1
~ 扭轉乾坤 ~
摘要：
莫比烏斯帶、DNA雙股螺旋、Turning Torso大樓 …等都是扭轉結構。
那到底為什麼將莫比烏斯帶剪了一圈後不會變成兩條帶子？為什麼DNA雙
股螺旋的鹼基夾角36度是生物體內最強結構？為什麼Turning Torso大樓 扭轉了90度可以屹立不搖？因此我們從莫比烏斯帶扭轉的度數、分割的條
數…之間變化的關係探討起；再運用數學原理配合電腦模擬深入探討「螺
旋結構體」、「2-雙股螺旋結構體」中結構改變與結構強度之間的關係，並
且深入研究，找出「莫比烏斯帶」與「螺旋結構體」之間的關係式。
最後可以應用我們的研究結果，建構較Turning Torso大樓 更神奇美觀
的「扭扭大樓」。
壹、研究動機：
Turning Torso大樓 （如下圖所示）位於瑞典馬爾默(Malmo)，樓高190
公尺（623英尺）、54層，共分九個區層，每個區層有五層每個區層的方向
都跟下面的區層不同，而2800板外牆及2250塊玻璃幕牆均以1.6度「扭轉」；
這棟大樓內擁有三十三種不同形式、共一百四十七間公寓，由於大樓從一
樓到屋頂共扭轉了九十度，所以每間公寓都擁有充足的自然光，當中最高
及最底的區層成直角，看起來整座大廈猶如扭了毛巾一圈，因而有「扭毛
巾大樓」之稱。
莫比烏斯帶、DNA雙股螺旋、Turning Torso大樓 …等都是扭轉結構。
那到底為什麼將莫比烏斯帶剪了一圈後不會變成兩條帶子？為什麼DNA雙
股螺旋鹼基夾角36度是生物體內最強結構？為什麼HSB旋轉中心扭轉了
90度可以屹立不搖？因此我們從莫比烏斯帶扭轉的度數、分割的條數…之
間變化的關係探討起；再運用數學原理配合電腦模擬深入探討螺旋結構中
結構改變與結構強度之間的關係。
莫比烏斯帶
Turning Torso大樓
DNA雙股螺旋
2
貳、研究目的:
一、在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成n等份時，探討莫比烏斯帶扭轉總度數、
分割後條數、側面面數、長寬及總面積的變化。
二、探討螺旋結構體在螺旋間距n單位、螺旋夾角q單位、股數p單位、螺
旋結構長k單位改變時，螺旋與水平面的夾角變化公式。
三、在螺旋結構長k單位，螺旋間距n單位、螺旋夾角q單位改變時，探討
「2－雙股螺旋結構體」結構強度變化。
參、研究工具：
紙帶、電腦軟體
Autodesk MAYA3D
肆、名詞解釋:
一、莫比烏斯帶:
定義：根據維基百科，莫比烏斯帶（Mobius strip
或者Mobius band），又譯梅比斯環或麥比
烏斯帶，是一種拓撲學結構，
它只有一個
面（
表面），和一個邊界。它是由德國數學
家
、天文學家莫比烏斯（August Ferdinand Mobius）和約翰·李斯丁
（
Johhan Benedict Listing）在1858年獨立發現的。這個結構可以用一
個
紙帶旋轉半圈再把兩端粘上之後輕而易舉地製作出來。
扭轉180k度：莫比烏斯帶是用一個紙帶旋轉半圈再把兩端黏上之後輕而易
舉地製作
出來，也就是把一張紙條扭轉180度後再將兩端黏
接
起來的紙條。為方便之後探討，扭轉180度視為扭轉半圈，
扭轉180
×2度視為扭轉一圈…，以此類推。
二、DNA雙股螺旋：
DNA雙股螺旋結構：DNA雙股螺旋結構:在平面上放一個
鹼基，鹼基2
端放上2個圓，由鹼基
的中心
點為圓心，依照一定的角度把
同
樣的模組一層一層疊上去，即完
成，而長在鹼基
邊的圓連在一起就是
一條股，因為有2條，稱之為雙股螺旋。
鹼基長:整個橫槓是一對鹼基，所以鹼基長是橫槓長/2。
鹼基距:疊在一起的2個橫槓的垂直距離。
股數：股的數量。
鹼基夾角：由橫槓中心點為圓心，堆疊模組時，模組之間的角度即鹼基
夾角。
3
三、2-雙股螺旋結構體
2-雙股螺旋結構體
就是兩個雙股螺
旋結構體以90度
交叉而成的十字
型
的螺旋結構體。
伍、研究過程：
首先，從莫比烏斯帶扭轉的度數、分割的條數…之間變化的關係探討起：
我們都知道：把莫比烏斯環沿著寬度的二分之一處剪開（沿圖中的虛線），會形成另一個二倍長度、轉折兩次的紙環。
接下來，把轉折一次的莫比斯環從寬度三分之一處剪開成三等分後，會
出現什麼狀況呢？
一、在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成n等份時，探討莫比烏斯帶扭轉總度數、分割後條數、側面面數、長度及總面積的變化。
（一）探討在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成n等份時，莫比烏斯帶扭轉「總度數」的變化。
1.探討在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成2等份時，莫比烏斯帶扭轉「總
度數」的變化。
我們將觀
察到的數據列成表格如下：
4
總度k 數 7210 722 0 1434 0 1444 0 2156 0 …… k?
