场作为一个物理体系可由一组彼此独立的函数 (，， )来描述

场作为一个物理体系可由一组彼此独立的函数 (，， )来描述， 一1，2，⋯，s，s的大小由

场的内部性质决定，这组函数即可选作描述场这一物理体系的广义坐标a％(，· )( 一1，2，

⋯
，s)将满足一组微分方程，称为场方程

第l5卷第4期

V0I．15 No．4

昭通师专学报

Jou rnal。f Zh~otong Teacher's College

1993年(自总第l2期)

④

b l

电磁场方程的拉格朗I=t表述 0

洪文钧

(物理系)

摘要：分析力学是力学发展的高衄形式，具有很高的理论价值，不血可以处理复杂的力学体系．而

且还可用干非力学体系的研究。木文以变分原理曲出发点．愚拉格朗日方击讨论电磁场体

束的运动特征，将电磁场方程纳入舟析力学的理论体系之中。

关键词：电磁场方程舟析力学

● ●● _·__●。 一-_____ 一

拉格朗日函数

电磁场作为一种物质形态．其空间分布是连续的。如果将电磁场看作一个物理体系，那么

它和力学中的连续体系具有相似的体系结构，可用拉格朗日函数密度来描述。因此，电磁场方

程可以纳入分析力学的理论体系之中。

1 电磁场的场方程 ’

电磁场是一种矢量场．其场矢量( ，口)所满足的微分方程是麦克斯韦方程组

V× 一一警

V × 丑一 E0 3E + ，

v ．E 一旦

E0

‘

审⋯ 0 j

上面四个方程中的E和B共有6个分量，但这6个分量彼此并不完全独立，故不适于选作广

义坐标。若采用势函数A(r， )和 r， )来描述，则A．( 一1，2，3)和 是彼此独立的，因此

用分析力学方法表述电磁场时，可选用势函数作为广义坐标。A(r， )和 r，￡)与E(r．￡)和

B(r，￡)的关系由(1)中的第一式和第四式给出：

一一

V 一 3AI (2)

口一v×A J

当用势函数(A， 来描述电磁场时，场方程为达朗伯方程：

本文于1993年9月I目收到。

V 一吉 。 一一 一，

V 吉 一一 P

(可·A+ 警一o)

(3)

63 —

第l5卷 昭通师专学报 1993年(自总第12期)

式申一 ‘

2 电磁场的一般性场方程

场作为一个物理体系可由一组彼此独立的函数 (，， )来描述， 一1，2，⋯，s，s的大小由

场的内部性质决定，这组函数即可选作描述场这一物理体系的广义坐标a％(，· )( 一1，2，

⋯

，s)将满足一组微分方程，称为场方程 对于电磁场，这组函数就是势函数A (工J， )和 工．，

)．即在电磁场体系中，选(Al， 为广义坐标，(其中 ，J一1，2，3，以下完全相同不再注明。)这

时体系的拉格朗日函数为：

工一Ⅲ鼬。 (4)

式中 称为电磁体系的拉格朗日函数密度，简称拉氏密度：

—

(Aj( )差．耋以 ) (5)

于是哈密顿作用量为：

S=⋯硎 ldz2dx3dt ． (6

由哈密顿原理知：

= -dz出sdt- 0

这里的变分运算和离散体系的不同，在离散体系中， 是变更的，而在连续体系中只要积分IX

域(边界)固定， 就和t一样是不变更的，即不但乩一0，而且如，= 0．现在的变分只是对A

和 而言的，这样可交换变分和积分运算．得：

．

⋯硎 ldxldx{dt一0 (7)

式中

=

骞瓢+ 妻窑螽 ( 喜善 (

+

害 隅+ 跪

于是：

骞毒 ( 砉毒嗜+砉 +

+ 却+宴甏姐 + d岛a 一。 (s)

对上式第一项，有

』 螽 aA,地= 毒 a( 毒⋯

洪文钧 电磁场方程的拉格朗日表述 第3期

因为抛 l ： 8A．

同理可得(8)中第二项

对(8)中第三项，有

同理可得第四项

将(9)，(10)

0，所以

』

，

J 螽) ac瓮 ⋯

dX ．

J』 a罴( ) ～c 塞 ⋯

dX ．

2

＼8A

j 抛I (参)d

』 却 (螽)

-

群 一 姐．卜』■未{

)代入(8)式得：

抛，(

抛．dt

(9)

(10)

(11)

(12)

．

+ 一未 一d 螽)] ⋯(13)

