sysu 通量的普遍定义：矢量场中通过某一面元的通量，等于该处的矢量与面元的点乘积，结果与 r 无关。即通过以 q 所在处为球心，任意 r 为半径作球面的 E 通量都是相等

通量的普遍定义：矢量场中通过某一面元的通量，等于该处的矢量与面元的点乘积，用 dΦ 表示

结果与 r 无关。即通过以 q 所在处为球心，任意 r 为半径作球面的 E 通量都是相等

　

电 磁 学 (Electromagnetism)

第八章 真空中的静电场 (Electrostatic Field in Vacuum）

本章将引入描述矢量场的两个概念---通量和环流量； 描述矢量场的两个定理：高斯定理和环路定理；
本章内容、特别是求解方法对学习后面内容非常重要。
本章的主要内容如下： 一. 库仑定律

二. 电场强度的定义以及用叠加法求带电体的电场强度
三. 高斯定理以及用它求某些对称性带电体的电场强度
四. 电势的定义和求电场中某点的电势(积分法)
五. 电场强度与电势的梯度关系

§8-1 电荷 库仑定律 （electric charge , Coulombs law ）
    1. 真空中的库仑定律

库仑定律：在真空中，两个静止点电荷之间的相互作用力的大小与这两个点电荷的电荷量的乘积成正比，而与两个点电荷之间的距离的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号相吸。其数学表达式为

		该式表示 q1 对 q2 的作用力，12 方向从施力者指向受力者。
其中：		ε0 —真空介电常数（vacuum permittivity）

注意：（1）上式只适用于点电荷情况；

 （2）库仑定律满足叠加原理；
 （3）也适用于微观世界。

例如，原子核由 p-n 组成，质子之间的距离
质子间的排斥力：

2. 库仑定律的叠加原理

  库仑定律的叠加原理：如果空间存在有多个点电荷，则作用在其中任一个点电荷的力就等于其余每个点电荷单独存在时对它的作用力的矢量和。

例如：有点电荷 q1…qi ，qj…qn 等，qj 受力：
即：

若是比较大的带电体，不能看成点电荷，则必须用积分方法求。

对 的作用力为：
受力为：

  其中  （体分布）， （面分布）， （线分布） 。

§8-2 电场 电场强度 （electric field and electric field intensity）
   1. 电场

从库仑定律知道，在电荷附近的空间具有一种特殊的物理性质，处于此空间的其它带电体会受到力的作用，人们就把这种 “电荷在其中会受到力的空间” 称为电场。

（a）电荷之间的相互作用是通过电场来传递;

电荷

电场

电荷

（b）电场对任何带电体（不论运动或静止）都施以电场力；
（c）电场是种物质，具有能量、质量和动量。

2 .电场强度

电场强度：电场中某点的电场强度为单位正电荷在该点所受的电场力。
如果试探电荷在某点受力为 ，则该点的电场强度为：
由库仑定律，点电荷在真空中所激发的电场

      r的方向由源点指向场点。 

      点电荷在真空中所激发的电场具有球对称性。

3．电场强度的计算

电场强度的叠加原理：如果真空中存在有多个点电荷，空间某点的电场强度，等于所有这些点电荷单独存在时，在该点所激发的电场强度的矢量和。

   
对于电荷连续分布的有限大小带电体，

   

例：求电偶极子(electric dipole)中垂直面上一点和连线的延长线上一点的 E。 解： （1）中垂直面上的一点的 E，

且
代入得：
定义电偶极矩（简称电矩）： 其方向由负电荷指向正电荷。 则电偶极子连线上一点的场强为：

        
      中垂直面上一点E的大小与到场点距离的立方成反比，其方向与电矩的指向相反。

（2）求电偶极子连线的延长线上一点 的E。

忽略高次项

            

再考虑其方向以及 ，则电偶极子连线上的一点的场强为：

　

            

例：真空中一均匀带电直线，单位长度带电量为，求直线外 p 点的 E 。（p 点到线的垂直距离为 a，p 点与带电直线两端的连线与直线的夹角分别为 θ₁ 和 θ₂）

解：建立坐标系如图。 在 x 取一小线元 dx ，到 p 点距离 为 r，r 与带电线的夹角为θ 该线元所带电荷量为  在 p 点场强大小为：      方向如图所示(不同的电荷元在 p 点的 E方向不同）。 在 x、 y 方向的分量为

