光谱公式的显著特点是：频率被表示为二项
之差
·
8· 洛阳师范学院学报2005年第4期
物理学史上的毕达哥拉斯主义研究传统
桂起权
(山西大学哲学学院，山西太原030006)
摘要：在科学哲学中，毕达哥拉斯主义的要旨是认为物理世界的奥秘在于数学和谐或基本对称性。通
●
过科学史的考察表明，这一思想不仅对近代天体力学中行星运动定律的发现有决定性意义，而且对理解现
代原子光谱学、相对论、规范场论和粒子物理学等都有启示价值。
关键词：毕达哥拉斯主义；数学和谐；基本对称性；物理学
中图分类号：N031 文献标识码：A 文章编号：1009—4970(2005)03—0008—05
古希腊毕达哥拉斯学派所创导的“数学和谐”思
想，即认为物理世界的奥秘包含于数学核心之中的思
想，在科学哲学著作中被称为“毕达哥拉斯主义倾
向”。这是观察自然的一种特殊方式，它在科学史和
科学哲学中有深远影响。_l J(
毕达哥拉斯主义的基本纲领是：“数是万物的本
原”。具体地说，忠诚的毕达哥斯主义者认为，数学和
谐性是关于物理世界基本结构知识的本质核心，在我
们周围自然界那种富有意义的秩序中，必须从自然规
律的数学核心中寻找它的根源。具有毕达哥拉斯主义
倾向的科学家在探索物理定律的过程中，“数学和谐
性”是强有力的助发现的启发性原则。
一
、
毕达哥拉斯主义的起源
毕达哥拉斯(约公元前580一前500)是以他命名
的学派的创始人。在该学派的思想中，神秘的“数学
崇拜”得到最高的表现。剥去毕达哥拉斯学派的宗教
神秘主义外壳，它的合理内核是：惟有通过数和形，
才能把握物理世界的本性。毕达哥拉斯的高座弟子菲
洛劳斯明确说过：“一切可能知道的事物，都具有数；
因为没有数而要想象或了解任何事物是不可能的”。
这个学派是在研究声学和器乐知识的过程中首先
发现数学和谐性的。有一个传说讲到，当毕达哥拉斯
经过铁匠铺时，他注意到打在铁砧上的铁锤发出的声
音与铁锤重量有关。 ¨聊 另一个可靠的说法是，
毕达哥拉斯学派在研究弦振动时发现，用三条同质弦
发出某一乐音以及它的第五度音和第八度音时，它们
的长度比为6：4：3。换句话说，只当几条同质弦的
长度互成简单整数比时，它们在拨动下才发出和谐的
声音。 “ ’无论如何，毕达哥拉斯学派确实研究了音
程间的算术关系，并注意到其中自然数的有规则的出
现，从而在相距甚远的音乐和算术之间建立了密切联
系。他们还研究了在建筑、雕刻等造型艺术中，按什
么样的比例才能产生美的效果，提出了著名的“黄金
分割”。
毕达哥拉斯学派又进一步把这种和谐现象加以推
广，认为物理世界中的一切都存在着和谐，宇宙的秩序
是由那种绝对的和谐所构成的。他们认为，天体在运行
时，各自发出凡人听不见的“声音”，每个天体因其体积
和速度的差异而各自具有特殊的音调，而这种音调又是
由天体之间的距离所决定的，这些距离彼此之间有一种
和谐关系，与音乐里的音程相适应。[2 J( ’他们还认为，
圆形和球形是最神圣而完美的几何图形，地球和天体都
是球形的，每个天体都沿着圆形的轨道运转。
古希腊哲学家柏拉图(公元前427一前347)发展
了毕达哥拉斯学派的数学自然观。在《蒂迈欧篇》中，
他描述了几何和谐组成的宇宙图景。柏拉图在这一名
著中力图表明，科学理论只有建立在数量的几何框架
上，才能揭示物理世界瞬息万化变的现象背后永恒的
结构和关系。按照这种观点看来，自然哲学的首要任
务，在于探索隐藏在自然现象背后的可以用数和形来
表征的自然规律(例如构成音乐和谐的比例数。或是用
五种正多面体来显示物质元素的几何对称性)。
既然，物理世界瞬息万变的现象可以归结为简
单、完美的数学形式或基本对称性。所以，在抽象的