由于A．和P相互独立，且抛：和却任意，那么，要使(13)式左边恒为零，则必须所有 ．和却

的系数全为零。即：

(14)式就是电磁场体系的一般性场方程，即电磁场体系的拉格朗El方程。一旦体系的拉氏密度

礴定，便可由它们求出电磁场方程的具体形式，从而确定电磁场的动力学性质。

3 电磁场体系的拉格朗日函数

3．1 拉格朗日函数的不唯一性

哈密顿原理并没有告诉我们如何寻找电磁场的拉氏密度。拉氏密度的选取是电磁场的一

个理论问题。即使对同一电磁场体系，其拉氏密度的选取也并非唯一。因为，若 为某一电磁

65

￡

M

望

望枞一 罄a -．Ad．l．I●

， ●● J

乩

d一出

● ● ，

一

一

却

d一

， ●●J

潮

却

斗

-望口Σ，1『一 甓√ a

d一出

，

Σ Ⅲ

： 。

l ．．．

．4

、● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

、r●●●●●●●●●J

0 O

II 一

一 一却

一 一

垫 立

a

，

Σ ，Σ

斗 斗

一 一却

d一出 d一出

第15卷 昭通师专学报 1993年(自总第lz期)

场的拉氏密度，则在 上附加一项 ·g(A ， ， ，t)，由变分原理有：

占皿( + ·g)d dz：dz 一占』Ⅲ d d +占Ⅲ( ·gdx Ld d )d

一

皿 』

由于 只对A 和 而言，且积分边界固定，故上式第二项总是为零的，于是

皿( + ·g)d d d = Ⅲ 函dz d (15)

所以 + ·g与 是等效的，它们描述同一电磁场，这说明拉氏密度具有不唯一性。这种不

唯一性为我们提供了根据需要选取适当形式的拉氏密度的方便，只要所选取的拉氏密度代入

一

般性方程(14)后，求得的具体方程与电磁场方程(3)相同，则就是描述电磁场体系动力学性

质的正确的拉氏密度。下面讨论电磁场的几种情况下的拉搭朗日函数密度。

3．2 自由电鹾场的粒格朗日函数

对于自由电磁场(，一0，P=0)，(3)式可简化为齐次方程：

一

吉 =o

一

o

(V·A+ 1誓一o)

现在的问题是寻找一个适当的拉氏密度 代入一般性场方程(14)式后，导出(16)式，为此可

取： 、

=

詈 +警) A-(v× (1Ⅲ

即 一詈窭c c耋 ÷A zc耋 ·A,j一 1蠢( 一a Aj J'~ c

首先讨论广义坐标A 所对应的场方程：

一 + =eo(A +毫

【 一 a( ) 警J’； d d a(a ce ) —一 (l 知， 一扛箍缸 )

： o

代入(14)中第一式，即得

吝 一丛ax,axj1]一 A+毫⋯

即 窑筹一 (骞 + 拿卜 A-一。

式中 骞 一 骞 =

一

66 —

洪文钧 电磁场方程的拉格朗日表述 第3期

于是 V。A一孝等一 ：(V·A+ 1 )一0 (1 9)

在洛仑兹规范下，V·A+ 誓一0，有

V ～

C 警dt 一o (20a)

将上式中i= 1，2．3时的三式合并写成矢量式．即得(16)中第一式：

V A～吉C dt ：0 (20b)

现在再求广义坐标 所对应的场方程。由于 ’

⋯一o

1毒一。 d xj a蔫(-~) + j

代入(14)中第二式，即得：

客(害一- j一。 ㈨

于是 妾 +詈f砉 aAj+ 1 一当 =。

即 V +詈f V·A+ 誓)一 1 =o (22)

这榉在洛仑兹规范下，便可得(16)中第二式

V 一。

可见 一号( 一警) 一 ( ×A) 即为自由电磁场的拉格朗日函数音壶

3．3 有源电磁场的拉格朗日函数 ’

若体系除电磁场外，还有电流电荷源存在．则场方程是非齐次的达朗伯方程(3) 这时，体

系的拉格朗日函数密度可在自由电磁场的基础上加上源与电磁场相互作用的项：一P + ·

A， 即令：

=

詈f + 一壶( × 一PP牛 ～ (23)

显然，(23)式给出的拉氏密度能够正确地得到非齐次场方程(3)，这是因为，除 一n

4 差克斯韦方程组的拉格朗日表述

如果拉氏密度用场矢量( ，日)直接表示，那么还可由电磁场的拉格朗日方程导出麦克斯

韦方程组，当然这时的E和日应理解为是(A， 的中间函数，拉氏密度的广义坐标是(A ， )、

为此可令：

—

1(

e。E。一篙)一P + ·A (24)

