不同环境模型下Bell 型纠缠态衰退行为的比较
赝模的数量取决于热库的谱分布
, 上述单洛仑兹谱
密度函数在下半复平面内只有一个奇点
, 可表示为
原子与一个马尔可夫热库耗散的赝模相互作用
物理学报
Acta Phys. Sin. Vol. 61, No. 23 (2012) 230302
不同环境模型下
Bell 型纠缠态衰退行为的比较*
韩伟
1)2) 崔文凯1) 张英杰1)2) 夏云杰1)2)†
1) (
曲阜师范大学物理工程学院, 曲阜273165 )
2) (
山东省激光偏光与信息技术重点实验室, 曲阜师范大学物理系, 曲阜273165 )
( 2012
年4 月19 日收到; 2012 年6 月29 日收到修改稿)
通过建立三种不同的环境模型
(单一热库模型, 共同热库模型和独立热库模型), 利用赝模理论的方法, 分析讨论
了初始处于
Bell 型纠缠态系统的纠缠演化特性. 研究发现在单一热库模型中Bell 型初始纠缠态cos |ee⟩+sin |gg⟩
的纠缠保持时间最长
, 而cos |eg⟩ + sin |ge⟩ 态的纠缠演化对具体的环境模型依赖很大；同时对这两种不同类型
的
Bell 型纠缠态在相同环境模型中的纠缠衰退行为进行了比较.
关键词
: 量子纠缠, 共生纠缠, 赝模理论
PACS:
03.65.Ud, 03.67.Hk
1
引言
系统的量子纠缠作为量子信息和量子计算的
核心资源
, 一直都是量子信息理论基本问题研究的
重要方向
. 然而实际的量子系统不可能是完全封闭
的理想系统
, 将不可避免地受到环境的干扰, 这种
干扰在量子光学中被称为环境的量子噪声
, 而量子
噪声对量子系统的影响往往是不可忽略的
. 只有充
分认识量子噪声对系统量子态的影响
, 才能更有效
地调控实际的量子信息传输与处理过程
. 近年来,
人们对环境量子噪声在开放系统量子态、量子相
变以及量子门操作中的影响进行了广泛研究
[1−5],
如文献
[2] 主要研究了量子噪声信道对单比特旋转
门操作产生的影响
, 文献[3] 研究了两qutrit 纠缠态
在自旋噪声环境中的退相干行为
. 系统纠缠由于受
到环境噪声的影响会发生初始纠缠的有限时间解
纠缠现象
, 称为纠缠突然死亡现象[6;7]. 该现象限制
了量子纠缠在实际量子信息处理过程和量子计算
过程中的应用
. 为此, 人们提出了各种不同的环境
模型来讨论环境对初始系统纠缠动力学的影响
. 一
般分为两种
: 一种是多比特共同环境模型；另一种
是多比特多环境模型
. 文献[8, 9] 主要研究了两个
初始纠缠的二能级原子分别独立地与两个热库相
耦合的模型
, 但是两个子系统之间没有任何相互作
用
. 文献[10] 中, 作者讨论了两初始纠缠的二能级
原子与一个共同热库相耦合的模型
, 分析了失谐量
等参量对系统纠缠演化的影响
.
以上文献主要是分别研究了系统纠缠在多比
特共同环境模型和多比特多环境模型下的衰退行
为
. 鉴于不同退相干模型下系统初始纠缠的衰退行
为必不同
, 本文主要利用赝模理论方法比较了不同
退相干模型下初始处于
Bell 型纠缠态的两二能级
原子间的纠缠衰退行为
. 其中Bell 型纠缠态分别为
|
Φ⟩
AB
= cos θ |eg⟩ + sin θ |ge⟩ ,
|
Ψ⟩
AB
= cos θ |ee⟩ + sin θ |gg⟩ , (1)
这里
|g⟩ (|e⟩) 表示二能级原子的基态(激发态). 众
所周知
, Bell 型态的约化密度矩阵为X 类态[11] 即
AB =
x
0 0 ν
0
y u 0
0
u∗ z 0
ν
∗
0 0 w
,
(2)
其中
x, y, z, w 是正的实数, u, ν 为复数. 任意X
*
国家自然科学基金(批准号: 61178012, 10947006) 和曲阜师范大学校青年基金项目(批准号: XJ201013) 资助的课题.