觀察規律
總度數 360×1+360 360×2 360×3+360 360×4 360×5+360 … ?
【發現】當k為奇數時，總度數為360k+360
當k為偶數時，總度數為360k
【說明】
當k為奇數時，因為扭轉成180k度時的側面面數為1，所
以切成2等份時，會出
現一條帶子。
由下圖可
知，在k為奇數時，橘帶和綠帶相接。從橘1出
發
，轉過180k度後來到綠2，又追加180度，經過綠2時
再轉180k度後，
接回橘1時再加180度，所以總計是
360k
+360度。
當k為偶數時，因為180×偶數時的側面面數為2，所以切
成2等份時，會切成2條，所以將180k
×2，得到公式為總
度數
=360k。
2.探討在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成3等份時，莫比烏斯帶扭轉時
總度數的變化
總度k 數 5410 1028 0 1632 0 2146 0 2750 0 …… k?
觀察規律
總度數 180×1×3 540×2 180×3×3 540× 4 180×5×3 … ?
【發現】當k為奇數時，總度數為540k
當k為偶數時，總度數為540k
【說明】
當k 為奇數時，因為180×奇數時的側面面數為1，所以切成
3 等份時，
只會切成2 條，一條大一條小，而大的那條是小
5
的那條的2
倍，所以總度數就是小條的3 倍。因為小條的就
是切成三分時的中間那條，度數跟原
先的一樣，所以切成三
等份時，總度數=3ﾗ180k度=540k度。
當k 為偶數時，因為180×偶數時的側面面數為2，所以切成
3 等份時，會切成3條，所以將180kﾗ3，最後
得到的公式
為總度數=540k。
3.探討莫比烏斯帶扭轉180k度，切成4等份，莫比烏斯帶扭轉時總度
數的變化
總度k 數 1018 0 1424 0 2532 0 1444 0 3956 0 …… k?
觀察規律
總度數 180×1×4+360 360×4 180×3×4+360 36 0×4 180×5×4+360 … ?
【發現】當k為奇數時，總度數為720k+360
當k為偶數時，總度數為360n=1440
【說明】
當k為奇數時，因為180×奇數時的側面面數為1，所以切成
4等份時，
只會切成2條，也就是先從1/4的地方開始切，
切
過3/4處再繞回來，就會形成一條細長和一條肥短的帶
子。
細長的度數是360k，肥短的則是180k，若把肥短的再
分割一
次，就是360k+360度，兩者相加後得總度數
=7
20k+360。
當k 為偶數時，因為180×偶數時的側面面數為2，因此切成
4 等份時，會切成4條，且
要切完(切後的寬度必須每條都是
1/4 原寬)，所以每條度數
皆為360n=1440 度。
當k為偶數時，總度數為360k
當k為奇數時：1若n為奇數，則總度數為180kn
2
若n為偶數，則總度數為180kn+360
6
（二）探討在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成n等份時，莫比烏斯帶條
數的變化。
1.探討在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成2等份時，莫比烏斯帶條數的
變化。
總條k 數 11 22 13 24 15 …… k?
觀察規律
總條數 1 2 1 2 1 … ?
【發現】當k為偶數時，條數為2
當k為奇數時，條數為1
【說明】
當k為奇數時，莫比烏斯帶只有一面，在這個情況下切成2
等份的
話，左半條會跟右半條相連，不會分開成2條，所
以條數為1。
k為偶數時，莫比烏斯帶有2面，若切成2等份，左半條會
和右半
條分開，故條數為2。
2.探討在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成3等份時，莫比烏斯帶條數的
變化。
總條k 數 21 32 23 34 25 …… k?
觀察規律
總條數 2 3 2 3 2 … ?
【發現】當k為偶數時，條數為3
當k為奇數時，條數為2
【說明】
當k為奇數時，莫比烏斯帶的型態為1面，切成三等份時，
如果從
偏左的1/3處開始切，會經過偏右的1/3處再繞回
來，此時中間的那一圈會分
離出來，而左右兩端則會結
合，
故條數為2。
當k為偶數時，莫比烏斯帶的型態為2面，所以切成三份時，每一圈都各自獨立出一條帶子，故總條數為3。
3.探討在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成4等份時，莫比烏斯帶條數的
變化。
總條k 數 21 42 23 44 25 …… k?