意义上说，现代粒子物理学(包括规范场甚至超弦理
论)的某些基本思想与此不谋而合。_4
二、行星定律的发现
毕达哥拉斯主义在近代天文学的研究中产生了重
收稿日期：2005—02—20
作者简介：桂起权(1940一)，浙江宁波人，山西大学哲学学院、科学技术哲学研究中心教授、博士生导师。主要研究科学哲学与数理逻辑。
洛阳师范学院学报2005年第4期 ·9·
大的收获。托勒密(约90—168)和哥白尼(1473—
1543)接受了毕达哥拉斯和柏拉图的如下基本概念：
相信球形是最完美的立体，匀速圆周运动是天体最完
美的运动。托勒密为了在地球中心说基础上合理地说
明行星的视运动，不得不引进偏心等距点(equant)的
概念，并采用导源于阿波罗尼和喜帕克的本轮一均轮
的多重套环体系(托勒密最终使用了80个套环)，使
问题不必要地复杂化了。哥白尼的老师多明尼可
(1454—1504)曾提出过“宇宙的结构取决于单纯的数
学关系”，这种毕达哥拉斯主义思想对哥白尼有深刻
的影响。[51(蚴’英国科学史家亚·沃尔夫指出：“在充
满毕达哥拉斯思想的哥白尼看来，行星运动的最精致
和最谐和的数学表示，无疑是惟一真正的行星理论。”
“无疑，哥白尼由于这种新观点更有对称性和一致性
而心向往之。这些优点对于一个充满新毕达哥拉斯主
义思想的人富有魅力。因为，毕达哥拉斯主义的精髓
是它坚持认为，宇宙应该用数学关系来描述；两个几
何上等价的行星理论，其中比较谐和、比较对称的那
个理论也比较正确。”[6】 ’从这里可以看出哥白尼
构造日心体系的原始动机。
开普勒(1571—1630)在长期的研究工作中，深受
毕达哥拉斯和柏拉图的研究传统的影响，他力图发现
与数学和谐相一致的宇宙秩序或物理世界的规则性。
开普勒是哥白尼学说的信徒，但他甚至比哥白尼更相
信，表现在日心体系中的简单的几何秩序和数学比例
关系，反映了宇宙创造者的设计思想。在他的早期研
究中我们可以找出一个典型的例子：他急切地希望把
当时已知的六颗行星及其离太阳的相对距离同五种正
多面体(所谓“柏拉图立体”)联系起来。在1596年发
表的《宇宙结构的奥秘》一书中，他骄傲地宣称他成功
地洞察了创世计划的奥秘。据称他发现，原来造物主
是按照一个精致的数学模型来塑造太阳系乃至整个物
理世界的。开普勒在书中说：我企图证明，上帝创造
宇宙和规定宇宙秩序的时候，曾考虑到五种规则的几
何体(从毕达哥拉斯和柏拉图时代我们就已经知道它
们)，他按照它们的大小，确定天体的尺寸、数目、比
例及其运动关系。
开普勒以火星为例进行新的探索。经过四年的计
算，他仍然发现根据第谷的新数据计算出的轨道与哥
白尼的图式刚好相差八分。凭着对第谷的深切了解，
开普勒坚信第谷观测资料的误差远小于这个数值。因
此这只能意味着：哥白尼的同心圆球和本轮图式解释
不了火星的实际运动。同时这也是对开普勒的正多面
体宇宙模型的一个反驳。然而，开普勒在毕达哥拉斯
主义的根本信念上并未动摇。他确信，观测事实与旧
理论的不一致只意味着存在一种新的数学和谐有待他
去发现。再经过四年多的刻苦计算之后，在尝试了l9
种想象的路径并由于或多或少的观测值不一致而又否
定它们之后，开普勒最后才发现真实的轨道。它是一
种椭圆! 】 这就是“椭圆路径定律”和“面积定
律”的发现。但是，开普勒并不以此为满足。他受毕达
哥拉斯学派关于“天体乐章”的思想的启发，企图发现
行星轨道间距和音符之间的关系，结果终于发现了关
于周期与平均半径关系的“和谐定律”。
开普勒的研究已经进入了真正的近代科学的范
畴。这是因为他的研究工作有两大特点：一是对于观
测事实的新态度，即把准确的定量的观测证据作为理
论的最高裁判者；二是成功地用数学语言、公式表述