†
E-mail: yjxia@mail.qfnu.edu.cn
⃝
c 2012 中国物理学会Chinese Physical Society http://wulixb.iphy.ac.cn
230302-1
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类态的约化密度矩阵
, 在时间演化过程中始终保
持
X 型不变. 对于一个两量子比特系统, 如果其约
化密度矩阵为
X 类态, 则它们的纠缠度量可以采
用
Wootters 的共生纠缠(concurrence)[12], 其形式为
C
(ρAB) = 2 max
{
0
, |u| −
√
xw,
|ν| −
√
yz
}
.
(3)
为了弄清环境在系统纠缠演化过程中扮演的
角色
, 分别考虑了三种不同的环境模型, 即两个初
始纠缠的二能级原子
A 和B 中, 只有子系统A 与
外界环境相耦合
, B 不与任何环境相互作用的模
型
(单一热库模型)；A 和B 处于同一环境中的模
型
(共同热库模型)；以及A 和B 分别处在各自环
境中的模型
(独立热库模型). 详细研究了同一类型
纠缠态在不同环境模型下的纠缠衰退
, 并对不同类
型纠缠初态在相同环境模型下的纠缠演化行为进
行的比较
.
2
不同模型下系统态矢演化及原子纠
缠演化
模型
1 本文中称为单一热库模型, 即原子A
处在热库
a 中, 并与之发生相互作用, 原子B 不与
任何环境相耦合
. 系统的哈密顿量可以写为
H
=ωAσ+
A
σ
−
A
+ ωBσ+
B
σ
−
B
+
Σ
k
ω
ka
+
k
ak
+
Σ
k
(
gkσ
−
A
a+
k
+ h.c.), (4)
这里
ωA, ωB 为原子A 和B 的跃迁频率, 为简单
起见取
ωA = ωB = ω0. σ+
j
= |e⟩
jj
⟨
g|, σ
−
j
=
|
g⟩
jj
⟨
e|(j = A, B) 为第j 个原子的上升和下降
算符
. a+
k
, ak 代表热库中第k 个模式的产生和湮没
算符
, ωk 和gk 是热库第k 个模式的频率及其与原
子的耦合参数
.
利用赝模理论
[13−15] 的方法求解主方程研究
两原子纠缠动力学问题
. 精确的主方程描述了原子
与耗散的赝模间存在相干相互作用
, 并且赝模的耗
散体现在其与一个马尔可夫热库的耦合
. 本文中假
设热库为耗散腔的电磁场
, 则谱密度函数为
D
(ω) =
Γ
(
ω −ωc)2 + (Γ/2)2
.
(5)
赝模的数量取决于热库的谱分布
, 上述单洛仑兹谱
密度函数在下半复平面内只有一个奇点
, 可表示为
原子与一个马尔可夫热库耗散的赝模相互作用
. 其
精确动力学可用以下赝模主方程给出
:
d
d
t
= −i[Heff, ]−Γ
2
[
a+a −2a a++ a+a], (6)
其中
H
eff =ω0(σ+
A
σ
−
A + σ+
B
σ
−
B ) + ωca+a
+ [
Ωσ
−
Aa+ + h.c.], (7)
这里
为系统约化密度矩阵, ωc, Γ 为赝模的
振荡频率和耗散率
, 它们依赖于赝模对应的奇
点位置
z1 ≡ ωc −iΓ/2. 通常用|e⟩, |g⟩代表
原子的激发态和基态
, | 0
⟩
=
Π
n
k
=1
|
0k⟩和| 1
⟩
=
(1
/C)
Σ
n
k
=1 Ck |1k⟩代表环境的状态, 按照赝模理
论
, | 0
⟩
等价于赝模的|0⟩, | 1
⟩
等价于赝模的|1⟩. 则
对于初始原子处于激发态
|e⟩, 而赝模处于真空
态
|0⟩的系统, 利用赝模理论, 其演化形式可表示为
|
e0⟩→ c1(t) |e0⟩+ c2(t) |g1⟩, (8)
其中
i _
c1(t) =ω0c1(t) + Ωc2(t),
i _
c2(t) =ωcc2(t) + Ωc1(t) −iΓ
2
c
2(t).