觀察規律
總條數 2 4 2 4 2 … ?
7
【發現】
當k為偶數時，條數為4
當k為奇數時，條數為2
【說明】
當k為奇數時，莫比烏斯帶的型態為1面，所以再切成四
等分時，
若先從左方1/4處開始切，會切過右方1/4處再切
回
來，而中間那條的度數為原先的度數，且可再分割，最
後
得到兩條帶子，故條數為2。
當k為偶數時，莫比烏斯帶的型態為2面，所以再切成四
等份時，帶子
彼此不相接，為四條獨立的帶子，所以總條
數為4。
當k為偶數時，條數為n(切的等份
當k為奇數時：1若n為奇數，則條數為
1
2
n
+
2
若n為偶數，則條數為n
(三)探討在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成n等份時，莫比烏斯帶側面
總面數的變化。
1.探討在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成2等份時，莫比烏斯帶側面總
面數的變化。
總面k 數 21 42 23 44 25 …… k?
觀察規律
總面數 2 4 2 4 2 … ?
【發現】當k為偶數時，面數為4
當k為奇數時，條數為2
【說明】
當n=2時，k為奇數時，條數為1條，而總度數÷180為偶
數，此時的側面面數為2。
當k為偶數時，條數就變成了2條，總度數÷180也是偶數，
所以側面面數變成了2
×2。
2.探討在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成3等份時，莫比烏斯帶側面總
面數的變化。
總面k 數 31 62 33 64 35 …… k?
觀察規律
總面數 3 6 3 6 3 … ?
【發現】當k為偶數時，面數為6
當k為奇數時，面數為3
8
【說明】
當n=3時，k為奇數時，條數為2條，而其中一條的總度數
÷
180為偶數，另一條的總度數÷180為奇數，此時的側面面
數為2
+1=3
當k為偶數時，條數就變成了3條，而3條各自的總度數÷
180都為
偶數，所以側面面數變成了2×3=6。
3.探討在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成4等份時，莫比烏斯帶側面總
面數的變化
總面k 數 41 82 43 84 45 …… k?
觀察規律
總面數 4 8 4 8 4 … ?
【發現】當k為偶數時，面數為8
當k為奇數時，面數為4
【說明】
當n=4時，k為奇數時，條數為2條，而這2條各自的總度
數
÷180都為偶數，此時的側面面數為2×2=4
當k為偶數時，條數就變成了4條，而這4條各自的總度數
÷
180都為偶數，所以側面面數變成了2×4=8。
當k為偶數時，側面面數為2n
當k為奇數時，側面面數為n
(四)探討在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成n等份時，莫比烏斯帶長、
寬、面積的變化。
為方
便表示，我們假設未剪前的莫比烏斯帶面積為150、長度60、
寬度2.5：
1.探討在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成2等份時，莫比烏斯帶面積、
長度、寬度的變化。
k 1 2 3 4 5 … k
面積 150 150 150 150 150 ?
長 60 60 60 60 60 ?
寬 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 … ?
觀察規律
面積 不變 不變 不變 不變 不變 ?
長 30×2 30×2 30×2 30×2 30×2 ?
寬 150÷60 150÷60 150÷60 150÷60 150÷60 … ?
【發現】
面積不變
寬為30n，長為面積/寬
9
【說明】
因為面積不管怎麼切，怎麼轉，它的面積永遠不會消失，所
以
永遠不變。
而只要是切成2等份時，它的寬將切成一半所以為2.5，而
又因為面積不變，寬所
小2倍，因此長應放大2倍。
2.探討在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成3等份時，莫比烏斯帶面積、
長度、寬度的變化。
k 1 2 3 4 5 … k
面積 150 150 150 150 150 ?
長 90 90 90 90 90 ?
寬 1.66 1.66 1.66 1.66 1.66 … ?
觀察規律
面積 不變 不變 不變 不變 不變 ?
長 30×3 30×3 30×3 30×3 30×3 ?
寬 150÷90 150÷90 150÷90 150÷90 150÷90 … ?
【發現】
面積不變
寬為30n，長為面積/寬
【說明】
因為面積不管怎麼切，怎麼轉，它的面積永遠不會消失，
所以
永遠不變。
而只要是切成3等份時，它的寬將切成三等份所以為1.66，
而又因為面積不變，寬所
小3倍，因此長應放大3倍。
3.探討在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成4等份時，莫比烏斯帶面積、
長度、寬度的變化。
k 1 2 3 4 5 … k
面積 150 150 150 150 150 ?
長 120 120 120 120 120 ?
寬 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 … ?
觀察規律
面積 不變 不變 不變 不變 不變 ?
長 30×4 30×4 30×4 30×4 30×4 ?
寬 150÷120 150÷120 150÷120 150÷120 150÷120 … ?