物理定律。这也是近现代科学家最典型的工作方式。
然而，不能忘记，正是追求宇宙的数学和谐的毕达哥
拉斯主义引导他走向这一步的。
开普勒并没有将关于行星距离的数学相关性研究
进行到底，这个任务由一个较不著名的翻译家完成
了。1772年，丹尼尔·提丢斯译著《自然的探索》的一
个脚注中明确提出了一个属于毕达哥拉斯主义传统的
相关性。他指出，诸行星离太阳平均距离与经过“适
当调整”的等比级数3、6、12、24⋯⋯的各项相关，
即：
波得一提丢斯定律
行星 水星 金星 地球 火星 (小行星) 木星 土星 (天王星)
计算值 4 7= l0= l6= 28= 52= l0o： 196：
4+3 4+6 4+l2 4+24 4+48 4+49 4+192
观测值 3．9 7．2 l0 l5．2 50．0 95．4 191．9
这样得到的一批数据居然与观测值(地日距离取
作10，作为基准)惊人地一致。这种关系给著名天文
学家约翰·波得以深刻的印象。由于他的拥护和宣
传，这个关系逐渐为世人所接受。这个关系通常称为
“波得定律”。提丢斯和波得预言，在火星与木星之
间，在4+24=28个单位的位置，宇宙创造者决不会
使一个行星离开这里而造成空缺。1801和1802年果
然在这个位置发现了小行星谷神星和智神星(后来发
现这一带的小行星总共有200o多个)。1871年所发现
的天王星也满足这种特殊的数学相关性。按照毕达哥
拉斯主义的眼光看来，太阳系诸行星之间的这种成功
的配合决不可能出于偶然的巧合。
有些持古典归纳主义观点的作者把开普勒三大定
律的发现和近代天文学的确立简单地看作“归纳法的
·
1O· 洛阳师范学院学报2005年第4期
胜利”。依我们看，不如说是“毕达哥拉斯主义”研究
传统的胜利。这是因为在观测资料到物理定律之间，
不可能有机械的归纳程序或任何固定的逻辑通道存
在。然而，“数学和谐性”和简单性却是有力的助发现
的启发性原则。
三、近代力学的建立
伽利略(1564—1642)同样认为，数学方法以无与
伦比的方式提供了安排和理解物理世界的技术。伽利
略的研究工作也和开普勒一样，是基于古老的毕达哥
拉斯主义的信念。即自然界是依照数学定律运转的，
而且只当发现与观测结果相符合的数学定律时，观测
结果才能得到说明。两者的区别仅在于，开普勒着力
研究天上物体即行星运行的数学定律，而伽利略却着
力研究地面上运动物体的数学定律(他只对天空作定
性的研究)。
伽利略在《伪金鉴识者》一书中说明自由落体定
律时说：
“哲学写在这部宏伟的书(我指的是宇宙)中，这
部书始终对我们开放着，但它很费解，除非人们首先
学会理解这部书所用的文字。它是用数学语言写的，
它的文字是三角形、圆以及其他几何图形，没有这些
图形，人们甚至根本不可能理解这部书中的一个
词。’’[1】( 。’
伽利略的这段话被认为是科学研究中毕达哥拉斯
主义的宣言。或对毕达哥拉斯主义观点的颇有说服力
的概括。在伽利略的创造性工作中。毕达哥拉斯的对
数学相关性的关注和偏爱整数数字比的倾向也是一种
启发力量。伽利略在《两门新科学》(1638)中说：“迄
今为止没有人指出，一个物体从静止开始降落时，在
相同的时间间隔中所经过的距离。彼此间的比是从1
开始的奇数”。这里，我们可以看出，伽利略在探索和
建立近代力学基础的过程中，因发现数学和谐性而得
到的心理上的满足。
牛顿(1642—1727)在他的划时代著作《自然哲学
的数学原理》的序言中提出，他的目标是“力图以数学
定律说明自然现象”。他认为自然哲学或物理学的全
部任务“看来就在于从各种运动现象来研究各种自然
力，尔后用这些力去论证其他现象”。这就是牛顿
“用数学表述自然力”的研究纲领。他的纲领从性质上
