phymath01 网络中，两点间的距离被定义为连接两点的最短路径所包含的边的数目，把所有节点对的距离求平均，就得到了网络的平均距离

网络中，两点间的距离被定义为连接两点的最短路径所包含的边的数目，把所有节点对

的距离求平均，就得到了网络的平均距离。另外一个叫做簇系数的参数，专门用来衡量节点集

聚成团的情况

第25卷第3期

2005年9月

物理学进展

PRoGRESS IN PH YSICS

Vo1．25，No．3

Sept．，2005

文章编号：1000—0542(2005)03—0273—23

复杂网络上动力系统同步的研究进展

赵 明，汪秉宏，蒋品群，周 涛

(中国科学技术大学近代物理系，合肥230026)

摘 要： 本文简要介绍复杂网络的基本概念并详细总结了近年来复杂网络上动力学系统的同

步的研究进展，主要内容有复杂网络同步的稳定性分析，复杂网络上动力学系统同步的特点，网络

的几何特征量对同步稳定性的影响，以及提高网络同步能力的方法等。最后文章提出了这一领域

的几个有待解决的问题及可能的发展方向。

关键词：复杂网络；同步；小世界网络；无标度网络

中图分类号：O 261 文献标识码：A

0 引言

自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述口 ]。一个典型的网

络是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的，其中节点用来代表真实系统中不同的

个体，而边则用来表示个体间的关系，往往是两个节点之间具有某种特定的关系则连一条边，

反之则不连边，有边相连的两个节点被看作是相邻的。例如，神经系统可以看作大量神经细胞

通过神经纤维相互连接形成的网络|7 ；计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介

质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络[8]；类似的还有电力网络l7]、社会关系网

络L7 “ 、交通网络ll 等等。

对网络最早进行研究的是数学家，其基本理论是图论。经典的图论总是倾向于用某种规

则的拓扑结构模拟真实网络u 。。j，到了二十世纪五十年代末期，Erd6s和R~nyi建立了随机网

络的基本模型|1 ，后来的近半个世纪，随机图一直是科学家研究真实网络最有力的武

器ll 】。直到最近几年，由于计算机数据处理和计算能力的飞速发展，科学家们发现大量的真

实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络。这样

的一些网络被科学家们叫做复杂网络，其诸多统计特征中最重要的是小世界(small world)效

应l7 。 和无标度(scale free)特性l1 。

收稿日期：2005—07—05—21

基金项目：国家基础研究发展计划(973项目)、国家自然科学基金(编号：70271070，10472116)及高等教育博

士点专项基金(编号：SRFDP 20020358009)的资助

274 物 理 学 进 展

在网络中，两点间的距离被定义为连接两点的最短路径所包含的边的数目，把所有节点对

的距离求平均，就得到了网络的平均距离。另外一个叫做簇系数的参数，专门用来衡量节点集

聚成团的情况。对于某个节点，它的簇系数被定义为它所有相邻节点之间连边的数目占可能

的最大连边数目的比例。类似的，网络的簇系数C则是所有节点簇系数的平均值。研究表

明，规则网络具有大的簇系数和大的平均距离，随机网络则具有小的簇系数和小的平均距离。

1998年，Watts和Strogatz通过以某个很小的概率改变规则网络中边的连接方式构造出了一

种介于规则网络和随机网络之间的网络(ws型小世界网络)，它同时具有大的簇系数和小的

平均距离，因此既不能当作规则网络处理，也不能被看作是随机网络_7]。后来物理学家把大的

簇系数和小的平均距离两个统计特征合在一起称为小世界效应，具有这种效应的网络就是小

世界网络(small world network)。

大量的实证研究表明，真实网络几乎都具有小世界效应_】 ，有的甚至具有所谓的超小

