Saturday, January 12, 2013

"量子效应對稱性" 电子在运动时会被散射，这种随机的散射会导致这两种方向的运动互相转化，而这导致了电阻的产生

电子在运动时会

被散射，这种随机的散射会导致这两种方向的运动互

相转化，而这导致了电阻的产生。用日常生活中的一

个例子可以进行类比：如果一条马路上的车既有向前

的也有向后的，那将会导致这条路拥堵不堪；然而如

果分成两个车道，一边只能向前开，一边只能向后开

量子自旋霍尔效应


范翔
00904097

2012
年5 月24 日

摘要

量子自旋霍尔态是一种拓扑绝缘体，是一种全新的物质状态。最近，实验上也在HgTe 量子阱中实际观测到了

量子自旋霍尔效应。量子自旋霍尔效应具有许多深刻的性质，并且应用前景十分辽阔。


简介


我对量子自旋霍尔效应的概念概括如下：在特定

的量子阱中，在无外磁场的条件下（即保持时间反演

对称性的条件下），特定材料制成的绝缘体的表面会

产生特殊的边缘态，使得该绝缘体的边缘可以导电，

并且这种边缘态电流的方向与电子的自旋方向完全相

关。它最初由

Kane 和Mele 在理论上预言[1]，最近

实验上在

HgTe 量子阱中被真正观测到[2]。

量子自旋霍尔态是一种全新的物质状态。凝聚态

理论通常根据对称性破缺原理来对物质状态进行分

类。量子自旋霍尔态和量子霍尔态是属于无自发对称

性破缺的物质状态，与普通物质状态大为不同。而量

子自旋霍尔态与量子霍尔态的不同之处就在于，它不

需要外加磁场，因此还保持了时间反演对称性。


拓扑绝缘体简介


为了说清楚量子自旋霍尔态，需要先讲一下拓扑

绝缘体的概念。拓扑绝缘体是指满足这样一种性质的

材料：材料的内部是绝缘体，然而他却可以允许电流

在其表面上流动。也就是说，拓扑绝缘体作为体材料

是绝缘体，然而它的表面是导体。这是因为拓扑绝缘

体的能带结构非常特殊，如图

1：在导体内部，如同

通常的绝缘体一样，费米能级在导带和价带之间；然

而，在拓扑绝缘体的表面上，存在着特殊的量子态，

这些量子态位于材料能带结构的带隙之中，从而允许

导电，见图

1中的两条连接了导带价带的绿线。这些

特殊的量子态可以用拓扑不变量（例如

Z2 拓扑不变

量）来表征

[3]，它类似于数学中拓扑学里的亏格，是

一种拓扑序。因为这样一种状态是受到了拓扑上的保


图

1: 拓扑绝缘体的能带结构图[4]

护，所以它并不受杂质或者几何上的扰动所影响，表

现出了一种鲁棒性。

量子自旋霍尔态就是一种拓扑绝缘体，它主要是

利用了自旋

-轨道耦合效应。

一维情况的直观理解


为了更好地理解量子自旋霍尔效应，我们先从一

维的情况说起。在一维的世界里，只有两个方向的运

动：向前和向后。在通常的材料中，电子在运动时会

被散射，这种随机的散射会导致这两种方向的运动互

相转化，而这导致了电阻的产生。用日常生活中的一

个例子可以进行类比：如果一条马路上的车既有向前

的也有向后的，那将会导致这条路拥堵不堪；然而如

果分成两个车道，一边只能向前开，一边只能向后开，


1


图

2: 量子自旋霍尔效应一维情况示意图[5]