看，是机械论自然观与毕达哥拉斯的数学自然观相结
合的产物。这个纲领在以后几个世纪内，在近代科学
各个领域都显示了巨大威力。牛顿《原理》的第三编是
以引人注目的“哲学中的推理法则”开始的。它的四条
反映了深信宇宙万物存在和谐性的法则。旨在指导科
学家如何创立假说，这些法则至今仍有启发性价值。
第一条曾名为简单性原理。第二、三两条叫做统一原
理。牛顿解释说：“自然习惯于简洁，而且总是与其自
身和谐一致的。”这些都表明了牛顿思想中的毕达哥
拉斯主义成分。 。】‘ ’
如果说，对于宇宙数学和谐性的追求，分别启发
开普勒和伽利略去发现天上和地上的某些重要定律，
那么同是这种追求却促使牛顿建造了整个经典力学的
体系。
生活在18世纪的莫培督(1698—1759)是法国最
早的牛顿派科学家。因而，他也是深受毕达哥拉斯传
统影响的人物之一。在1745年的论文《运动与静止的
法则》中，他提出了著名的“最小作用量原理”，即在
宇宙一切变化之中，各物体的运动路径与速度的乘积
的总和取最小值，这个原理能够导出牛顿定律所能导
出的结果，因而与后者等价。但它又能成为电动力学、
热力学和量子力学的基础，因而更普遍些。莫培督认
为，“这个法则极美极单纯，是宇宙的创造者和组织
者为了引起可视世界的一切现象而在物质中设立
的”。[9】( ’一句话，最小作用量原理比牛顿定律更
美更单纯地显现了物理世界的数学和谐性。
四、现代物理学中的毕达哥拉斯主义
毕达哥拉斯的研究传统在现代原子物理学中继续
发挥着有益的作用。在为新的实验所开辟的领域寻找
自然定律时，现代科学家仍把数学简单性看作一种重
要的启发性原则。
现代原子物理研究可说是从光谱学开始的。光谱
学基本公式的发现则是富于毕达哥拉斯主义色彩的。
瑞士物理学家巴尔末(1825—1898)在1884年发现氢
光谱系列的存在，后来又将它表达为公式(巴尔末公
式)。巴尔末爱好研究几何投影和建筑结构，并从数
和形之中寻求和谐与美。他根据氢光谱的极贫乏的数
学资料(四条最重要的可见光谱线)，作出了惊人的发
现，找出适合一切谱线的数字秘诀。巴尔末公式之中
， tn
2 、
A=6f I有规则出现的自然数，揭示了大自然的
、，n 一叶，
隐秘构造的一个重要细节。瑞典的里德伯(1854—
1919)也独立地发现了与之等价的公式。巴尔末公式
可以作为后来光谱公式的范式，并为光谱理论构成磐
石般的基础。[7](1~317-318)美国物理学家韦斯科夫评论
说：“毕达哥拉斯的观念在这里再生：原子的频率谱
代表着一系列特征值，它好像是那个原子的典型‘谐
音’；‘天体谐音’重新又出现在原子的世界之中。”
“它使我们重新回想起毕达哥拉斯学派‘预先制定的
和谐’。原子的量子态具有特定的形状和频率，它们
是预先惟一地确定了的。世界上每个氢原子都奏出一
洛阳师范学院学报2005年第4期
样频率的和音，如巴尔末的谱项公式所示。”_Io ·。 ’
更广泛地，正如科学史家丹皮尔所指出：“我们
时代阿斯顿原子量整数说，莫斯莱原子序数说，普朗
克量子论，⋯⋯都是毕达哥拉斯哲学的复活。”[。】(
如果说，哥白尼和开普勒在毕达哥拉斯主义思想
的启示下，分别建立了行星的正圆轨道和椭圆轨道模
型，那么，在原子的星空也有自己的立法者，也有自
己的哥白尼和开普勒。191 1年卢瑟福首先提出了电子
沿正圆轨道绕核旋转的原子模型，1913年玻尔进一步
提出电子的正圆轨道分层的原子模型，1915年索末菲
引进椭圆轨道的原子模型。
注意到自然定律(现在是原子公式)中有规则地
出现的整数，是玻尔成功地建立原子模型的关键。
1912年7月玻尔带着卢瑟福模型不够稳定的疑难回丹