(9)
根据初始条件
c1(0) = 1, c2(0) = 0, 应用计算
机编程可以很容易得出演化末态
.
对于原子和热库系统初态
:
|
Φ
(0)⟩= |Φ⟩AB
⊗|
0
⟩
,
|
Ψ
(0)⟩= |Ψ⟩AB
⊗|
0
⟩
,
(10)
可以得出两原子约化密度矩阵
AB
(t)
x
=sin2 θ |c2(t)|2 ,
y
=sin2 θ |c1(t)|2 ,
z
=cos2 θ,
w
=0,
u
=cos θ sin θc
∗
1(t),
ν
=0. (11)
以及
AB
(t)
x
=sin2 θ,
y
=0,
z
=cos2 θ |c2(t)|2 ,
w
=cos2 θ |c1(t)|2 ,
u
=0,
ν
=cos θ sin θc1(t). (12)
230302-2
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两原子的共生纠缠为
C
(
AB
(t)) = 2 |cos θ sin θc
∗
1(t)| = C(
AB
(t)).
(13)
模型
2 共同热库模型, 即原子A 和B 同处于
热库
a 中, 都与a 发生相互作用. 为简单起见, 取两
原子与热库的耦合系数相同
, 系统哈密顿量为
H
=ωAσ+
A
σ
−
A + ωBσ+
B
σ
−
B +
Σ
k
ω
ka
+
k
ak
+
Σ
k
[
g
k
(σ
−
A + σ
−
B )a+
k
+ h.c.
]
.
(14)
利用赝模方法可得主方程
(6) 式, 只是式中的有效
哈密顿量改写为
H
eff =ω0(σ+
A
σ
−
A + σ+
B
σ
−
B ) + ωca+a
+ [
Ω(σ
−
A + σ
−
B )a+ + h.c.]. (15)
对于初始赝模处于真空态
|0⟩, 两原子初始处于|eg⟩态, 以及处于|ee⟩态的情形, 演化末态可表示为
|
eg0⟩→c1(t) |eg0⟩+ c2(t) |ge0⟩+ c3(t) |gg1⟩,
|
ee0⟩→b1(t) |ee0⟩+ b2(t) |eg1⟩+ b3(t) |ge1⟩+ b4(t) |gg2⟩. (16)
可得系数满足的微分方程分别为
i _
c1(t) = ω0c1(t) + Ωc3(t),
i _
c2(t) = ω0c2(t) + Ωc3(t),
i _
c3(t) =
(
ω
c −iΓ
2
)
c
3(t)
+
Ω(c1(t) + c2(t)),
(17)
和
i_
b1(t) =2ω0c1(t) + Ω(c2(t) + c3(t)),
i_
b2(t) =ωcc2(t) + Ω(c1(t) + c4(t))
−
iΓ
2
c
2(t),
i_
b3(t) =ωcc3(t) + Ω(c1(t) + c4(t))
−
iΓ
2
c
3(t),
i_
b4(t) =2ω0c4(t) + Ω(c2(t) + c3(t))
−
iΓc4(t), (18)
代入初始条件
c1(0) = 1, c2(0) = c3(0) = 0
和
b1(0) = 1, b2(0) = b3(0) = b4(0) = 0, 用计算
机程序可得系数的精确解
(其中初态为|ge0⟩→
c
′
1
(t) |eg0⟩+ c′
2
(t) |ge0⟩+ c′
3
(t) |gg1⟩时的演化末态
求解与
|eg0⟩态相同, 只是初始条件不同, c′
2
(0) = 1,
c
′
1
(0) = c′
3
(0) = 0).