统一变量，；

例：求均匀带电圈环轴线上 p 点的场强 E。（设环的半径 R，所带电量 Q，环心到 p 点距离 x）

解：环上电荷线密度为：在环上任取一线元 dl ， 它所带电量
在 p 点场强		方向如图所示。

由对称性知，环上各 dl 在 p 点的场强与轴线相垂直的分量相消，沿轴线方向的相加强。

所以，
		方向沿轴线。

4．电力线(electric field line)
   在电场中作一系列曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点电场强度的方向一致，这样的曲线就叫做电力线。

（1）电力线起自正电荷（或无穷远），终止于负电荷（或无穷远处），不会在无电荷处终止，也不会在无电荷处发出； （2）电力线的疏、密度（通过与电力线相垂直的单位面积的电力线数）与场强成正比；        （3）电力线不能相交，也不能相切。
（4）电力线垂直等势面。

几种电荷的电力线分布

    
      带正电的点电荷             电偶极子                     均匀带电的直线段 §8-3 高斯定理（Gauss¢ theorem）

   1．电通量(electric flux)

   (1) 通量

       通量的概念，在物理学中经常见到。如电通量，磁通量，流量等。

       通量的普遍定义：矢量场中通过某一面元的通量，等于该处的矢量与面元的点乘积，用 dΦ 表示。

其中 θ 是 与 之夹角 通过有限大小曲面的通量：

（2） 电通量

	定义：
	1.Фe 是对面而言，不是点函数。 2.Фe 是代数量，有正、负。   Фe 的几何意义：
	对闭合曲面，		约定：闭合曲面以向外为曲面法线正方向。

例：求点电荷 q 所激法的电场，通过以 q 为球心，r 为半径的球面的 E 通量。

解：点电荷 q 所激法的电场为      在球面上找任一面元

        

     此结果与 r 无关。即通过以 q 所在处为球心，任意 r 为半径作球面的 E 通量都是相等。 2. 高斯定理

（1） 定理的表述：

高斯定理：在静电场中通过任一闭合曲面的 E 通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和除以 ε₀

     是 S 面内所围的电荷代数和， 是空间所有的电荷所缴发的电场的矢量和。

例如：有三个点电荷：q1,q2,q3,闭合曲面 S1 将 q1,q2 包围在内，则通过 S1 的 E 通量     式中的是三个点电荷所缴发的电场的矢量和。

         如果 q₁=-q₂ ，则

若闭合曲面 S2 不包围电荷，则通过 S2 的 E 通量 对一个有限大小的电荷连续分布的带电体，总电量为 Q ，而 S 只   包围其中 Q 的一部分，就用积分的方法求 S 所包围部分的电荷量。 如果 S 只包围 Q/3，则  E 是总电荷 Q 所激发。

（2） 定理的证明

高斯定理：

     先看只有一个点电荷 q 所激发的场。

（a）闭合曲面 S 是以 q 为心 r 为半径的球面，则根据上例结果，通过该球面的 E 通量为          结果只与 q 有关，与 r 无关。 （b）从通量的定义和电力线的性质不难看出：闭合曲面是包围 q 的任意曲面的话，也有同上结果。

 （c）任意闭合曲面不包围 q 的话，由于电力线的连续不中断性，必然进出数目相等。这时：

空间有多个点电荷 、 ，其中 在 S 内， 在 S 外 利用叠加原理和上面结果
S 所包围的电荷量：		所以		成立。

（3）定理的应用

     利用高斯定理解电场问题可以很方便。但它只对电场（电荷）分布具有某些对称性问题才能用。常见的对称性有三种：

a．轴对称：无限长直的均匀带电直线、直圆柱体、圆筒、圆柱面等，或圆柱上的 只与 r 有关。		b．镜面对称：电荷均匀地分布在一个无限大的带电平面，或带电平板上。（高斯面为 “同心球面”） （高斯面为同轴圆柱面） （高斯面为 “侧面与带电面垂直，底面与带电面平行的柱面”。）
c．球对称： 电荷均匀地分布在一个球面、球壳、球体上，或球壳、球体上的电荷体密度 只与半径 r 有关。

在作的高斯面时，必须注意两点：

（1）高斯面 S 所包围的电荷能够容易求出；
（2）高斯面 S 上的 E 是个常量，能移到积分号外，只对 S 积分；

例如，电荷均匀分布在一个球体上（具有球对称），（高斯面为 “同心球面”）

  或者可以将 S 分为几部分：在不知 E 是否为恒量的部分，必须知道其方向 其 △Φ=0，而且一定要有某些部分，E 为恒量（这 E 即为所求）能移到积分号外
例如，电荷均匀分布在一个无限长直圆柱面上（具有轴对称）， （高斯面为 “同轴圆柱面 ”）

例1：求均匀带电球面内、外的场强分布。已知球面带电量为 Q , 半径为 R .