麦度假，从朋友那儿得知，光谱专家已从看来杂乱的
光谱线中找出简单的普遍定律(广义巴尔末公式)：
1 1
=
RC(专一 )。玻尔为之惊叹不已并受到极大启
n ，礼
发。这个光谱公式的显著特点是：频率被表示为二项
之差，而其中每一项简单地取决于某一整数序列的取
值情况。玻尔马上联想到普朗克量子公式中的频率与
整倍数，他意识到把作用量子引入原子系统时，这个
公式提供了正确的线索。经过进一步的努力，玻尔终
于顺利地将量子条件引进原子的“行星模型”，并用量
子跃迁合理地解释了光谱系列。可见，毕达哥拉斯主
义果真是建立原子的“行星模型”时的重要的启发性
原则。
今天，当我们读到格林专论超弦的《宇宙的琴
弦》 时，怎能不想起毕达哥拉斯的琴弦，怎能不想
起他那揭示宇宙奥秘的神奇的数字呢?诚然，现代粒
子物理的发展，在某种意义上确实又回到了毕达哥拉
斯和柏拉图的数学自然观。
海森伯在《二十世纪物理学中概念的发展》一文
中有一段极有概括性的话：
“可以说，物理学的现代发展又从德谟克里特哲
学重新回到了柏拉图哲学。事实上，如果我们想把物
质一步一步地分下去，那就正好按照柏拉图的观念，
我们最终得到的不是最小的粒子，而是由对称性所决
定的物质客体。柏拉图式的物体，其基础是三角形。
现代物理学中的粒子，正是基本对称性的数学抽
象”。 ‘1'29)
海森伯在《现代物理学的古代自然哲学思想》与
《普朗克的发现和原子论的基本问题》中指出，柏拉图
的原始物质是三维空间的旋转群，满足静态的直观的
对称性。然而，自从牛顿以来，自然科学总是在与时
空有关的动力学定律的数学结构中，寻找毕达哥拉斯
学派所要求的那种和谐。现代物理学的粒子理论也像
在柏拉图那里一样，将以一系列重要的对称性做为标
志。他指出，第一个具有决定意义的对称性是构成狭
义相对论基础的“非均匀罗仑兹群”；第二个同样重要
的群是希尔伯特空间中的变换群，它构成量子力学的
基础；此外，基本粒子论中的“同位旋群”以及与重子
数守恒有关的变换群都将起一定作用；最后还有与时
间反演、空间反演和电荷变号有关的反射对称性。在
量子场论的高度抽象的那些数学中对称性集中反映了
由普朗克的发现所引入的现代自然科学的时代精
神。 ‘聊’ ∞ ’
洪定国先生《物理实在论》一书第八章“群论、拓
扑、纤维丛与规范理论”中，就对基本粒子论中的对
称性作了精细的分析。他指出，在彭加勒群(罗仑兹
群是其子群)变换中，基本粒子场方程保持形式不变，
从而基本粒子的时空对称性得到最终形式的体现。另
一
方面，基本本粒子的内禀性质的对称性则是通过幺
正变换群来描述的，后者又分解为相变换群与特殊幺
正群uS(n)等等。_I4]‘嗍_3力’
按照规范场先驱者韦尔的分析，电磁场及其与物
质的相互作用，是相对于u(1)规范物质场的拉格朗
日函数密度的必然结果。其中u(1)是体现场的基本
对称性的幺正群。洪定国由此指出，在规范理论的构
架中，“对称性确定着动力学”是一个极为深刻的新物
理思想。 ‘
在夸克模型被提出后，人们在物质结构的更深层
次，可发现毕达哥拉斯主义和柏拉图式的基本对称性
的现代形式。盖尔曼的“夸克模型”最初所追求的不是
“物的逻辑”却是“形的逻辑”，但它比坂田模型取得
了更大的成功。事实上，盖尔曼首先着重考虑的是与
物质客体有关的基本对称性，而不是直接考虑物质客
体本身。“夸克”最初正是作为“基本对称性的数学抽
象”而出现的。(请注意图中盖尔曼所用的符合P、n、
入三种夸克，就是后来改用u、d、S表示的上、下、奇
异夸克。进一步又发现另几种夸克——粲、顶、底夸
克，而且每一种夸克又分为三种用来说明强作用方式
的“色荷”，因此总共可细分为l8种夸克)这就与由
“柏拉图立体”所表示的“数学和谐”非常合拍了。
