量子信息论的观点看，量子纠缠总是强调
不同粒子的量子态之间的纠缠，而不是指单个粒
子不同自由度的波函数之间的耦合
第2O卷第2期
量子纯态混合态及其纠缠态- 豆丁网
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量子系统纯态混合态纠缠态
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2004年4月
德州学院学报
Journal of Dezhou University
VO1．2O，No．2
Apr．2004
文章编号：1004—9444(2004)02—0021—03
量子纠缠态及其描述
王宝泉
(德州学院物理系，山东德州 253015)
摘 要：纠缠态在量子计算和量子通讯中起着重要作用．本文简要介绍了量子纠缠态和纠缠度的概念，
并给出了直观的物理解释．
关键词：纯态；混合态；纠缠态；纠缠度
中图分类号：0413 文献标识码：A
引言
量子纠缠是存在于多子系量子系统中的一种
奇妙现象，即对一个子系统的测量结果无法独立
于对其他子系统的测量参数．自从量子力学的基
本理论形成以来，对于纠缠态的研究一直是一个
重要课题．量子力学的创始人所提出的著名的
EPR佯谬，薛定谔猫佯谬，预示了量子力学问题
的发展方向．量子纠缠态的概念就是从这一方向
衍生的．早期对于纠缠态的研究仅限于在哲学思
辩的层面上，直到1964年Bell定理提出以后，才
使得量子理论与局域性隐变理论的预言的差别可
以通过实验来验证．
2o世纪8o年代，人们提出了量子计算机的
理论模型，这以后，有关量子计算和量子通讯的理
论和实验的研究迅速发展起来 ]，而纠缠态在其
中起着不可缺少的重要作用 。。]．从1991年第一
个基于纠缠态的量子加密协议的提出到它的实验
实现，纠缠态理论的研究无论在深度还是在广度
上都有突破性进展．人们开始把纠缠态这一非经
典的特性应用到信息科学的计算科学中来，正是
由于量子信息科学的发展推动了纠缠态理论的发
展，同时纠缠态也为信息传输和信息处理提供了
新的物理资源．几十年来，人们对量子纠缠态的
理解逐渐加深，取得了长足的进展．但对许多根
本问题，如纠缠与非定域性的物理本质等，仍然没
有得到最终的解决⋯，本文就纠缠态和纠缠度的
概念做一简要说明，并给出直观的物理解释．
1 量子纠缠态
纠缠态存在于多粒子系统中，它描述了子系
统间的不可分离的特性．一个典型的例子是由两
个自旋1／2粒子组成的系统，其自旋单态和自旋
三重态均不能简单地表示为两个粒子各自量子态
的直积，从而显示出非经典的量子关联．纠缠现
象不但存在于纯态中，而且存在于混合态中．在
量子计算和量子通讯中，后一情形更具有实际意
义 ．
1．1 纯态纠缠态
先考察两个量子系统A 和B，在￡<t。时它
们之间无相互作用．当￡<t。时它们的状态分别
由Hilbert空间HA 和HB中矢量l gr(t)> 和
} ( )> 描述，由A和B构成的量子系统AB的
状态则由Hilbert空间HAB—H H 中矢量
{ (￡)>仙一l (t)> l (t)> 来描述．假
设从时刻t—t。开始，A和B之问有相互作用，则
系统AB的状态的演化由式决定
l (t)>AB—UAB(t)l (￡)>A廿 (1)
收稿日期：2004—02—13
作者简介：王宝泉(1965一)，男，山东武城人，学士，德州学院物理系副教授，主要从事理论物理教学与研究
22 德州学院学报(自然科学版) 第2O卷
由于A 和B之间有相互作用，对于某一固定
时刻f>f。，(1)式中的U (f，t。)一般为整体酉变
换，这时的1 (f)> 一般不能再写成1 (t)>仙
一
l (t)> l (t)> 的形式，称此时的
l xI／(t)>AB处于纠缠态(entangled state)．
对于纯态，如果存在1 > ∈H“和1 >e∈
H。，使得l x／／~AJ3一l > l >。，称l > ∈
H 为直积态或非纠缠态，反之，若l > 不能表
达成1 > 1 >e则称1 >仙∈H邶为纠缠
态．
上面的定义是对整个量子系统由两个子系统
构成而进行的．这个定义可推广到整个量子系统
由 个系统构成，即整体的Hilbert空间H：H
H ⋯H ．如果存在l > ∈H ，l >。∈
H ，⋯，1 >， ∈H ，使得1 > 一1 > l >
⋯
l > ，称纯态l > ∈H 为直积态或非纠
缠态I否则称l >∈H 为纠缠态．
1．2 混合态纠缠态
系统处于混合态时，其状态不能简单地用一
个态矢来表示，而只能用密度算子．0描述．若系
统处于态1 > 的概率为P (i一1，2，⋯，N)，
有
p一-ΣP I >< f (2)
其中对于所有的．0，P 0，l > ∈H，且ΣP 一
1，选择空间H 的某一组基，容易得到．0的矩阵表