【發現】
面積不變
寬為30n，長為面積/寬
【說明】
因為面積不管怎麼切，怎麼轉，它的面積永遠不會消失，
所以
永遠不變。
而只要是切成4等份時，它的寬將切成四等份所以為1.25，
而又因為面積不變，寬所
小4倍，因此長應放大4倍。
面積不變
寬為30n，長為面積/寬
10
接下來，我們感興趣的是到底什麼會影響扭轉結構？經文獻探討，我們從
DNA 雙股螺旋結構觀察發現就是其結構的水平角度會影響整個結構的強度及穩
定度，然而會影響DNA 雙股螺旋結構水平角度的變項卻有鹼基長、鹼基距、股
數、鹼基夾角等，DNA 四個鹼基（腺
嘌呤(A)、胸腺嘧啶(T)、胞嘧啶(C)、鳥嘌
呤
(G)）長度大約在50 個原子左右，必須使用奈米(＝10-9公尺)才能表示，如要
觀察作實驗也必須經過精密的生化儀器。
在我們感興趣的只限於「螺旋扭轉結構」的前提下，為方便研究，我們嘗
試以數學的原理，利用電腦動態模擬仿照DNA的結構模式，建構一個「螺旋結
構體」，也就是假設螺旋結構長為k（相
當於DNA中的鹼基長），螺旋間距n（相
當於DNA中的鹼基距），股數p，螺旋夾
角q（相當於DNA中的鹼基夾角），如下
所示，深入探討影響結構水平角度
q 的
變化公式。
二、探討螺旋結構體在螺旋間距n單位、螺旋夾角q單位、股數p
單位、螺旋結構長k單位改變時，螺旋與水平面的夾角變化公
式。
（一）探討螺旋結構體在螺旋間距、螺旋夾角、股數固定時，當螺旋
結構長k單位時，螺旋與水平面的角度為何?
為方
便觀察，我們將螺旋間距固定為n=2單位，螺旋夾角為q=36
度，股數為p
=2時，用電腦軟體模擬，並觀察螺旋與水平面的角度變
化：
觀
察到的數據如下頁表所示：
11
螺旋k單結位構長
5 10 15
圖片
θ 32 17 12
sinθ 0.5299 0.2924 0.2079
螺旋k單結位構長
20 25 …
圖片
…
θ 9 7 …
sinθ 0.1571 0.1263 …
【發現】
當螺旋結構長k值變大時，水平角度θ會變小
（
但其間的詳細關係待更進一步討論）
（二）探討螺旋結構體在螺旋結構長、螺旋夾角、股數固定時，當螺
旋間距n單位時，螺旋與水平面的角度為何?
為方
便觀察，我們將螺旋結構長k固定為5、螺旋夾角q=36、股
數p
=2，用電腦軟體模擬，並觀察螺旋與水平面的角度變化：
間螺距旋n
2 4 6 8 10 …
圖片
…
θ 32 52 62 69 72 …
sinθ 0.5299 0.7880 0.8829 0.9335 0.9510 …
【發現】
當螺旋間距n值變大時，水平角度θ會跟著變大。
（
但其間的詳細關係待更進一步討論）
12
（三）探討螺旋結構體在螺旋結構長、螺旋夾角、螺旋間距固定時，
當股數為p單位時，螺旋與水平面的角度為何?
為方
便觀察，我們定螺旋結構長k=5、螺旋夾角q=36、螺旋間距
n
=2，用電腦軟體模擬，並觀察螺旋與水平面的角度變化：
股數p 2 3 4 5 …
圖片
…
θ 32.5 27.415 23.155 19.865 …
sinθ 0.537 0.4604 0.3932 0.3386 …
【發現】
當股數p值變大時，水平角度θ會跟著變小。
（四）探討螺旋結構體在螺旋結構長、股數、螺旋間距固定時，當螺
旋夾角為q時，螺旋與水平面的角度為何?
為方
便觀察，我們定螺旋結構長k=5、螺旋夾角q=36、螺旋間距
n
=2，用電腦軟體模擬，並觀察螺旋與水平面的角度變化：
角度
1 2 3 4 5 6
圖片
θ 87.50 85.01 82.53 80.10 77.69 75.33
sinθ 0.99904 0.9962 0.9915 0.9851 0.97701 0.9674
角度
8 9 10 12 15 18
圖片
θ 70.76 68.56 66.43 62.37 56.79 51.85
sinθ 0.9441 0.9308 0.9165 0.8859 0.8367 0.7864
13
角度
20 24 30 36 40 45
圖片
θ 48.89 43.68 37.38 32.48 29.81 26.99
sinθ 0.7534 0.6906 0.60706 0.5370 0.4971 0.4538
角度
60 72 90 120 … 180 …
圖片
…
…
θ 24.60 21.34 17.965 14.489 … 10.92 …
sinθ 04162 0.3639 0.3084 0.2501 … 0.1894 …
【發現】：
在螺旋夾角的實驗中，因為實驗的度數越來越大，且兩個螺
旋單位中固定只設2個圓盤，所以當螺旋夾角超過36度時，
股中的圓盤就會出現空隙，當空隙越來越大時，所看到的景
象差距就會增加。
當我們將螺旋結構長k、螺旋間距n、螺旋夾角q、股數p
做改變
時，
q 也跟著改變。
14
另外，
q似乎和這四個變數存在一些關聯性。因此我們希望能
求出
sinq之公式，並進一步得到q和這四個變數的變化關係。
（五）探討螺旋結構體在螺旋結構長k、股數p、螺旋間距n、螺旋夾
角q，四者與螺旋水平夾角
q 之間的關係式為何?
