Seiberg-Witten 理論對四維流形研究的影響

Seiberg-

Witten 理論對四維流形研究的影響

淺

談場量子化與低維拓樸

鄭

日新

隨著量

子力學的發展, 量子化後的物理

系

統恆為精密的實驗所支持, 而描述量子系

統

的“新”數學在某種意義下也推廣了舊有的

數

學。本文嘗試介紹若干低維拓樸理論與某

些場

量子化理論的關聯, 而“新”的精細拓樸

不

變量常可理解為有關場算子的n-“point”

相

關(correlation) 函數。我們將提到因為這

個

看法而導致研究方法改變的一個例子: 即

Donaldson

四維微分結構不變量的研究因

Seiberg-Witten

場論的看法主方程由瞬息

子

(instanton) 方程轉到較易處理的某種

單

極(monopole) 方程(現在叫Seiberg-

Witten

方程), 另外也提一個量子場論思想

對原

拓樸問題思考方式影響的例子: 即某種

精細

的三維觸結構拓樸不變量的定義。

1.

從量子化談起

對

一個物理系統的描述, 須要知道什麼

是

它的態(state), 什麼是可觀測的物理量

(observable)

。一般描述量子物理系統中的

態

是用所謂Hilbert space的數學語言, 而物

理

量則為作用其上的算子。當我們對某物理

態

|- > 去測量某物理量O 時, 我們量到

的是

O 的某個固有值(eigenvalue) n, 這

裡

O|-n >= n|-n >, 而量到 n 的機率

是

|h-n|O|-i|2。我們現在看一個點粒子的量

子力學

, 其Hamiltonian H (代表能量) 為

H

= −(~2/2m)∇2 + V (x).

這

裡∇2 為Laplacian 算子, V (x) 為

位

能函數。(~ 表Planck 常數, m 表粒

子

質量) 令x(0) 表位置算子, 即其固有

值

表粒子位置, 在通常用波函數- 表達態

時

, (x(0)-)(y) = y-(y) (一維時, 以

下同

)。令時間t 時的位置算子x(t) =

exp(

iHt)x(0) exp(−iHt)。調整H (加一

常數

) 使其最小固有值為0, 對應的固有向量

|

0 > 稱為此系統的基態(ground state)。取

t

1 > t2 > · · · > tn, h0|x(t1) · · · x(tn)|0i

或

簡單表為hx(t1) · · · x(tn)i 是極重要的物

理

量, 所謂的n-point 相關函數。在量子場

論

中此等量(見後述) 有直接的物理意義, 它

們

包含了所有的物理預測。它們也叫Green

函

數, 可驗證2-point 相關函數在某些情況

確為

一般方程意義下的Green 函數。此n-

point 相關