Monday, January 21, 2013

象电荷这样简单的复数位相变换在数学上构成所谓的阿贝尔群。具体讲，将场乘上一个复数相因子就是对场进行了一次位相变换，再乘上另一个复数相因子则相当于做了两次位相变换。两次所乘的相因子本身相乘等于一个新的复数相因子，所以，两次变换完全等价于用新的相因子做一次变换。这就是说，两个变换相“乘”得到的还是一个变换。把所有的变换集合起来，数学上称为一个群。所以，群就是一些对称变换的集合，这些变换互相“乘”起来还是这个集合中的一员。用数学的语言就是说，群的元素在“乘”法运算下是封闭的。很容易证明这个群的乘法是可交换的。这样的群称做阿贝尔群；反之，则称为非阿贝尔群

象电荷这样简单的复数位相变换在数学上构成所谓的阿贝尔群。具体讲，将场乘上一个复数相因子就是对场进行了一次位相变换，再乘上另一个复数相因子则相当于做了两次位相变换。两次所乘的相因子本身相乘等于一个新的复数相因子，所以，两次变换完全等价于用新的相因子做一次变换。这就是说，两个变换相“乘”得到的还是一个变换。把所有的变换集合起来，数学上称为一个群。所以，群就是一些对称变换的集合，这些变换互相“乘”起来还是这个集合中的一员。用数学的语言就是说，群的元素在“乘”法运算下是封闭的。很容易证明这个群的乘法是可交换的。这样的群称做阿贝尔群；反之，则称为非阿贝尔群

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这些变换互相“乘”起来还是这个集合中的一员,反之，则称为非阿贝尔群,质子场与中子场用一个两行两列的系数矩阵进行线性组合，用新的场

来源: marketreflections 于 2011-04-13 11:36:14[档案] [博客] [旧帖] [转至博客] [给我悄悄话] 本文已被阅读： 9次

回答: 远山雪的BLOG 量子反常的根源，在于拓扑障碍的存在（非平庸），对各级拓扑障碍的分析是量子场论中重要的一环由 marketreflections 于 2011-04-12 11:03:12

在此之前，我们不妨先看一下时空、引力和物质之间的关系，我这里说保守的说法：时空有其固有的几何结构，就是我们常说的Lorentz群结构，如果不考虑物质的影响，我们可以称之为纯度规场；引力有来源，是物质的能量动量张量，引力的来源的张量要求其实已经表达了这样一个意思，就是物质场和纯度规场的耦合，或者换句话说，我们写出的表述物质的Lagrangian被要求是广义协变的。在爱因斯坦引力理论里面，时空、引力和物质就是这样的一种联系，物质就是物质，时空就是时空，相比粒子物理的规范相互作用，引力理论中所谓的规范相互作用（物质场和纯度规场的所谓耦合），很不相同，从这个角度看，我本人认为，引力理论不存在被要求实现量子化的条件。所以，跳出这个话题，如果你问暗物质是否会影响时空几何结构？那么答案应该是明显的，时空的几何结构不会被物质所影响，只不过能够表现出来物质的引力效应。

3.1.3非阿贝尔规范相互作用

人们认识较早的非阿贝尔内部对称群是本书基本粒子部分介绍的强相互作用的同位旋对称性。它是从实验上发现的核力的电荷无关性建立起来的一种对称性。它使得只要问题仅限于讨论强核力，我们就无须区分质子还是中子；换句话说，在描写强核力的作用量中，我们可以将质子场与中子场用一个两行两列的系数矩阵进行线性组合，用新的场表达的作用量在形式上应该与原来的作用量完全一样。例如若取组合系数为：

则相当于把质子和中子对调，根据同位旋对称性，动力学规律应该不受任何影响。所有这样的系数矩阵在矩阵的乘法下封闭构成一个群，而且由于矩阵A乘矩阵B一般并不等于矩阵B乘矩阵A，所以这个群是一个非阿贝尔群。出于物理上的考虑，我们只限于那些满足特定条件的系数矩阵，它们构成所谓的二阶幺模幺正群，记作SU(2)。

根据群的一般理论，我们可以将系数矩阵写成一个复相因子的形式。只不过这时指数上不再是简单的纯虚数而是一个对角元素之和为零的反厄密矩阵，它在某种意义上是模为1的相因子的推广。所有这些2乘2的反厄密矩阵都可以写成3个独立的反厄密矩阵的线性组合，这3个独立的反厄密矩阵

称为群的生成元。非阿贝尔群的特点反映在群元素乘法的不可交换性，这种不可交换的程度可以通过对群的生成元满足的对易关系

r_ir_j-r_jr_i=2ε_ijkr_k，i，j，k=1，2，3

来描写，其中ε_ijk不恒为零反映了这种不可交换性，它称为结构常数。不同的群结构常数不同。同一个群可以有不同的表示。例如本书基本粒子部分曾提到，π介子的三种状态构成同位旋3维表示，相应的生成元表示成为3乘3的矩阵。它们也满足与上式同样的对易关系。

1954年杨振宁和米尔斯类比电磁相互作用的规范原理，将同位旋对称性定域化希望得到强作用的理论。他们发现，要构造一个作用量在定域的同位旋变换下不变就必须对应于同位旋的三个生成元引进三个规范

粒子，它们起着传递强力的作用。当进一步构造规范场自身的作用量时发现，要得到具有这种定域SU(2)对称性的作用量除了要有规范场的二次项外，还要有三次项和四次项。它意味着规范粒子带有一种“荷”(在这里是同位旋荷)，使规范粒子之间存在自相互作用。非阿贝尔规范场的这一特点对于量子场论有深远的意义，现在人们已认识到它是强作用存在渐近自由行为的根源，但在当时它所带来的计算上的巨大复杂性却使得理论的发展足足推迟了十多年之久。杨振宁后来回忆这段发展时说：“我们完全陷入困境(指得到自恰的计算法则)，规范场的非线性自作用项如此复杂以致我们看不出摆脱这种局面的途径。无论如何，由于对这个课题本身的足够兴趣，我们还是发表了一篇文章。”事实上，尽管后来的研究表明强作用的规范群不是同位旋SU(2)而是色SU(3)，但这篇发表于1954年的经典之作却揭开了人们认识自然界基本相互作用的一个历史新篇章。

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