系统初态为
(10) 式时, 容易计算在该模型下的
两原子
t 时刻的约化密度矩阵
AB
(t)
x
=|cos θc3(t) + sin θc
′
3
(t)|2 ,
y
=|cos θc2(t) + sin θc
′
2
(t)|2 ,
z
=|cos θc1(t) + sin θc
′
1
(t)|2 ,
w
=0,
u
=(cos θc1(t) + sin θc
′
1
(t))
×
(cos θc2(t) + sin θc
′
2
(t))
∗
,
ν
=0. (19)
约化密度矩阵
AB
(t) 为
x
=|cos θb4(t)|2 + |sin θ|2 ,
y
=|cos θb3(t)|2 ,
z
=|cos θb2(t)|2 ,
w
=|cos θb1(t)|2 ,
u
=cos2 θb2(t)b
∗
3(t),
ν
=cos θ sin θb1(t). (20)
可得共生纠缠
C
(
AB
(t)) =2
(cos
θc1(t) + sin θc
′
1
(t))
×
(cos θc2(t) + sin θc
′
2
(t))
∗
,
C
(
AB
(t)) =2 max
{
0
, |cos θ sin θb1(t)|
−
cos2 θ
√
|
b
2(t)|2 |b3(t)|2,
cos
2 θb2(t)b
∗
3(t)
−
[
|
cos θb1(t)|2
×
(sin2 θ + | cos θb4(t)|2)
]
1=2
}
.
(21)
模型
3 独立热库模型, 即原子A 和B 分别在
各自的热库
a 和b 中, 且子系统Aa 和Bb 之间无任
何相互作用
, 系统的哈密顿量为
H
=ωAσ+
A
σ
−
A + ωBσ+
B
σ
−
B
+
Σ
k
ω
ka
+
k
ak
+
Σ
k
ω
kb
+
k
bk
+
Σ
k
[
g
k
(σ
−
Aa+
k
+ σ
−
B b+
k
) + h.c.
]
,
(22)
该模型下的赝模主方程为
d
d
t
= −i[Heff, ] −Γ
2
[
a+a −2a a+ + a+a
+
b+b −2b b+ + b+b], (23)
其中
H
eff =ω0(σ+
A
σ
−
A + σ+
B
σ
−
B ) + ωc(a+a + b+b)
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物理学报
Acta Phys. Sin. Vol. 61, No. 23 (2012) 230302
+
[
Ω
(σ
−
Aa+ + σ
−
B b+) + h.c.
]
,
(24)
对于初态
|
Φ
(0)⟩= |Φ⟩AB
⊗|
0⟩a
|
0⟩b ,
|
Ψ
(0)⟩= |Ψ⟩AB
⊗|
0⟩a
|
0⟩b .
(25)
同模型
1 的情况类似, 可以分别求解子系统Aa
或
Bb 中原子初始处于激发态|e⟩, 赝模处于真
空态
|0⟩a
|
0⟩b 时的演化末态(同上文中(8) 式
和
(9) 式).
同理可得模型
3 下两原子约化密度矩
阵
AB
(t)
x
=|c2(t)|2 ,
y
=sin2 θ |c1(t)|2 ,
z
=cos2 θ |c1(t)|2 ,
w
=0,
u
=cos θ sin θ |c1(t)|2 ,
ν
=0. (26)
两原子约化密度矩阵
AB
(t)
x
=sin2 θ + cos2 θ
c
22
(
t)
2
,
y
=cos2 θ |c1(t)c2(t)|2 ,
z
=cos2 θ |c1(t)c2(t)|2 ,
w
=cos2 θ
c
21
(
t)
2
,
u
=0,
ν
=cos θ sin θc21
(
t). (27)
可得共生纠缠
C
(
AB
(t)) =2 cos θ sin θ |c1(t)|2 ,
C
(
AB
(t)) =2 max
{
0
, cos θ sin θ |c1(t)|2
−
cos2 θ |c1(t)c2(t)|2
}
.
(28)
3
三种模型下原子纠缠演化规律比较
本节中首先讨论了同一
Bell 型纠缠初态在三
种不同环境模型下的纠缠演化行为
, 然后对不同纠
缠初态
|Φ⟩AB 和|Ψ⟩AB 在相同环境模型下的纠缠
演化特性进行了比较
, 如图1 至图3.