示，即密度矩阵．一个给定的组分{P ，l > }对
应唯一的密度矩阵10，而对于给定的密度矩阵10，
可有多种不同的构造方式，即多种不同的{P ，
l >}选择．当且仅当．0可以写成两个子系统在
若干个状态下的密度矩阵的直积的凸和，即
j0一善即tA j0 e一
Σq，(1 >AA< 1) (1 >。。< f)(3)
其中 0且Σqi=1，系统处于非纠缠态，否则，
系统处于纠缠态．
2 量子纠缠度
从量子信息论的观点看，量子纠缠总是强调
不同粒子的量子态之间的纠缠，而不是指单个粒
子不同自由度的波函数之间的耦合．同时，量子纠
缠又表现为粒子态之间的关联，但粒子间的关联
并不一定等于它们之间存在着纠缠．为了定量地
描述纠缠现象，需要引入纠缠度的概念．所谓纠缠
度是指所研究的纠缠态所携带纠缠的量的多少，
对纠缠度的描述，实质上是对不同纠缠态之间建
立定量的可比关系．
对于任意一两体纯态的纠缠度。可用任一子
系统的约化密度矩阵的Von Neumann熵描述，
即定义两体纯态纠缠度(部分熵纠缠度)为
E 一S(pA)一S(．0B) (4)
其中 一丁rB(1 >ABAB< f)，．0B=丁rA(1
>仙 < 1)，而S(．0)的定义为
S(pA~)一一Tr(pAInpA)一一Tr(pBInpB)
容易验证，任意直积态的纠缠度为零，其他形式的
纯态的纠缠度介于0和1之间l6]．部分熵纠缠表
征了系统局域的混乱程度，它说明：量子态的纠缠
越厉害，从局部上看“局部态”的“不确定程度”就
越大．
对于一般形式的混合态，其纠缠度可以定义
为 j
E(．0)一rainΣP E( ) (5)
这里，在所有可能的构造方式{P ，1 > }中求最
小，E( )由(4)式得出．显然，求混合态的纠缠度
要比求纯态的纠缠度困难的多．
目前在量子信息和量子计算的研究领域有一
种观点，即二体纯态的纠缠是清楚的，多体纯态和
混合态的纠缠是不清楚的．实际上这个问题是由
态的空间的性质及其中子空间之间的相互关系决
定的．
子体系之间有量子纠缠的重要特征是(由测
量造成的塌缩可以知道)，当系统由两个子系统构
成时，子系统A和B的状态均依赖于对方而各自
都处于一种不确定的状态．这时对一个进行测量
必将使另一个产生关联的塌缩，而且，在纠缠态
中，粒子A和B的空间波包可以彼此相距遥远而
并不重叠．这时它们的自旋波函数仍会产生关联
的塌缩：当A 系统因测量而发生塌缩时，B系统
必将发生相关联的塌缩．应当说，纠缠态的关联是
一
种纯量子的非定域的关联，是一种“超空间”的
关联．这是量子态塌缩的非定域性质和量子纠缠
相结合表现出的奇妙性质．在物理上，这种“超空
间”关联塌缩的存在是量子纠缠存在的标志．也就
是说，不论多体纯态或多体纯态，只要态中存在某
中方式的量子纠缠，就一定存在相应的关联塌
缩．
量子纠缠态的极端重要性，正是在于在测量
第2期 王宝泉：量子纠缠态及其描述 23
塌缩中它们表现出一种非定域的关联，一种没有
经典对应的、超空间的关联．这不仅具有深远的
科学意义，而且在量子通讯和量子计算中具有潜
在的技术价值．但是同时，由于量子系统与环境发
生难以避免的纠缠正是量子信息衰退的主要方
式．可以说，这又恰好是量子信息论和量子计算机
发展中的主要障碍．
3 结论
量子纠缠是一种非常重要的物理性质．量子
纠缠在量子信息中，特别是在量子通讯中起着重
要的作用，同时量子纠缠作为一个基本的物理问
题，受到人们的重视．对于量子纠缠的研究和应
用，将会对物理学的发展起重要的推动作用．
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error correction I-J]．Phys．Rev．，1996，54：3824．
The entangled state and entanglement
W ANG Bao—quan
(Department of Physies，Dezhou University，Dezhou Shandong 253015，China)
Abstract：Entangled state and entanglem ent have important action in quantum computation and quan—
rum com munication．In this paper．W e introduce the entangled state and entanglement，and give a
physical interpretation for entanglement．
Key words：pure state；mixed state；entangled state；entanglement
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