等效原理是广义相对论的另一个基本假设，它要比广义协变原理
深刻的多，它决定了广义相对论必须使用黎曼几何，而且将引力几何
化。
等效原理分几个级别，广义相对论中用的是最强的甚强等效原理
，它的内容是：
任何引力场中自由下落的局域参考系与惯性系等效。
这里说的局域参考系是指参考点附近的一个无限小区域。与惯性系等
效意味着，这个参考系内的任何物理过程都和惯性系一样。
这就说明，含有引力的时空中，任何一小块自由运动的局域参考
系都可以看成是平直空间。我们把这句话中的几个字眼换一下，引力
换成弯曲，时空换成流形，局域参考系换成无限小区域，平直换成平
面，那么等效原理说的事实就变成弯曲流形上面的无限小区域可以近
似看成平面的一部分。这正是黎曼几何的思想，把曲面问题化成无数
个无限小区域内的平面问题。所以广义相对论只要使用黎曼几何就能
符合等效原理，而且，引力相互作用成了时空流形的弯曲，这就叫做
引力几何化，关于引力几何化会另又一篇文章讨论。
说了这么多还没说黎曼几何是什么。事实上并不想大多数科普材
料上写的那样，黎曼几何是与欧氏几何和罗巴切夫斯基几何相并列的
那种椭圆几何，那个只是初级的成果，黎曼几何要更广泛些，它描述
一切曲面上的内蕴几何，也就是说只研究它表面上的度量关系，而不
研究曲面在它所在空间中的几何性质。它实际上是三维微分几何中曲
面的第一基本形式的多维推广，属于微分几何的内容。
从比较高的角度看，没有黎曼几何的微分几何只是从拓扑和仿射
空间的角度刻画流形。有了黎曼几何，相当于在流形上引入了度量，
使其成为距离空间。具体方法是在每个点附近定义线元的平方：
ds^2=g{;i,j}*dX{i;}*dX{j;}
gij叫做度规张量，是一个二阶的协变张量，dX是坐标的微分。这实际
是勾股定理的推广，平直空间里gij就是单位对角阵了。对于弯曲空间
中的无限小邻域，其中的度规张量可以看成常数，于是可以选一个特
殊的坐标系，把线元平方对角化，根据二次型理论，这总可以办到，
这就实现了用平面逼近曲面。但对于整个弯曲流形，因为对角化的方
式逐点不同，所以不能全局的平直化。
下面顺便说说狭义相对论。学狭义相对论是也有张量的概念，但那
时为什么不分逆变和协变呢？现在可以回答了。狭义相对论存在于没有
引力的平直时空，这种平直空间的线元平方为ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2，
这是由光速不变原理决定的。因为狭义相对性原理的限制，这里能采用
的坐标变换只有惯性系之间的变换，即洛伦兹变换。用t,x,y,z表示的洛
伦兹变换下，你若去写张量变换式，会发现有逆变和协变之分，如果引
入了x4，那么洛伦兹变换成了正交矩阵，逆变和谐变的关系变成一样的
了，这正是明可夫斯基空间的优越之处，他把非欧空间变成欧氏空间，
因为欧氏空间的张量没有逆变协变之分，所以物理定律又会化简很多。
这两种方式都是正确的，只是后一种更简单些。可是到了广义相对论中
空间根本就不能化成平直的，所以逆变和谐变不可能一样，所以x4就没
有了引入的意义，所以广义相对论中写x0不写x4.