一

67 —

第l5卷 昭通师专学报 [993年(自总第l2期)

式中E和B通过(2)用A和 来表不，由于

f _o， 一一

11 = 蔼一 ~oEj 一一塞茜

代入(14)中第二式得：

一

窭耋+一=o

将上式写成矢量形式

V · 一 一。

这就是麦克斯韦方程组(1)中的第三式。

对应于广义坐标 ．A，的场方程，由于 一

=

aA， ” a甏Al = 器aA1 —一 ’⋯螽一 1螽 鲁

B2

一

(25)

(26)

代入拉格朝日方程(14)中第一式得：

( m： 一誊3 )一E0警一j一 =0 、 (27n)

类似地： 、、、

1(0

峨

B~

一

a b

，

d岛 1e )一 警 。 一o (27b)

瓦1(~

峨

B2

一

1 耋趣 卜 警a 一^“ 一0 (⋯7 f)

将上面三式合并起来写成矢量形式： 。

v×口一 e0警一 =o (28)

这就是麦克斯韦方程组(1)中的第二式．

至于麦克斯韦方程组(1)中的第一、第四式，实际上只是给出了A和 的定义，反过来我们

可由A和 的定义式直接求出。

对(2)中第一式，两边取旋度，第二式两边取散度，得： ，

v× =一v×v 一妄(V×A)；一警

’

V ．县一V ．(V X A)一0

这就说明麦克斯韦方程组完全可以纳入拉格朗日方程的理论体系中去．

(下转第81页)

李清玉 对称性与守恒定律 第4期

一

(1一吉厶8 +⋯其中t一旱 昙一y丢)．类似于上节中p ，易证绕z轴转动的不变性意味着角动量t守恒

[t，曰]= 0； 五守恒。

推而广之，绕任意轴转动下的不变性意味着整个角动量守恒：

[￡，膏]一0； 守恒

即空间转动的不变性导致了角动量守恒定律。物理定律与空间的取向无关的性质，表明了空间

在不同方向具有相同的属性。因此．可以把空间的均匀性解释为角动量守恒定律更深一层的物

理原因。

综上所述，在量子理论中我们由三种不变性导出了三个守恒量的存在。它们表示出物理定

律无论何时何地都相同，且与空间的取向无关。假若这些不变性不成立，那么物理定律随时随

地都可发生变化，实验就不能重复，科学也就不可能存在。

在量子理论中有许许多多对称性与守恒定律，而诺索尔(Nother)定理就是关于对称性与

守恒定律的普遍定理．所以研究对称性是粒子物理中的重要课题。但人们不能随心所欲地“创

造”对称性，虚构自然界中并不存在的“守恒定律”。

参考文献

1 (其)L·帻德著，宋幸同午评 基本粒子与对称性．北京 升学出版社，1983

2 李淮江编著．量子场讫导引+昆明：云南科技出版社，1989

3 (苏)丑．H 布洛欣采夫著，吴伯泽译 量子力学原理．第2版，北京：人民教育出版牡，1965

4 汉斯·弗辞费尔德，欧内斯特·M·亨利著．姚蜀平，夏康译．植物理和粒子物理．北京 原子能出版社

l98l ·

(责任编辑；洪文钧)

(上接第68页)

综上所述 我们将电磁场体系用分析力学方法进行处理，从而将电磁场方程表成了拉格朗

日方程的形式，这表明由经典力学所发展起来的分析力学理论，不仅适用于描述力学体系的运

动，而且适用于物质的其他运动形式，这一理论具有高度的普遍性，它不仅可以作为力学，而且

可以作为整个物理学的理论基础。

参考文献

1 邪确鸿．电动力学．北京：高午蓑育出版社，1979

2 榘绍荣午．电动力学．北京 北京师范大学出版社，1986 ，

3 蔡圣善午．控典电J功力学．上海 皇旦大学出版社，1985

4 仝尚年．控典力学．上海：史旦大学出版社．1987

5 琼滨．分析力学 北京 北京太学出版社，1987

8 (美)J．B．Marion著，李芏译．质点与系链的短鼻动力学．北京：高午蓑育出版牡．1985

7 (美)R·罗森怕著．程乃翼午译．离散未境分析动力学．北京：人民蓑育出版社．1981

(责任编辑：刘有忠)

8l 一