PB06001065 谢润之
热传导方程是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。
热传导在介质里的传播可用以下方程式表达显然这是一个抛物型方程。其中u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。k 决定于材料的热传导率、密度与热容。如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界。热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态。
为了确定一个具体的热传导过程，除了列出方程外，还必须知道物体的初始温度（初始条件）和在它的边界上所受到的外界的影响(边界条件)。初始条件：
边界条件，最通常的形式有三类。 第一边界条件（或称狄利克雷条件）：即表面温度为已知函数。
第二边界条件：通过表面的热量已知。
第三边界条件：物体表面给定热交换条件。
方程和不同的边值条件构成了不同的定界问题。
基本解：基本解是点热源的影响函数。其为：
热传导方程的第一第二初值问题可经过叠加由基本解生成：
。
就技术上来说，热方程不是准确的，因为它的解表示：一个扰动可以在瞬间传播到空间各处。扰动在前方光锥外的影响被忽略了，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。
一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流入空间中一块区域的热量。
单位时间内流入区域 V 的热量由一个依赖于时间的量qt(V)给出。假设q有个密度Q(t,x)于是热流是个依赖于时间的向量函数H(x)，其刻画如下：单位时间内流经一个面积为dS而单位法向量为n的无穷小曲面元素的热量是 因此单位时间内进入V的热流量也由以下的面积分给出。
其中 n(x) 是在 x 点的向外单位法向量。
热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系其中A(x)是个3×3实对称正定矩阵。利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分。
温度在x点对时间的改变率与流进无穷小体积元素的热量成比例，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写作κ (x)。将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。
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