筘33卷 2期
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华l}l师范大 。 撒(fI然科学版)
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相对论配分函数的应用
谢金翠 夏向军 张镇九
(华【}】师范大 物理系．武汉430079
(1、 I
摘 要 应用相计论配分函数，从相对论统计物理导小1．orenlz协变的理想， 体状态 程段准
静态绝热过程中的绝热方程，并证明了绝热系数的Lorentz 变性．
关键词 相对论配分函数
中图分类号()dt 4．2
些望 堡 鉴变 里；兰壁 兰旦；绝热系数
相对论配分函数在相对论统计物理中具有重要作用。而相对论热力学是与相对论统计物
理密切相关的．在本文中将要用到一些相对论热力学公式。为此对相对论热力学作一些相关介
绍．我们约定带脚标⋯ 的量表示在相对系统为静止的参考系JK 中观测到的物理量．不带脚标
“0”的量表示在相对系统运动的参考系JK中观测到的物理量．那么JK 与K 系中的热力学量具
有下述的变换关系：
S — S (1)
N — N (2)
V — y V (3)
—
P (4)
E — A + PV — ·G 一7E (5)
H — A + PV — y。。 (6)
A — H 一，J — y A ． (7)
7 一y 7 (8)
卢= y (9)
H 一E (10)
y一1／ 1一口 ／c ． (11)
(¨ ～(n)式中的一些变换关系在下文中将要用到．相对论热力学还得出下列重要结果：
dE — Y dS + d，J+ ·dG + Ⅳ ． (12)
dH — TdS + d，J+ Ⅳ ， (13)
dA = TdS — d，J+ ,udN ． (1 4)
d0 = 7。dS． dA = 一PdV
dF = 一Sd7’一VdP 。
d = 一SdT’+ VdP ．
收稿日期：t998 09 25．第作者：女．25岁．硕士研究生
国家自然科学基金资助项目．
华中帅范大学学搬(自然科学版 第30卷
G 一 E
．
(18)
C
(1 4)式就是相对论热力学第定律．
这里要着重指出，在相对论热力学中，系统的总能量应包含内能、相互作用势能、压强能和
系统整体运动的动能．当系统从一个惯性系变换到另⋯个惯性系时，总能量E 要经历 个
Lorentz变换．这是相对论热力学不同于非相对论热力学的重要之处．在E的表达式中．以为
系统的内能， y 项为压强能．根据狭义相对论．当系统从惯性系变换到另一惯性系时．体积
要变化．压强要作功．这部分能量亦为总能的部分，v·G为系统整体运动的动能．热力学焓
H 描述系统内部的无序运动．不应包含系统整体运动的动能．
关于温度的变换关系至今仍然存在许多争议．在本文中持爱因斯坦和普朗克建立的温度
变换关系7’一y⋯。．其正确性可根据辐射功率不变性证明 ．也可以利用两个惯性系之间的
卡诺循环推证 】．
1 系综的相对论配分函数
本文只对等温、等压系综的相对论配分函数作具体考察．等温、等压系综的非相对论配分
函数的表示式为 J：
Z 、一Σ exp( H∞)， (1 9)
1
式中 一 1 ，Hn是系统的焓．由(10)式知，H = E
现在我们从参考系 的角度来考察系统．系统 速度v作整体运动，v应该等于组成系统
粒子的平均漂移速度 ．系统中各种单粒子态的粒子的统计分布将不再是各向同性的，它将受
到系统的附加约束一即一个固定总动量—— 的支配．大量这样的系统所组成的系综的配分
函数为
Z= exp(一卢H )． (20)
这就是等温、等压系综的相对论配分函数，其形式与(19)式一样，只是(20)式中H 不再是系统
的总能量．从(1)～(11)中知道H 一E v·G是相对论热力学焓，它是总能量E中除去整体
运动的那部分能量 ·G．只描述系统的无序运动部分；而系统总能量中的有序部分v·G直接
与系统的质心运动相联系．当v一0时，(20)式就回到了非相对论形式(1 9)式．
下面来检验(20)式的Lorentz不变性，不同惯性系问的热力学量的变换关系见(1)～(11)
部分．由
H — E ·G — y—E ， (21)
于是
Z一ΣexvE— (E v·G)]一Σexp(一 y E )一Σexp(一 ．H )一Z．．(22)
，
可见 系中的配分函数等于 系中的配分函数，即(207式满足Lorentz不变性．
2 Lorentz协变的理想气体状态方程
下面我们从相对论统计物理来推导理想气体状态方程．考虑粒子数为Ⅳ ，体积为V 的理
想气体以速度v相对于 系作整体运动．单粒子能量为：
第2期 谢盅翠等：柏对论配讣函数的应用 203
1+ ，
" ￡一l
粒子的配分函数则可表示为：
z
．
一
卜x pl一肌一 ·a)3p
那么，由(22)式．系综的配分函数为
Z=Z 卜pl_肌 ·G)] dp}
nz= { exp~一 一 ·a)Sp
将(5)式及(18)式代人上式，经整理后得到
我们令
于是
自由能
于是
Z：N1 』l 4一 h7r VJ f
由热力学公式知系统的压强
于是
exp(一7_” e)P dp}
』= l exp(一7_” e)P d
1nz一Ⅳlnf 』
F 一一R7 lnZ
NR7h 小
尸= Ⅳ R
F
V ’
0ln 4zrVI
l h
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
由于(21)式，』是Lorentz不变量．由I的表达式知其值与体积 无关．故可得：
P = N R
『-
T
．
(33)
这就是Lorentz协变的理想气体状态方程．这也足见相对论配分函数在相对论统计物理中的
重要地位．
3 准静态绝热过程中的绝热系数
非相对论情形下，在准静态绝热过程中，当温度变化不大时，对理想气体存在以下关系
¨
(34)
2(H 华_}l师范大学学报(门然科学板) 第 卷
其中， 为压强． ．．为体积．(’．．为常数．r．为绝热系数．(’，为等压热容量．c’ 为等容热容量
为摩尔数．R 为气体常数．下面证明：对以速度 作整体运动的理想气体仍具有(34)式的关
系．根据 ．和(’r ．的定义有：
一
+
．
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