那么道路将变得畅通无阻。如果通过巧妙的设计，让

电子在一个边缘只能朝一个方向运动，那就可以有效

地避免散射或者碰撞，进而大大减小电阻。量子自旋

霍尔效应与之类似，如图

2（黑色箭头代表自旋方向，

蓝色、红色的箭头代表运动方向）。在考虑自旋的一

维系统中，电子可以分为自旋向上、自旋向下，向左

运动、向右运动，一共四种。量子自旋霍尔效应实现

了这样一个效果：在上边缘，自旋向上的电子只能向

右运动，自旋向下的电子只能向左运动；下边缘正好

与之相反。

想要在某个边缘上，特定自旋方向的电子只能朝

一个方向运动，就需要让散射后运动方向反向的概率

为零。如何实现呢？其实可以类比于增透膜是如何实

现反射率为零的：两个界面反射出的光波恰好相位相

反，相干叠加后就抵消掉了。量子自旋霍尔效应与之

类似。当一个电子处在量子自旋霍尔边缘态的时候，

如果碰到了杂质，它有顺时针、逆时针两种方式绕着

杂质旋转然后最终反向，如图

3所示。顺时针和逆时

针的旋转对应于电子旋转了

􀀀π 和π，二者相差2π，

并且这两种旋转方式等概率地发生。在量子力学中，

有一个非常深刻而神奇的现象，就是对于自旋

1

2

的粒

子（例如电子），当它旋转

2π 的时候，波函数并不是

不变，而是会相差一个负号！因此通过顺时针和逆时

针旋转然后运动反向的电子，波函数相干叠加之后恰

好为零。这就保证了电子不会被散射成反向运动，即


图

3: 散射后运动方向相反的概率为零原理图[5]

它们只能朝一个方向运动。


二维情况简介


二维情况的量子自旋霍尔态可以在

HgTe 量子阱

中实现，如图

4。

图

4: 量子自旋霍尔效应二维情况示意图[5]

在通常的半导体中，导带是由

s 轨道的电子形成

的，价带是由

p 轨道的电子形成的。但是在特定的元

素中，例如

Hg、Te，自旋-轨道耦合效应是如此的显

著，以至于把

p 轨道推到了s 轨道的上面，于是形成

了能带的反转。可以把

HgTe 与CdTe 做成三明治的

形状，这样一来，通过调节

HeTe 层的厚度dQW，就

2


可以调节整体自旋

-轨道耦合的强度，dQW 越大自旋

-

轨道耦合的作用越强。能带反转的临界厚度dc 约为

6.5nm

。

在

HgTe 量子阱中的量子自旋霍尔效应可以用

关于

E1、H1 子能带的模型来描述。如图4a，当

d

QW > dc
时，H1 子能带高于E1 子能带，理论计算

得出在能带反转区域会出现一对边缘态；当

dQW < dc

则不会发生。这对边缘态携带着不同自旋的电子，从

价带扩散到导带。注意图

4b 中的第二幅能带结构图

与拓扑绝缘体的能带结构图（图

1）是一致的。

HeTe/CdTe


量子阱中量子自旋霍

尔效应的理论模型


二维量子自旋霍尔效应可以用一个比较简单的

等效理论模型来描述。基于一些基本的假设，二维


HgTe

拓扑绝缘体可以被这样一个哈密顿量描述：

H


(k) = ϵ(k)1+




M


(k) A(kx + iky) 0 0

A


(kx 􀀀 iky) 􀀀M(k) 0 0

0 0

M(k) 􀀀A(kx 􀀀 iky)

0 0

􀀀A(kx + iky) 􀀀M(k)





(1)


其中

ϵ(k) = C + Dk2，M(k) = M 􀀀 Bk2。在这

个哈密顿量中：左上角的

2*2 矩阵块描述了自旋向上

的、类

s 轨道的E1 导带中的以及类p 轨道的H1 价

带中的电子；右下角的

2*2 矩阵块描述了自旋向下的

那些能带中的电子。

ϵ(k)1 项只是一个对所有能带都

起作用的无关紧要的量。这些能带之间的能隙为

2M，

B


（通常是负值）描述了能带的曲率。当M/B < 0

时，这个模型解出的本征态描述了普通的绝缘体；然

而在厚量子阱的情况下，能带发生反转，

M 变成了负

值，此时这个模型的解给出了量子自旋霍尔绝缘体的

边缘态的描述。

由此哈密顿量解得的两个边缘态波函数

ψs(j) 和

对应能量本征值

Es(kx) 为

ψ

s
(j) =

Σ


s



(

λj

(1)