名称P n n P
符号
辛 + 丰 年 丰 年
电荷 +213 -1／3 -1／3 +1／3 +1／3 —2，3
奇异数0 0 —1 +l 0 0
“三昧”夸克模型
(图中三种夸克及反夸克作为重子和介子
的组成部分。箭头表示自旋取向，夸克与反夸
克的性质互为镜反射)
·
12· 洛阳师范学院学报2005年第4期
爱因斯坦的相对论时空观，则是从另一个角度复
活了毕达哥拉斯和柏拉图用几何表现自然的观念。
1907年爱因斯坦的老师闵可夫斯基(1864—1909)用
四维空间表述狭义相对论，把有关物理定律解释为对
罗仑兹变换群的不变性，由此体现物理世界内在规律
的基本对称性。广义相对论则更进一步抓住了深层的
本质的东西。爱因斯坦把握了质量引起的空间曲率，
物体的轨道被表现为黎曼空间的最短线(测地线)。这
样他就使物理上的场论观点与黎曼几何的空间理论融
为一体。从而完成了“自然的空间化”或“物理学的几
何化”。无怪乎怀特海说：“现在爱因斯坦和他的继承
人都主张引力这～类物理事实，可以说是时一空性质
中局部特征的表现。他们这种学说便是在追随着纯粹
的毕达哥拉斯传统，从某种意义上来说，柏拉图和毕
达哥拉斯比亚里士多德更接近于近代物理科
学。” 1‘嘞瑚’这也许正是爱因斯坦所说的科学家有时
“甚至还可以像一个柏拉图主义者或者毕达哥拉斯主
义者”的一种理由吧。_l ](
对称性是自然秩序的一种象征。由于规范场包含
深刻的内在对称性，而对称性确定着动力学，确定着
相互作用。因此，杨振宁说：“近(现)代物理学研究自
然界的‘力’，发现共有四种：核力、电磁力、弱力和
引力。四种力和它们的能都是规范场。”LI7】(阱 由于
抽象的数学对称性对揭示物理世界的奥秘往往有示向
作用，因此探索新的对称性已经成为现代物理学家认
识世界的一种重要手段。
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[责任编校尚东涛]
On Tradition of Pythagoreanism in Physics
GUI Qi—quan
(School of Philosophy，Shanxi University，Taiyuan 030006，China)
Abstract：In the philosophy of science，the tenor of Pythagoreanism is that the mystery of the physical world exists
in the mathematic harmony or the basic symmetry．By reviewing of history of science
． this paper indicates that Py—
thagoras’S thought is not only meaningful to discover the motion law of the planets in the latter day celestial me—
chanics，but also to understand the modem atomic spectrology，Theory of Relativity
， Gauge Field Theory and Pani—
cle physics，etc．
Key words：Pythagoreanism ；mathematic harm ony；basic symmetry；physics
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