准周期 运动就可能失稳而导致湍流。但是，在实验室中和计算机上都发现了具有三个不可约频率 的准周期运动的系统仍未进入混沌的情况。看来准周期道路应理解为不动点经过有限次分 岔后就会失稳而进入混沌状态，具体情况须视系统的本身、参数的选择以及环境的影响而 决定。 郝柏林等人在微分方程所描述的强迫布鲁塞尔振子参数空间的不同截面方向上已经观 察到了上面所介绍的各种通向湍流的道路。看来湍流的发生机制可能是多方面的，一条道 路只反映了一个侧面。“条条道路通湍流”并非说说而已。 实践是检验真理的唯一标准。我们采用了分频采样、功率谱、彭加勒（Poincare）截 面和直接观察的方法，引进了吸引子的维数、李亚普诺夫（Lyapunov）指数以及各种不同 定义的熵来刻划混沌运动。无论是解析讨论还是实验室里的实验都有大量的报导。作为混 沌现象的重要研究手段，计算机实验的报导更是屡见不鲜。下面，我们仅介绍流体力学实 验中所看到的湍流形成机制。 首先，考虑夹在二块无限大平板之间的流体在上、下底面温度差变大的过程中所出现 的对流花样变化，最终形成对流湍流的实验。Libchaber等人以液氦为工作物质的实验中， 在功率谱上看到了倍周期分岔，以及随着雷诺数的增加从层流演化到湍流的过程，中间还 看到了阵发混沌的现象。Giglio等用水做工作物质，直接测量了至n＝4的分岔点及相应的 δ，得到了δ1～2，δ2～3.3，δ3～3.53，δ4～4.3，从趋势上来看与理论相吻合。Swi nney选用水银做工作物质时，在功率谱上看到了具有两个不可约频率的准周期运动及其失 稳进入混沌状态的过程，表现为罗埃尔的道路。 剪切湍流最常见，对它的研究也最有实用价值。通常是测量在两个可以独立转动的同 轴圆筒之间所盛的工作流体随着雷诺数的增加而产生的状态变化，人称泰勒不稳定性。在 外圆筒静止的实验中已观察到倍周期分岔和准周期到混沌态的过渡，而且得到了和计算机 实验较为一致的结果。在两个圆筒都旋转的实验中还观察到了阵发混沌的现象。流体力学 的实验证实由于参数选择的不同，甚至达到参数的过程不同，流体从层流到湍流的过程呈 现不同的道路。 对于奇怪吸引子维数的测定也已有实验报导。在模拟因地球自转而引起的大气层对流 的实验中测到的奇怪吸引子维数为7～12。在有温度梯度的泰勒圆筒实验中，当系统处于准 周期状态时为2～3维，进入混沌状态后增加到11维；没有温度梯度时，准周期阶段的维数 为2，当雷诺数R=1.3Rc时增加到4～5维。可见，这些有无限多个自由度系统的弱湍流状态 完全可以用低维的奇怪吸引子来描述。但是要藉此来讨论发达的湍流恐怕还有一段距离。 从混沌现象着手考察湍流的发生机制已经受到越来越多的科学家和工程师们的关注。 在研究流体中所发生的实际情况的基础上建立新的统计模型，有希望在探求湍流过程的共 同特性上取得进一步的了解。最近阶段，上述研究将有助于我们得到关于湍流统计模型较 为合理的多种假设，改善控制不稳定性的技术，提高我们利用和控制湍流的能力，改进各 种和湍流有关产品的设计和制造以及加强对大气和海洋这一类大尺度无序的预报能力。 由于非线性是自然现象的普遍规律，所以在有物质流、能量流、信息流的地方均可能 出现混沌现象。目前的报导不仅在自然科学、工程技术诸领域中，而且已经延伸到社会科 学。钱学森同志认为系统工程得以上升为系统理论的基础就是“突变”理论。菲金堡姆常 数可以作为系统理论定量化的一个出发点。湍流问题不应局限于流体力学而应成为自然科 学、社会科学以至各行各业共同关心的一个横断学科。 对混沌现象研究的背后蕴含着物理学的又一次革命，本世纪初的物理学革命找到了接 近光速的高速系统和尺度为原子大小的微观系统的规律，而对由大量客体组成的“复杂” 系统则知之甚少。虽然玻尔兹曼1887年就提出了S∝lnW的关系，普朗克则把它进一步推广 为S＝klnW，并在得到普朗克常数的同时得到了R的值。但是统计问题的复杂性，以及当时 其它学科的迅速兴起吸引了人们的注意力，使得统计物理的奠基问题拖了将近一个世纪。 现在，混沌理论能够很好地描述系统从简单到复杂的演化过程，但要解决上面的问题尚有 大量的工作要做，很可能还是以“熵”作为问题的突破口。可以预料，这次革命的意义必 定超过以前的任何一次革命。混沌理论将有助于我们从整体上去认识现实世界多样性和复 杂性的进化。西方的经典科学片面地强调了组成物质的单元，习惯于把研究对象分解为各 种简单的要素来处理，以致有时忽视了我们所面临的是这些单元复杂而有机的结合，它们 要随着时间的流逝而发生演化（在众多的物理学定律中唯有热力学第二定律涉及了这个论 题）。为了全面、准确地认识这个世界还需要从整体上去进行考察。对此，中国古代的哲 学有其独到之处，阴阳五行相生相克，充分体现了整体的协调和协作，这一点正为越来越多的西方科学家所注目。把东西方传统的哲学结合起来，建立新的自然 苎Ы辛Φ赝贫碌目蒲Ц锩庵终苎墙⒃谌撕妥匀煌骋坏淖匀还壑系摹；煦缋 砺凵婕傲苏舛鑫侍獾幕。允玖耸挛锼孀攀薄⒖盏难莼碳捌湓嚼丛椒岣坏慕峁 霾皇恰叭燃拧薄？梢栽ち希煦缋砺郾亟谌死嗬烦ず拥恼庖桓鲎鄣闵戏⒒又匾 淖饔谩！ -- 每天都是全新的！ ※ 来源:·饮水思源 bbs.sjtu.edu.cn·[FROM: 202.120.50.10] |
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