3.1 Bell
型纠缠初态在不同环境模型下的
纠缠演化行为
两原子初始处于
Bell 型纠缠态, 当原子所处
的外界环境发生变化时
, 其纠缠演化行为也会随
之改变
. 图1 给出两原子初始处于|Φ⟩AB 态时, 在
三种不同环境模型下
, 其共生纠缠C| ⟩随无量纲
参量
Ωt 的纠缠演化规律. 其中图1(a) 和(b) 对应
强耦合情况
Γ = 11Ω, 很显然, 由于环境的非马
尔可夫性
, 热库会对系统有信息反馈效应, 两原子
间的纠缠演化会出现振荡行为
. 对于弱耦合情况
为图
1(c) 和(d), Γ = 0.11Ω, 两原子间初始纠缠
单调衰减
. 当θ = /4 时, 不管是强耦合还是弱
耦合情形
, 原子初始纠缠在模型1 时保持时间最
长；在模型
2 中, 原子初始纠缠衰减的速度最快.
当
θ = 3 /4 时, 在模型2 中, 原子初始纠缠始终
保持最大值
1, 不随时间演化；原子初始纠缠在模
型
3 中的衰减速度较模型1 快. 为了解释模型2
中的情况
, 引入亚辐射态|ϕ−⟩=
√
1
2
(
|eg⟩−|ge⟩)
和超辐射态
|ϕ+⟩=
√
1
2
(
|eg⟩+ |ge⟩), 显然若系统
处于亚辐射态
|ϕ−⟩和环境处于真空态| 0
⟩
, 则态
矢
|ϕ−⟩⊗| 0
⟩
是模型2 的哈密顿量(14) 式的本征
态
, 在演化过程中不随时间变化. 当原子初始处
于
|Φ⟩AB = cos θ |eg⟩AB + sin θ |ge⟩AB 态时, 用态
矢
|ϕ−⟩和|ϕ+⟩可表示为
|
Φ⟩
AB =
cos
θ√+ sin θ
2
ϕ
+⟩+
cos
θ√−sin θ
2
ϕ
−
⟩.
当
θ =
3
4
时
, |Φ⟩AB 中只有|ϕ−⟩态, 是不随时间变
化的本征态
, 故两原子一直保持在最大的初始纠缠
态
. 而当θ =
4
时
, |Φ⟩AB 中只留有|ϕ+⟩态, 故原
子间纠缠会随时间慢慢衰减到零
. 类似地, 图2 中
给出两原子初始处于
|Ψ⟩AB 态时的共生纠缠C| ⟩随无量纲参量Ωt 的纠缠演化规律在三种模型下的
比较
. 在强耦合情况下, 三种模型下的两原子共生
纠缠
C| ⟩随时间的演化振荡频率是一样的, 在模
型
1 中初始纠缠容易得到保持, 而在模型3 中原子
纠缠最容易衰退
. 在弱耦合情况下, 两原子共生纠
缠
C| ⟩随时间单调衰减, 在模型1 中初始纠缠的衰
减最慢
, 而在模型3 中两原子纠缠会较快地衰减为
零
.
