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Saturday, January 12, 2013
类氢原子的电子能 E， 是用主量子数n 来标记， 而它的几何对称性属于So(3) 群.
类氢原子的电子能 E， 是用主量子数n 来标记， 而它的几何对称性属于
第35卷第5期 物 理 学
vOL35，No.5
1986 年 5 月 AcTA
PHYSIcA SINIcA May， 1986
分子振动中的交换对称性
顾 国梁l) 陶瑞
宝
〈复旦大学物理系)
1985 年3 月 11
日收到
提
要
本文研究了某些分子振动中存在的一些偶然简并的原因,
指出在一个扩大了的交换点群
彬下，这种偶然简并变成自然简并，并提出了处理这种非么正对称群的方法.
一、
引
在讨论一个物理问题时，往往需要对体系作对称性分析，这不仅使问题的计算得到简
化，而且可以对问题的本质有更深人的了解，所以群论的方法已广泛地应用到所有的物理
领域.
我们知道,一个体系具有什么样程度的对称性并不是很快就能认识的.
体系的空间
位置对称性以及时间对称性是比较直观因而也是研究得最为详细的，但除了时、空对称性
以外，还可能存在动力学对称性和其它的内部对称性，
这种对称性的认识往往比较困难，
但对它们的研究却是十分重要的.
如果可以说一个体系的时、空对称性质(简称为几何学
对称性)已经研究得比较清楚了，那么对于动力学对称性及其它对称性的研究仍是一个开
放的领域.
按照群论的观点，体系的一个本征能量(如电子能或分子、
固体的正则振动能)，
在通常情况下是与对称群的不可约表示对应，这个表示的维数就是该能量状态的简并度，
我们称这种简并为自然简并.但有时我们也会发现，一个能量对应于两个或两个以上的不
可约表示，也就是说，
这个能对应的那些简并的本征态负载的对称群的表示是可约的，
这时我们说体系的这一能具有“偶然”简并度，即由于“偶然”的原因,使不同不可约表示
或几个相同不可约表示所对应的能量状态简并起来.
但实际上在这“偶然′′的背后往往存
在一个更详尽的描述体系对称性的较大的群.
在这个大群下， 可使这个“儡禺然灞简并成为
自然简并.
例如: 类氢原子的电子能 E，
是用主量子数n 来标记， 而它的几何对称性属于
So(3) 群. 在 S()(3)
的对称群下,一个能 E，l与{z= 0, 1， …〈泓一1)}这亦个不可
约表示相对应，这里1是角动量量子数，也是306)的不可约表示的指标.
因此在 So(5)
群下， En 能发生偶然简并.
这种偶然简并的原因已搞清楚…， 就是来源于库仓势能
1) 现在地址:
中国科学院理论物理研究所.
5 期 顾国梁等:
分子振动中的交换对称性 591
严
对称性与磁:2时没有任何区别，都是80(3)~
正因为伍:2这一动力学的原因，使得体
系的对称性群从阅(3)
扩充到SO(4). 在S0〈4) 群下, 矶的“偶然灞简并就变成了自然
简并: 一个能量 EM
对应于So (4) 的一个不可约表示 (犯). 这种对称性称为动力学对
称性，所属的群称为动力学群.
除了动力学对称性外,体系其它内部对称性的研究，在凝聚态物理中也是一个相当有
意义的领域，如晶体调制相的研究等.
对于那些无公度的调制晶体，现在已经搞清楚田，可
以用一个四维、五维或高维的空间群来描述.
如果从原来的三维空间来看无公度的调制
晶体，那么整个晶体是一个大原胞，没有空间群的任何对称性，
可是如果把调制波矢这些
内部自由度看作一些抽象的维数，在四维空间或更高维空间上，这些晶体具有很好的空间
群对称性.
本文将研究在分子和固体物理中存在的一种对称性
交换对称性. 这种对称性迄
今还没有研究过，
但可以肯定这种对称性至少对分子振动和晶格振动中某些“偶然邀简并
有影响， 由于这种对称性的引人，
使原来的空间群和点群扩大成为交换空间群和交换点
群.
这种对称性实际上是一种动力学对称性和位置对称性的综合. 由于交换操作不是么
正的，所以扩大后的交换点群和交换空间群不是么正的，由此而带来的一些特点及处理方
法将在文中介绍，
二、问题的提出
我们以一个 A2Bz
型平面分子的振动问题为例，来研究它可能出现的“偶然”简并,以
及引人交换对称的必要性.