如圖所示是
q 的位置，半徑為螺旋結構長k
【推導】：
步驟螺旋結構體一圈有
360
n
q
個結構單位，一圈的高度為
360
n
q
步驟
從一條股垂直往上找到另外一股的距離就是
360
n
pq
步驟
一條股水平往旁邊找到另外一股的距離
2
k
p
p
步驟
根據sin之定義，找出螺旋體中的斜邊和對邊（圖一）
步驟
發現對邊是半圈螺旋的高
360
n
pq
。
鄰邊
是螺旋周長的一半
2
k
p
p
。
斜邊就
是2
2 2
2 2 2
4 129600
n
k
p p q
p
+
。（如下圖）
步驟
由於sinq 是斜邊分之對邊，所以最後推得關係式為
2
2 2
2 2 2
360
sin
4 129600
n
pq
n
k
p p q
q
p
=
+
結構水平角度
q
探討螺旋結構體在螺旋結構長k、股數p、螺旋間距n、螺旋夾角q，
四者與螺旋水平夾角
q 之間的關係式為
2
2 2
2 2 2
360
sin
4 129600
n
pq
n
k
p p q
q
p
=
+
2 2
2
2 2
2
4 129600
p q
n
k
p
p
+
pq
360
n
15
接下來，我們針對之前
【研究二】的(一)(二)(三)(四)的發現，
利用研究(五)的結論作更進一步的探討：
【發現（一）】：
發現固定螺旋間距為2，股數為2，螺旋夾角為36度，此時螺旋單
位長為k，
代入sinθ之公式，
當螺旋單位長k變為t
倍時，sinθ變為
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
32400
32400
q
t n
t k
q
n
k
+
+
p
p
=
100
100
2 2 2
2 2
+
+
p
p
t k
k
倍。
【發現（二）】：
固定螺旋單位長為5，股數為2，螺旋夾角為36度，此時螺旋間距
為n，
代入sinθ之公式，
當螺旋間距n變為t
倍時，sinθ變為2 2 2
2 2
25 25
25 25
t n
n
+
+
p
p
=
2 2 2
2 2
t n
n
+
+
p
p
倍。
【發現（三）】：
固定螺旋單位長為5，螺旋間距為2，螺旋夾角為36度，此時股
數為p，
代入sinθ之公式，
當股數p變為t
倍時，sinθ變為
2
2
2 2
2
2
2 2
32400
32400
2
q
n
k
q
n
k
pt
+
+
p
p
=
1
2
pt
=
pt
2
倍。
【發現（四）】：
固定螺旋單位長為5，螺旋間距為2，股數為2，此時螺旋夾角為
q度
代入sinθ之公式，
當螺旋夾角q變為t
倍時，sinθ變為
2 2
2
2
2
129600
25
129600
25
t q
q
+
+
p
p
倍
。
16
接
下來，我們進一步探討螺旋結構體的結構強
度，
經過一些文獻的查閱，為方便討論，發現影響
的有
許多變項，一一列出如下，並針對其做了以下
2
點假設：
螺旋結構體模型中股（即橘綠螺旋條）類似
橡皮筋
，僅承受張力，不承受壓力，假設其
可
承受最大張應力為1 P，而截面積為1 A ，則
根據公式可
承受最大螺旋股拉力為1 1 1 T = P A。
(
其中螺旋股拉力1 T 如圖示)
模型中螺旋單位（即藍色橫條）則成為承受壓力桿件，可承受最大壓應力
為
2 P ，而截面積為2 A ，則可承受最大壓力為2 2 2 T = P A 。
（其中 F：拉螺旋結構的力 N：壓螺旋結構的力
q ¢：受力後股與橫條所形成之夾角
1
T ：螺旋股拉力 2 T ：螺旋股壓力 1 P ：最大張應力
2
P ：最大壓應力 1 A ：承受壓力之截面積 2 A ：承受壓力之截面積)
此時，對螺旋結構體施以拉力F 至破壞，這個時候橘綠螺旋股應達到最大
螺旋股拉力
1 T 。
再來，套入之前【研究二】的結果，首先，利用數學原理嘗試找出拉力F