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图
1 两原子初始处于|Φ⟩AB 态时的共生纠缠C| ⟩随无量纲参量Ω 的纠缠演化规律在不同模型下的比较
图
2 两原子初始处于|Ψ⟩AB 态时的共生纠缠C| ⟩随无量纲参量Ω 的纠缠演化规律在不同模型下的比较
3.2
两种不同Bell 型纠缠初态在相同环
境模型下的纠缠演化比较
图
3 中分别给出对于特定的环境模型, 两原
子初始处于不同
Bell 型纠缠态|Φ⟩AB 和|Ψ⟩AB
时其纠缠演化行为的比较
, θ = /8. 当给定
的外界环境为模型
1 时, 如图3(a) 和(d), 不管
是强耦合还是弱耦合情形
, 两种Bell 型初始纠
缠态的纠缠演化行为完全相同
. 对模型2, 如
图
3(b) 和(e), 对于初态|Φ⟩AB, 两原子纠缠在初
230302-5
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Acta Phys. Sin. Vol. 61, No. 23 (2012) 230302
始时刻随时间迅速衰减到零
, 又慢慢增加至一
个渐进值
, 如前所述, 当θ = /8 时, |Φ⟩AB 中
同时包含
|ϕ−⟩和|ϕ+⟩项, 系统初始纠缠先快速
衰减到零再逐渐到达固定的渐进值
, 这是亚辐
射态
|ϕ−⟩在演化过程中不发生变化的原因；
而
|Ψ⟩AB 态中原子纠缠缓慢衰减到零. 在模型3
中
, 如图3(c) 和(f), 在强耦合情形下, |Ψ⟩AB 态会
发生纠缠死亡现象
, 纠缠突然死亡出现的原因在
于
θ = /8 时, 满足|cos θ| > |sin θ| 的条件[16]. 且
无论是强耦合还是弱耦合情况
, 原子处于|Ψ⟩AB
态时都比处于
|Φ⟩AB 态时的共生纠缠保持时间
要长
, 这与模型2 中得到的结论在初始时刻时
刚好相反
.
图
3 不同Bell 型纠缠初态的共生纠缠随无量纲参量Ω 的纠缠演化规律在同一模型下的比较, 其中θ= /8
4
结论
本文利用赝模理论的方法
, 系统研究了初始处
于
Bell 型纠缠态的两二能级原子在三种不同的环
境模型下的纠缠演化动力学行为
. 采用数值计算的
方法
, 讨论了初始纠缠的两原子A 和B 的纠缠演化
对模型的依赖关系
, 发现初始处于|Φ⟩AB 态时, 两
原子纠缠演化规律不仅与特定的环境模型有关
, 还
与初始纠缠度
θ 的取值有关；当初始处于|Ψ⟩AB
态时
, 在单一热库模型中时, 两原子间初始纠缠保
持的时间最长
. 同时比较了两种不同的Bell 型纠
缠初态
|Φ⟩AB 和|Ψ⟩AB 的纠缠随时间演化的异同.
发现在单一热库模型中时
, 两原子纠缠演化规律
完全相同；在共同热库环境模型中时
, 两原子初始
处于
|Φ⟩AB 态时的共生纠缠比处于|Ψ⟩AB 态时在
初始时刻随时间衰减要快；而在独立热库模型中
时
, 情况相反, 即两原子初始处于|Ψ⟩AB 态时其共
生纠缠随时间衰减较快
, 迅速减小到零, 而初始处
于
|Φ⟩AB 态时的共生纠缠要比前者保持的时间长
很多
.
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Sci. China-Phys. Mech.
Astron.
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Comparison of entanglement decay between Bell-like
states under different environmental models
Han Wei
1)2) Cui Wen-Kai1) Zhang Ying-Jie1)2) Xia Yun-Jie1)2)
1) (
Department of Physics, Qufu Normal University, Qufu 273165, China )
2) (
Shandong Provincial Key Laboratory of Laser Polarization and Information Technology, Department of Physics, Qufu Normal University, Qufu
273165
, China )
( Received 19 April 2012; revised manuscript received 29 June 2012 )
Abstract
Establishing three different environment models (i.e., single reservoir model, common reservoir model and independent reservoir
model), we investigate the evolutional characteristic of the entangled system initially in Bell-like state by the pseudomode method.
Through comparing the entanglement decays under the three different environment models, we find that the entangled Bell-like state
cos
|ee⟩+ sin |gg⟩will be kept in the single reservoir model for a time longer than in the other two models. However, the en-
tanglement decay behavior of Bell-like state
cos |eg⟩+ sin |ge⟩is dependent on the specific environment model. Meanwhile, the
comparison of entanglement decay between the above two Bell-like states at the same environment models is performed.
Keywords:
quantum entanglement, concurrence, pseudomode method
PACS:
03.65.Ud, 03.67.Hk
* Project supported by the Key Program of National Science Foundation of China (Grant No.10534030), and the Young Teacher Research Funds
from Qufu Normal University, China (Grant No. XJ201013).
†
E-mail: yjxia@mail.qfnu.edu.cn
230302-7
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