􀀀

λj

(2)

)ϕs+ (2)

E

s
(kx) = 􀀀As sin(kx) (3)

其中


λ


(1;2) =

􀀀

m
(k,M) 

√


m


(k,M)2 + (A2 􀀀 4B2)

A


+ 2B

m


(k,M) = 􀀀2B(2 􀀀M/2B 􀀀 cos(kx))

从上面的表达式可以看出，两个拥有不同

􀀀1 本征值

的边缘态是在不同方向上传播的。


螺旋液体的拓扑性质的理论


量子自旋霍尔系统可以通过研究边缘态的低能等

效理论来理解。这个理论的哈密顿量可以写为


H


=

∫


dk



2

π

(

ψ

y


k


+vkψk+ 􀀀 ψ

y


k

􀀀vkψk􀀀
) + Hpert (4)

其中

Hpert 代表可能的扰动项。

定义“手性”算符


C


= N+ 􀀀 N􀀀 =

∫


dk



2

π

(

ψ

y


k


+ψk+ 􀀀 ψ

y


k

􀀀ψk􀀀
) (5)

那么如果一个算符把

C 的值改变了2(2n􀀀1)(n 2 Z)，

那么这个算符是时间反演的。也就是说，时间反演对

称性要求哈密顿量的扰动项

Hpert 只包含2n 个粒子

的反弹，例如

ψ

y


k


+ψ

y


k

′
+ψp􀀀ψp′􀀀。因此，金属中常见

的扰动，例如

ψ

y


k


+ψ

y


k

′􀀀
，是被时间反演对称性所禁止

的。这对于边缘态的拓扑稳定性是必须的。其实这就

是前面提到的图

3那种直观理解的理论基础。这种边

缘态的等效理论和以往的所有理论模型都有定性上的

不同，研究人员把这种理论描述的对象称为“螺旋液

体”（

Helical Liquid）。

为了下面的叙述，在这里需要说一下

Kramer’s

Pair

的概念。理论表明，任何时间反演对称的自旋

1/2

的系统，其本征态总是至少有二重简并，这简

并的两个态就称为

Kramer’s Pair。前面的直观理解

部分其实已经为

Kramer’s Pair 做好了铺垫：图2的

Quantum spin Hall

部分中，上边缘的红线和蓝线就是

一个

Kramer’s Pair，下边缘又是另外一个Kramer’s

Pair

。上面一段其实说的就是，如果一个边界上只存

在

1 个Kramer‘s Pair，那么时间反演对称性就保证

了电子不会从这个

Pair 中的一个态跳到另一个态上，

从而保证了没有反弹。

现在再来考虑在边界上有两个

Kramer’s Pair 的

情况，例如在一维情况下，有两个向右运动的通道两

个向左运动的通道，这时的哈密顿量写为


H


=

∫


dk



2

π

Σ


s


=1;2

(

ψ

y


ks


+vskψks+ 􀀀 ψ

y


ks

􀀀vskψks􀀀
) (6)

与只有

1 个Kramer’s Pair 时类似，一个态上的电

子不会跃迁到同一个

Kramer’s Pair 上的另一个态上。

3


图

5: 量子阱层级结构示意图[2]