这里所得的思想和结论是有普遍性的. 图 1 中给出 A2B2 平
面型分子的构型,其中1,3为B类原子，Z，4为八类原子，它们刚好构成一个正方形，
设 ((彦奚，e多，e垦)(五
= 1, Z， 三,4) 为第 云z个原子的定域坐标系基矢 〈e垦 为垂直纸面
争
592 物 理 学 报 35
卷
的矢，没有画出)， 由于A， B
属于两种不同类型的原子，它们的质等都不相同，所以
这个分子属于点群 DM.
利用表及分子振动中属于第7个不可约表示的简正模式个数的
公式
1
0n 0 0 0n 0 0
/zzn 0 0
y墟 一 W .一 0 0zz
0 ， yB 一 0 czz ， y纠 = (0 022 0 .
0 0 033 0 0 0as
0 0 053
另外由平移不变性和转动不变性，导致如下约束:
各个振动模式所属空间的对称化基，
可以用投影算子的方法求得 (设A原子质量为
mA，B原子质量为
确，0=肌/删)
5 期 顾国梁等:
分子振动中的交换对称性 593
另外有两个模式属于
Ag表示，所以 Ag 振动模式将是 删储)，，和刷外讯的线性组合，它们
的混合系数由动力学矩阵来决定.
相应的频率由解二次方程得到
对于正方形结构的平衡位置，显然有
R莘〈o) =
R量薰(o)，
其中
嚼侧为第1个原子平衡位置的破坐标， 玛仙为第2个原子平衡位置的少坐标. 结
果有 巴u =才
m，
m2(B2w) =
m2(B三薰薰). (8)
即我们发现，当势能为两两作用的距离势时,这种正方形结构的
AzBz分子，从原来的 D汕
对称性群来看,出现了(8)式的“偶然′′简并，
造成这种偶然简并的原因显然应是动力学和
几何学的对称性的综合.
现在的问题是在这种原困的背后究竟存在着怎样一种更高的对
称性群?
三、
交换点群的引入
如果引进一种交换操作 K，
它作用在粒子种类空间上，把 A， B 两类原子的种类对
换，即将入类原予变为B类,而将B类原子变为A类，但不改变原子的位置.
因此若存在
一个依赖于暑蕙，B两类原子的量垄(A，B)，那么
K蔓(A、， B) 一 蜜(B，
A).
在这里，A,
B原子种类的交换就意味着与原子种类有关的一切量都交换，当然也包括原
5 期 顾国梁等:
分子振动中的交换对称性 597
扣除平移模式和转动模式后，
得到振动的对称模式 {G…}. 然后再考察 {G(r，』H}， 若
L GW上H
~H<i1)，H(灞l)不可乡勺，当H唧 不包含在其它振动模式的分导表示中时，
则这个模式不与任何模式相混，
我们可以象原来只考虑H点群对称性时那样计算这一模
式的频率.
乙
G<州工H~H呐洽G<7z)上薰7r~H<'ˉl)，-一-，G叩工H叩. 这家支振动模式仍然相混,
即使从(;群角度来看，它们属不等价的不可约表示.
对于这种情况，我们仍然按 HJ氢群
对称性时的方法去做，可以用小群H
表示的基作为大群表示的基.
上述结论可以推广到晶格振动的情况，
关于推广到多种原子和固体的更一般的情况
的研究正在进行中.
最后我们指出,如果我们事先确切地限制交换操作的定义，臂如限制交换操作只作用
在自旋空间或质量空间或某些其它物理量空间，或者如我们现在定义的原子种类空间,就
可以讨论许多的内部对称性.
因此交换操作是可以包含时间反演操作在内的 (磁矩反向
操作)更广泛的操作.
由此也可以期望能够做出更多的物理结果来，所有这些工作都正在
进行申.
参 考 文
献
[1] J. P，
Elliott and P. G. Dawbet, Symmetry in Physics， VOL 2， Further Applications，
骞19，4， Sch〔潞
()l of
MathemadCa1 and PhysiCal SCienceS UniveISity of SuSSex， B1'ighton.
[2] A， Ianner
and T. Ianssen， P薰吲J薰乙重 尺巴认， B1贵( 1977)， 643; P腕yx薰r:矗z, A9，(1977)，
47.
[多〕 M. Lax，
Symmetry PrindpleS in SOHd State and MoleCular PhysicS， NeW York， Wney,
(1974).
[4] C. 工 Bradley
and A. P. Ctackneu， The f、/Iat heInatiCal T灞薹1eory of SymInetty in SoIids，
Clatendon
P垂eSS， oxford，
(1972)~
THE EXCHANGE
SYMMETRY IN THE
MOLECULAR
VIBRATIONS
The Oanse of
sonle acdidental degeneraCy in the 1n01ee11玉ar v玉bratiD丑s is discusSed.
Tve
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gested.
So(3) 群.
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