的關係式，
【引理1－拉力引理】
1 F = pT sinq
（其中p為股數，θ：螺旋水平方向夾角，
1 T ：螺旋股拉力）
【說明】
就單一條螺旋條來看(如圖)
因
1 T 與水平方向夾角為θ，
故
可分解成水平方向分力cosq 1 T 及垂直方向
分
力sinq 1 T
此條水平方向分
力與另一條剛好方向相反
互相抵消
垂
直方向依力平衡原理可得：
1
F −T sinq × p = 0
即
1 F = pT sinq
17
其次，考慮「螺旋單位（即藍色橫條）所受壓力是否在可承受最大壓力為
2 T
以內」(若是超出
2 T 則表示螺旋條未達1 T ，螺旋單位（即藍色橫條）就先壓壞，
則拉力公式就不適用)
【引理2】
若2 N £ T ，則最大拉力公式為1 N = F = pT sinq
若
2 N ³ T ，則N ¹ F，最大拉力公式為2 F = T sinq ÷ cosq ¢（ 2 T 為可承受
最大
壓力）
【說明】
將螺旋結構體投影成平面（如圖）
受力
後股與螺旋單位（即藍色橫條）形成夾角q '
其
中q ¢ = (180 −q)÷ 2
以
2 T 點藍色橫條方向做為Y軸 (如上右圖)
把力
分成水平方向(X軸方向)及垂直方向(Y
軸
方向)
則
水平方向分力滿足1 1 −T sinq ¢ + T sinq ¢ = 0，
相互抵消達
成平衡
情
形一若2 N £ T ，垂直方向依力平衡原理
cos 0
1 −N + T q ¢× p =
=>
= cosq ¢ 2 N pT
情
形二若2 N ³ T ，則= cosq ¢ 2 1 T pT ，
= ÷
( × cosq ¢) 1 2 T T p
以
1 T 代入上頁公式：
( )
2 N = 2× T ÷ 2cosq ¢ ×sinq
2
N = T sinq ÷ cosq ¢
【發現1】：
最大拉力主要與螺旋條條數p及水平方向夾角θ有關(在1 T 相同條
件
下)p愈多及q ¢愈大，所得到的拉力愈大
【發現2】：
= 2 cosq ¢ 1 N T 公式中，q '與藍色橫條夾角q有關，
q
愈小q ¢就愈大，N就愈小
18
既然螺旋結構體的穩定性及結構強度與其螺旋水平夾角相關，那神奇的「扭毛巾大樓－Turning Torso大樓 」是怎麼蓋出來的呢如果我們想要蓋更不同的
「扭毛巾大樓」－像是不只有扭0 度，而是扭更大的角度這樣可以做到嗎？
我們試圖依照Turning Torso 大樓 各項數據，加上【研究二】中結論的水
平角度，以及用我們【研究三】推算出的結構強度公式，用電腦軟體MAYA進行
模擬（如下圖），探討在改變影響Turning Torso 大樓 結構的各項因素，例如：
樓板面積，樓層數，扭轉角度…；看看是否能發現比Turning Torso大樓 扭更
大的角度，但結構強度更強且承受力更大的新大樓。
利用
3D電腦模擬程
式
MAYA，創造出兩
個結合的螺旋單位。
複製其中一個單位，使
其向上旋轉九十度。
將另一個單位也向上旋轉
九十度。
在複製出另一個單位
的圓盤，即完成。
複製其中一個單位兩
端的圓盤，使圓盤也向
上纏繞九十度。
三、在螺旋結構長k單位，螺旋間距n單位、螺旋夾角q單位改變
時，探討「2－雙股螺旋結構體」結構強度變化。
(一)固定螺旋間距、旋轉角度，探討改變螺旋結構長k單位，計算
「2－雙股螺旋結構體」結構強度變化。
為方
便討論固定螺旋間距為3、旋轉角度為90度：
19
k×k
18×18 20×20 24×24 30×30 …
圖片
…
θ 85.25 84.69 83.69 82.12 …
sinθ 0.9965 0.9957 0.9939 0.9905 …
承受力
面積
32 2 1 −40 2 −1 48 2 −1 60 2 −1 ..