但是，此时电子可以跃迁到另外一个

Kramer’s Pair

中的态上，例如

ψ

y


k


1+ψ􀀀k;2􀀀，这种跃迁的概率不再是

0

。此时将不再能保证无反弹，因此此时就退化成了

普通的绝缘体了。

更普遍的，对于一个具有时间反演对称性的边缘

系统：如果有奇数个

Kramer’s Pair，那么它是量子自

旋霍尔态；如果有偶数个

Kramer’s Pair，那么它是普

通绝缘体。这样的一个性质就让人们很自然地想到用


Z


2 拓扑量子数来描述量子自旋霍尔系统。Z2 拓扑不

变量的含义其实就是它的取值只能为

0 和1 的拓扑不

变量。


实验观测


实验上，粗略来说就是要实现图

4a，实际测量用

的量子阱层级结构如图

5所示。样品是用分子束外延

法生长出来的。

边缘态的特点使得实验上可以很明确地区分量子

自旋霍尔绝缘体和普通绝缘体。量子自旋霍尔绝缘体

的两个边缘态表现得像是两个一维通道，各自贡献一


图

6: 实验结果对比图[2]

图

7: 不同dQW 的实验结果图[2]

个量子的电导（即

e2/h），因此其电阻应当是h/2e2。

与此相反，普通的绝缘体的电阻应当是无穷大。对于

不同厚度（

dQW 大于和小于临界厚度dc）的HgTe 量

子阱，实验上确实观测到了电阻的巨大差别，如图

6：

红线代表量子自旋霍尔绝缘体，黑线代表普通绝缘

体。

图

7的结果更进一步地证实了量子自旋霍尔态的

电子输运确实只发生在材料的表面。红线和黑线是在

不同尺寸的装置中测得的电阻，可以看出：在图片靠

右部分的导体阶段（体导电），两个装置的电阻明显

不同；然而在图片靠左部分的绝缘体阶段，两个不同

尺寸的装置表现出了相同的电阻（而且这个阻值都是


4


h


/2e2），这就证明了在此阶段一定是表面导电而不是

体导电。

另外，通过蓝线和黑线的对比可以看出，温度的

升高对电阻几乎没有影响，只要

kBT 远小于能隙。这

就显示出了它作为拓扑绝缘体的鲁棒性。


应用及意义


按照对称性破缺的分类方法，量子自旋霍尔态是

一种全新的物质状态，这本身的意义就十分重大。

在拓扑绝缘体中，有许多新的物理现象被预言，

例如分数电荷、自旋电荷分离、轴子、马约拉纳费米

子等等。因此，量子自旋霍尔效应和拓扑绝缘体的领

域正变得非常热，吸引着大量的科学家投身研究。

量子自旋霍尔效应可以实现对自旋的操纵，再加

上拓扑绝缘体的鲁棒性，因此量子自旋霍尔态的材料

被认为可以用来实现量子计算。

“爱因斯坦坚持，所有基本的物理定律都应该用

几何的语言去表述。而现在的物理学家正追寻着比爱

因斯坦更进一步的梦想，正在探索用拓扑场论去表述

基本的物理定律。”

[5] 在我看来，拓扑性质是比几何

性质更基本的数学性质，因此最基本的物理定律也许

的确需要用拓扑的理论框架来描述。


参考文献


[1] C. L. Kane and E. J. Mele. Quantum spin hall

effect in graphene.

Physical Review Letters,

95(22):226801, November 2005.

[2] Markus Koenig, Hartmut Buhmann, Laurens W

Molenkamp, Taylor L Hughes, Chao-Xing Liu,

Xiao-Liang Qi, and Shou-Cheng Zhang. The quantum

spin hall effect: Theory and experiment.

arXiv:

0801.0901


, January 2008.

[3] C. L. Kane and E. J. Mele. Z_2 topological order

and the quantum spin hall effect.

Physical Review

Letters


, 95(14):146802, 2005.

[4] Wikipedia contributors. Topological insulator,

May 2012. Page Version ID: 483273690.

[5] X. L Qi and S. C Zhang. The quantum spin hall

effect and topological insulators.

Physics Today,

63(1):33–8, 2010.

[6] Wikipedia contributors. Quantum spin hall effect,

October 2011. Page Version ID: 456466445.

[7] B. Andrei Bernevig and Shou-Cheng Zhang. Quantum

spin hall effect.

Physical Review Letters,

96(10):106802, March 2006.

5

"量子效应對稱性" 的結果。
量子效应對稱性 的結果 (無引號)：
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