深刻的多，它决定了广义相对论必须使用黎曼几何，而且将引力几何
化。
等效原理分几个级别，广义相对论中用的是最强的甚强等效原理
，它的内容是：
任何引力场中自由下落的局域参考系与惯性系等效。
这里说的局域参考系是指参考点附近的一个无限小区域。与惯性系等
效意味着，这个参考系内的任何物理过程都和惯性系一样。
这就说明，含有引力的时空中，任何一小块自由运动的局域参考
系都可以看成是平直空间。我们把这句话中的几个字眼换一下，引力
换成弯曲，时空换成流形，局域参考系换成无限小区域，平直换成平
面，那么等效原理说的事实就变成弯曲流形上面的无限小区域可以近
似看成平面的一部分。这正是黎曼几何的思想，把曲面问题化成无数
个无限小区域内的平面问题。所以广义相对论只要使用黎曼几何就能
符合等效原理，而且，引力相互作用成了时空流形的弯曲，这就叫做
引力几何化，关于引力几何化会另又一篇文章讨论。
说了这么多还没说黎曼几何是什么。事实上并不想大多数科普材
料上写的那样，黎曼几何是与欧氏几何和罗巴切夫斯基几何相并列的
那种椭圆几何，那个只是初级的成果，黎曼几何要更广泛些，它描述
一切曲面上的内蕴几何，也就是说只研究它表面上的度量关系，而不
研究曲面在它所在空间中的几何性质。它实际上是三维微分几何中曲
面的第一基本形式的多维推广，属于微分几何的内容。
从比较高的角度看，没有黎曼几何的微分几何只是从拓扑和仿射
空间的角度刻画流形。有了黎曼几何，相当于在流形上引入了度量，
使其成为距离空间。具体方法是在每个点附近定义线元的平方：
ds^2=g{;i,j}*dX{i;}*dX{j;}
gij叫做度规张量，是一个二阶的协变张量，dX是坐标的微分。这实际
是勾股定理的推广，平直空间里gij就是单位对角阵了。对于弯曲空间
中的无限小邻域，其中的度规张量可以看成常数，于是可以选一个特
殊的坐标系，把线元平方对角化，根据二次型理论，这总可以办到，
这就实现了用平面逼近曲面。但对于整个弯曲流形，因为对角化的方
式逐点不同，所以不能全局的平直化。
下面顺便说说狭义相对论。学狭义相对论是也有张量的概念，但那
时为什么不分逆变和协变呢？现在可以回答了。狭义相对论存在于没有
引力的平直时空，这种平直空间的线元平方为ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2，
这是由光速不变原理决定的。因为狭义相对性原理的限制，这里能采用
的坐标变换只有惯性系之间的变换，即洛伦兹变换。用t,x,y,z表示的洛
伦兹变换下，你若去写张量变换式，会发现有逆变和协变之分，如果引
入了x4，那么洛伦兹变换成了正交矩阵，逆变和谐变的关系变成一样的
了，这正是明可夫斯基空间的优越之处，他把非欧空间变成欧氏空间，
因为欧氏空间的张量没有逆变协变之分，所以物理定律又会化简很多。
这两种方式都是正确的，只是后一种更简单些。可是到了广义相对论中
空间根本就不能化成平直的，所以逆变和谐变不可能一样，所以x4就没
有了引入的意义，所以广义相对论中写x0不写x4.
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- fishwoodok
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Planck11
另外，光速不变导致了ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2，等效原理导致
了ds^2=g{;i,j}*dX{i;}*dX{j;}，这都是在仿射流形上引入度量的过程
，所以，光速不变和等效原理可以看成是一类的原理，甚至可以说等效
原理是光速不变的推广，这是我们能够更深刻的认识时空。
关于等效原理还可以讲一些，不过精华区里有一片讲广义相对论的
实验检验已经说的很好了，这里就不重复了。
关于黎曼几何有很多内容，三言两语说不清楚，总之记住一句话：
甚强等效原理要求广义相对论必须使用黎曼几何。
了ds^2=g{;i,j}*dX{i;}*dX{j;}，这都是在仿射流形上引入度量的过程
，所以，光速不变和等效原理可以看成是一类的原理，甚至可以说等效
原理是光速不变的推广，这是我们能够更深刻的认识时空。
关于等效原理还可以讲一些，不过精华区里有一片讲广义相对论的
实验检验已经说的很好了，这里就不重复了。
关于黎曼几何有很多内容，三言两语说不清楚，总之记住一句话：
甚强等效原理要求广义相对论必须使用黎曼几何。
引力几何 化。 / 等效原理要求广义相对论必须使用黎曼几何。
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把我推到无法反相的位置，因为我不懂黎曼几何。
想起李子丰教授，之所以不反广相，可能也是不懂黎曼几何。
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把我推到无法反相的位置，因为我不懂黎曼几何。
想起李子丰教授，之所以不反广相，可能也是不懂黎曼几何。
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- invariant
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CMB1
相对论被认为很可能是唯一遵循强等效原理(Strong equivalence principle，SEP)的理论，但事实上，只要承认所谓的爱因斯坦等效原理(EEP，比SEP略弱)就要求：
1）时空流行上必须存在度规
2）检验粒子（不考虑自身质量激发的引力场）必须沿测地线运动
3）在局部自由下落洛仑兹参照系中，非引力的物理定律必须符合其狭义相对论的形式。
从这个角度来说，即便是不遵循SEP的理论，只要其承认EEP，就需要引入黎曼几何。
1）时空流行上必须存在度规
2）检验粒子（不考虑自身质量激发的引力场）必须沿测地线运动
3）在局部自由下落洛仑兹参照系中，非引力的物理定律必须符合其狭义相对论的形式。
从这个角度来说，即便是不遵循SEP的理论，只要其承认EEP，就需要引入黎曼几何。
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