F 87.3601
2 P 110.6591 2 P 130.58133 2 P 161.59144 2 P …
【發現】：
發現當固定螺旋間距、旋轉角度時，螺旋結構長越大，結構強度越大。
(二)固定螺旋結構長、旋轉角度，探討改變螺旋間距n單位，計算
「2－雙股螺旋結構體」結構強度變化。
為方
便討論固定螺旋結構長為20×20、旋轉角度為90度
螺旋
間距n
2 4 5 …
圖片
…
θ
71.58 80.56 82.41 …
sinθ
0.9487 0.9864 0.9912 …
承面受積力
40 2
−1 40 2 −1 40 2 −1 …
F
126.9063 2 P 131.9453 2 P 132.5873 2 P …
【發現】：
發現當固定螺旋結構長、旋轉角度時，螺旋間距越大，結構強度越大。
20
(三)固定螺旋結構長、螺旋間距，探討改變旋轉角度q單位，計算
「2－雙股螺旋結構體」結構強度變化。
為方
便討論固定螺旋結構長為20×20、螺旋間距為3
旋轉
角度q
180 270 360 …
圖片
…
θ 77.51 71.58 66.05
sinθ
0.9762 0.9487 0.9139
承面受積力
40 2
−1 40 2 −1 40 2 −1
F
130.5813 2 P 126.9046 2 P 122.2427 2 P
【發現】：
發現當固定螺旋結構長、螺旋間距時，旋轉角度達180度，結構強度
達
到最強。
21
陸、討論:
我們很好奇的是「螺旋結構體」與「莫比烏斯帶」既然都是扭轉結構，
他們之間相關的特性是什麼？因此進一步深入探討：
探討螺旋結構體與莫比烏斯帶的關係
（一）從「外觀」探討螺旋結構體與莫比烏斯帶的關係
【發現1】：
將螺旋結構體－雙股螺旋結構之螺旋間距趨近於0，即為未黏
接前
的莫比烏斯帶。
【發現2】：
螺旋結構體的股就如同莫比烏斯帶的兩側。
（二）從「內在」探討螺旋結構體與莫比烏斯帶的關係
由於螺旋結構體的股
就如同莫比烏斯帶的兩側，我們試圖找出螺旋
結構體與莫比烏斯帶的關係並
嘗試以數學公式表示：
為方
便表示，令莫比烏斯帶帶長為h，帶寬為w，螺旋結構體的螺旋
間距為n
和螺旋夾角q。
1.探討將螺旋結構體視為莫比烏斯帶的關係式。
此時由於莫比烏斯帶帶
緣不可伸縮，則
旋轉180k度後，總高變為
4
2 2
2
w p
h
−【說明】：莫比烏斯帶的長為h(黃線長)，寬
為
w。
若
莫比帶帶緣不可伸縮，則旋轉
180k度後，
即形成一個直角三角
形，
斜邊為帶長(h)，而鄰邊即為
半
個以帶寬為直徑做出的圓周長
(
2
w
p )。根據勾股定理，此直角三角三角形的對邊就是
2 2
斜邊-鄰邊，所以對邊為
4
2 2
2
w p
h
−套入上述螺旋結構的條件：
【發現1】：
整條帶子中會有
n
w
h
4
2 2
2
p
−
個螺旋結構單位
【發現2】：
螺旋夾角為總旋轉度數除以螺旋結構單位個數，
即
為
n
w
h
k
q
4
180
2 2
2
p
−=
22
再
進一步整理得到：
由於
紙張不可伸縮，與鋼索的特性相同，
故
將「螺旋結構體視為莫比烏斯帶的關係式」稱之為「鋼索公式」：
2 2
2
180
4
k q
w n
h
p
=
−
2.探討將莫比烏斯帶視為螺旋結構體的關係式。
因為用3D立體模
型模擬螺旋結構體時，其股可伸縮，故此時將莫比
烏斯帶帶
緣視為可伸縮，則旋轉180k度後，帶長仍為h。套入上述螺旋
結構的條
件：
【發現1】：
整條帶子中會有
h
n
個個螺旋結構單位
【發現2】：
螺旋夾角為總旋轉度數除以螺旋結構單位個數，即為
180
k
q
h
n
=
再
進一步整理得到：
由於在
使用3D電腦模擬程式創造螺旋結構體中的螺旋夾角時，股是可
以
伸縮的，跟橡皮筋的特性相同，
故
將「莫比烏斯帶視為螺旋結構體的關係式」稱之為「橡皮筋公式」：
180
k q
h n
=
柒、結論:
一、在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成n等份時，探討莫比烏斯帶扭轉總度數、分割後條數、側面面數、長度及總面積的變化。
（一）
發現在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成n等份時，莫比烏斯帶扭轉「總
度數」的變化為：
當k為偶數時，總度數為360k
當k為奇數時：1若n為奇數，則總度數為180kn
2
若n為偶數，則總度數為180kn+360
（二）
發現在莫比烏斯帶扭轉180k 度，切成n等份時，莫比烏斯帶條數
的變化為：
當k為偶數時，條數為n(切的等份)
當k為奇數時：1若n為奇數，則條數為1
2
n
+
2
若n 為偶數，則條數為n
23
（三）