世界效应_2 ，同时科学家还发现大量真实网络的节点度服从幂率分布口 。 引。节点度

是指一个节点拥有相邻节点的数目，节点度服从幂律分布就是说具有某个特定度的节点数目

与这个特定的度之间的关系可以用一个幂函数近似地表示。幂函数曲线是一条下降相对缓慢

的曲线，这使得度很大的节点可以在真实网络中存在。对于随机网络和规则网络，度分布区间

非常狭窄，几乎找不到偏离节点度均值较大的点，故其节点度均值可以被看作其节点度的一个

特征标度。由于幂函数具有标度不变性，因此我们把节点度服从幂律分布的网络叫做无标度

网络(scale free network)，并称这种节点度的幂律分布为网络的无标度特性。

对于物理学家而言，研究复杂网络的终极目标之一是理解网络拓扑结构对物理过程的影

响 ]。网络上的同步现象是一项重要的研究课题。人们已观测到的同步现象包括夏日夜晚青

蛙的齐鸣、萤火虫的同步发光，心肌细胞和大脑神经网络的同步口 ，剧场中观众鼓掌频率的

逐渐同步_2 ，等等。在以前的研究中，人们忽略了网络的拓扑性质，在研究同步问题时，自然

地选择了最容易模拟和分析的规则网络或随机网络，而没有仔细思考和研究这种选择是不是

应该的，不同的选择会不会对物理过程产生不可忽略的影响。当然，如果理论研究和实验结果

都说明复杂网络的同步情况与规则或随机网络别无二致，那么我们至少暂时还可以心安理得

地使用以前的结论。但是，不幸的是，复杂网络上的同步能力与规则或随机网络相比确实存在

明显的不同。类似的情况还出现在其他的物理过程中，在接下来的几节中我们将详细地介绍

网络拓扑性质对网络同步能力的影响。

网络同步的基本概念

如果在网络的每个节点上加上一个动力学系统，这个动力学系统既可以是极限环也可以

是混沌的；而让有边相连的两个节点的动力学系统之间存在相互的耦合作用，就形成了一个动

力学网络。严格地说，设网络有N个节点，第i个节点在 时刻的 维状态变量是X ( )，单

个节点在不考虑耦合作用的时候所满足的状态方程是X‘( +1)一F(x ( ))。H：Rm—Rm是

每个节点状态变量的函数，用于对其它节点进行耦合。这样，在存在耦合作用的情况下，第i

个节点所满足的状态方程是

X ( +1)一F(x‘( ))+ Σ G H(xj( )) (1)

3期 赵 明等：复杂网络上动力系统同步的研究进展 275

对于连续系统

r—F(x )+ Σ，G H (xj) (2)

其中 是耦合强度，G 表示耦合矩阵G的矩阵元，定义如下：

r一是t —J

G ，一 1 ∈A (3)

1 0 。￡herwi5P

其中k 是节点i的度，A 是与节点i相邻的节点的集合。耦合矩阵G包含了网络结构的全部

信息。例如，最近邻耦合网络、星型网络以及完全网络的耦合矩阵分别为：

G1一

G 一

一

2 1 O ⋯1 — 2 1 ⋯0 1 ——2 ···

1 O ⋯1

一

N + 1 1

1 一N + 1

1 1

1 1

1 、

0 l

0 J

一

2 l

1

1

一

N + 1

在耦合的作用下，经过一段时间的演化，使得X 一 一·X 一 ，网络就进入了同步状态。

当然并不是所有的网络在任意耦合强度或耦合方式下都能实现同步。在下面的几节中，

我们将仔细讨论网络同步的稳定性问题，网络实现同步的条件和网络拓扑结构对同步的影响

等等。

2 复杂网络同步的稳定性分析

Pecora和Carroll研究了线性耦合网络同步的稳定性问题，给出了主稳定函数判据 。

他们首先假设：(1)所有的耦合振子都是完全相同的，(2)从每个振子提取的用于耦合其它振子

的函数也是完全相同的，(3)同步流形是不变流形，(4)节点的耦合方式使在同步流形附近系统

可以线性化。假设(1)和(3)是为了保证相空间中同步超平面的存在，假设(2)是为了使动力学

系统和网络结构的稳定性图象更加清晰具体，假设(4)是为了更好地应用线性近似这一研究耦

合系统最常用的方法。

在此基础上，Pecora和Carroll逐步完成了当网络上的耦合振子系统的同步混沌态存在

短波分岔时的同步稳定性分析，提出用主稳定性函数方法确定动力学网络同步的稳定性

[zs-a0]

。

下面我们介绍主稳定性函数的定义及其使用方法。

首粎