My quantum world and life
几个近期在考虑的问题
最近在看拓扑量子计算的讲义，学了点任意子的知识。于是就产生了一个疑问：存在自旋为无理数的任意子么？多谢繁星客栈上的网友解释，我弄明白了，在实际的 物理系统中是不会存在自旋为无理数的任意子的。因为任意子的自旋与其系统的基态能量简并度关联在一起。对于一个自旋为分数p/q的任意子来说，其基态简并 为q^h，h为其所处二维圆环面的孔洞数。如果自旋为无理数，那么q就是无穷大，任意子系统将会有无穷大的能量简并，实际的物理系统是会阻止这点发生的。
另外一个最近在考虑的问题就是由N个二能级粒子系统组成的体系集体耗散和各自独立耗散会有什么区别。 所谓集体耗散，也就是说这N个粒子“看到”同一个环境，它们与环境的耦合是集体的；所谓独立耗散也就是说每个粒子都有自己的环境，它们与环境的耦合不相互影响。满足前者，就要求N个粒子放置的尺度要远远小于环境的量子记忆尺度，后者要求原子的间距要大于这个尺度。具体到量子光学系统，也就是说当N个原子组成的原子团的尺度远远小于库环境中的光子波长时，我们可以认为N个原子看到了同一个环境；当原子间距大于这个尺度时，我们可以近似认为原子各自有各自的环境。
我的问题是，很显然，原子团与环境是集体耦合时，耗散过程中原子系统状态不会由对称称变为反对称，因为哈密顿量是对称的。可是如果原子团中的原子跟环境是各自独立耦合时，初始时环境是真空，原子系统状态是对称的，在耗散过程中会不会出现反对称的成分？直观上似乎不会，但需要严格的证明。证明了这个，我就可以得到一个结论：由N个原子组成的系统如果初始时处于激发数为1的Dicke态（也就是有一个原子处于激发态，其他N－1个原子处于基态），原子是各自独立与环境耦合的，耦合强度相同，那么这个系统的耗散过程就等价于一个二能级原子的衰减过程。
我确信对于真空环境来说，这个结论是正确的。虽然各自独立的耗散并不能维持系统的宇称不变，可是对于真空环境来说，原子系统的衰变过程中不会出现由对称称态向反对称态的衰减，环境又不可能激发出反对称态的成分。如果环境不是真空，比如说是热场，平均光子数为n，那么系统的耗散过程中就可能出现反对称态与对称态之间的耦合，我们将无法把这个系统等效为一个二能级原子的衰减。
更进一步，如果使原子束缚在一个圆盘形的势阱中，外加一个光学腔，腔模中心通过圆盘面的中心且与圆盘垂直。如果圆盘的半径远远小于腔的腰半径，那么可以认为原子团与腔模的耦合是集体的。另外一方面，我们小心的控制原子密度，使得原子与除了腔模以外的其它模式的耦合都是各自独立的，那么我们就可以说原子的耗散是各自独立的。对于二能级原子团与腔模的集体耦合，我们会发现其有效耦合强度增大了\sqrt{N}倍。换句话说，相对于原子团的自发辐射以及腔模的泄露来说，原子与腔的耦合增强了\sqrt{N]倍，耗散对系统的影响减小了很多。很显然，这里面有许多个互相矛盾的要求，要非常小心的分析才能估计出符合这所有条件的参数。目前我的结论是，原子团中的原子数目在150个以下才可能使这些条件完全满足。
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