發現在莫比烏斯帶扭轉180k 度，切成n 等份時，莫比烏斯帶側面
總面數的變化為：
當k 為偶數時，側面面數為2n
當k 為奇數時，側面面數為n
（四）
發現在莫比烏斯帶扭轉180k度，切成n等份時，莫比烏斯帶面積
永遠
不變。
二、發現螺旋結構體在螺旋間距n單位、螺旋夾角q單位、股數p
單位、螺旋結構長k單位改變時，
q也跟著改變。
此時螺旋與水平面的夾角變化關係式為
2
2 2
2 2 2
360
sin
4 129600
n
pq
n
k
p p q
q
p
=
+
。
（一）
發現固定螺旋間距、股數、螺旋夾角，當螺旋結構長k 值變大時，
水平角度
θ會變小。
此時
固定螺旋間距為2，股數為2，螺旋夾角為36度，
當螺旋單位長k變為t
倍時，sinθ變為
100
100
2 2 2
2 2
+
+
p
p
t k
k
倍。
（二）
發現固定螺旋單位長、股數為、螺旋夾角，當螺旋間距n 值變大時，
水平角度
θ會跟著變大。
此時
固定螺旋單位長為5，股數為2，螺旋夾角為36度，
當螺旋間距n變為t
倍時，sinθ變為2 2 2
2 2
t n
n
+
+
p
p
倍。
（三）
發現固定螺旋單位長、螺旋間距、螺旋夾角，當股數p 值變大時，
水平角度
θ會跟著變小。
此時
固定螺旋單位長為5，螺旋間距為2，螺旋夾角為36度，
當p變為t
倍時，sinθ變為
pt
2
倍。
（四）
發現固定螺旋單位長為5，螺旋間距為2，股數為2，此時螺旋夾角為
q度
代入sinθ之公式，當螺旋夾角q變為t倍時，sinθ變為
2 2
2
2
2
129600
25
129600
25
t q
q
+
+
p
p
倍
。
三、在螺旋結構長k單位，螺旋間距n單位、螺旋夾角q單位改變
時，探討「2－雙股螺旋結構體」結構強度變化。
(一)
發現當固定螺旋間距、旋轉角度時，螺旋結構長越大，結構強度越大。
24
(二)
發現當固定螺旋結構長、旋轉角度時，螺旋間距越大，結構強度越大。
(三)
發現當固定螺旋結構長、螺旋間距時，旋轉角度達180度，結構強度達
到最強。
四、探討螺旋結構體與莫比烏斯帶的關係
（一）從「外觀」探討螺旋結構體與莫比烏斯帶的關係：
發現
螺旋結構體的股就如同莫比烏斯帶的兩側，將螺旋結構體－雙
股螺旋結構之螺旋間距
趨近於0，即為未黏接前的莫比烏斯帶。
（二）從「內在」探討螺旋結構體與莫比烏斯帶的關係：
1.
發現「螺旋結構體視為莫比烏斯帶的關係式－鋼索公式」為
2 2
2
180
4
k q
w n
h
p
=
−
2. 發現「莫比烏斯帶視為螺旋結構體的關係式－橡皮筋公式」為
180
k q
h n
=
捌、應用：
在我們的
【研究三】中，「2－雙股螺旋結構體」就像Turning Torso 大樓 的
外
型，雖然我們不懂建築工程的學問，可是運用【研究三】的結論，可知大
樓的結構強度跟
著螺旋結構長、螺旋夾角、螺旋間距改變而改變。
因為螺旋結構長
就像大樓每一層的樓板面積，螺旋夾角就像大樓的旋轉
角度，螺旋間距
就像大樓每層的高度，如此一來我們便可以根據【研究三】
的結
論來設計另外一棟Turning Torso大樓 ：
樓板面積增加對結構強度有益
旋轉角度可以增加到180度
每層的高度增加不影響結構強度
因此，我們用電腦
軟體模擬Turning Torso 大樓 ，再依據【研究三】結果，
在最大
承受力的範圍內模擬設計全新「扭扭大樓」：
下
頁圖中就是我們設計的新大樓外形是不是更加雄偉且新穎呢?當然你
也
可以根據實際的建築狀況，加上【研究三】結果，搭配我們設計的電腦軟
體
程式，建造出屬於你心目中最完美神奇的「扭扭大樓」喔！
25
Turning Torso 大樓
全新「扭扭大樓」
樓板
邊長 1 單位（ex：20） 增為2 倍 2 單位（ex：40）
樓板面積 1 單位（e
x：20×20） 增為4 倍 2 單位（ex：40×40）
樓層高度 1 單位（e
x：3公尺） 增為1.5 倍 1.5 單位（ex：4公尺）
旋轉角度 90 度
180 度
電腦模擬圖
玖、參考資料:
1.
Learning Autodesk Maya。作者：not Avalible。Baker&Tay出版。
2. 莫比烏斯帶定義。
維基百科
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/
3.
台北市立第一女子高級中學校內科展作品說明書
nas.
fg.tp.edu.tw/research/第九輯/35死纏活繞--莫比帶.doc
4. Turning Torso 大樓
h
ttp://www.turningtorso.com/
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