解：电场的分布具有球对称性。     球面内区域： 作高斯面 S ，S 是半径为 r 的同心球面
由高斯定理：
球面外区域： 作高斯面 S ，S 是半径为 r 的同心球面

例2：均匀带电球体内、外的场强分布。已知球面带电量为 Q , 半径为 R .

解：电场的分布具有球对称性。  球体内区域：作高斯面 S ，S 是半径为 r 的同心球面
由高斯定理：
球体外区域：同样作高斯面

 例3：均匀带电的无限直长圆柱体，半径为 R ，电荷体密度为 ρ，求圆柱体内、外的场强分布。

解：电场的分布具有轴对称性。  圆柱体内区域： 作高斯面 S ，S 是半径为 r、长为 l 的同轴圆柱面。由高斯定理：                 圆柱体外区域： 如右图作高斯面

例4：无限大均匀带电平面的场强分布，电荷面密度 σ 。

解：电场的分布具有镜面对称性。带电平面左右两边距离带电平面相等的地方，场强的大小相等，方向与带电平面相垂直，指向外面。    作高斯面如图：               均匀场，与到带电平面的距离无关。

思考：能用高斯定理求有限长直均匀带电线的电场分布问题吗？

解： 作高斯面如图， 由高斯定理（设单位长度的电荷量为λ ）
		与用积分法求得的结果不同。

电场的分布不具有轴对称性吗？  不是。

高斯定理在这种情况下不成立吗？ 不是。

原因是，在所做的高斯面，通过上、下底面的通量不一定为零，同时侧面的 E 不是恒量，不能抽出积分号外。

§8-4 静电场的环路定理 电势

   本章的前面部分是从力的角度讨论电场， 本节从能量的角度进行讨论。
线索：
  静电力是保守力，作功与路径无关静电场的环路定理；
  静电场是保守场，引进势能概念电势能；
  定义场中某点的电势为单位正电荷在该点的电势能求场中某点的电势的数学表达式

1. 静电场的环路定理（circuital theorem of electrostatic field）

当两个点电荷 q1 ,q2 相距为 r 时，其相互作用力为 ：
这与两个质点 m1 ,m2 间的相互作用力相似：

  力学中已证明是万有引力保守力，同样可以证明静电力也是保守力，作功与路径无关，或沿任何闭合路径作功为零。

电荷 q 在电场 中受力为
		即
静电场沿任一闭合路径的线积分恒为零。此为静电场的环路定理。
	也称为静电场的环流量(circulation) 。

    静电场绕任一闭合路径的环流量为零，这种场为无旋场。
(1) 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。
(2) 环路定理要求电力线不能闭合。
(3) 静电场是有源、无旋场，可引进电势能。
    思考： 电场线平行但不均匀分布是否可能？  （不可能） 2. 电势能( Electric Potential Energy )
   由于静电力是守力，可以引进势能的概念，称为电势能，用 W 表示。
   当电荷 q 从 a→b 时，电场力作功等于电势能的减少。

    
规定零势能的位置（一般情况下，对于有限大小的带电体，规定无穷远处为势能零点），就可以得到静电场中某点 的电势能的具体表达式。
上式中，令 b 点在无穷远（即 W_b=0 ） ，得电荷 q 在场中 a 点的电势能为

    
电荷 q 在静电场中 a 点的电势能，等于将 q 从 a 点移到无穷远，静电力所作的功。也等于为将 q 从 无穷远移到 a 点外力克服静电力所作的功。

例1：点电荷 和 相距为 r ，求该电荷系统的电势能 W 解： 电荷 q 在静电场中 a 点的电势能，为将 q 从 a 点移到无穷远，静电力所作的功。

    

电荷 q1 所激发的电场为

电荷 q₂ 在 q₁ 所激发的电场中受力为

   
将 q₂ 从现位置 a 点移到无穷远，静电力所作的功

   
这就是相距为 r 的点电荷 q₁ 和 q₂ 之间的电势能 W

3．电势（electric potential）
(1) 电势

电场中某点的电势等于单位正电荷在该点的电势能，用 V 表示.

     
单位正电荷自该点移到“势能零点”过程中电场力作的功。

例：点电荷 q 所激发的电场的 V分布（ 距 q 为 r 处的 V ）

解：

   单个点电荷的电势分布：与 r 的一次方成反比， r 相同处 V 相同，等势面为球面。

（2）电势差（electric potential difference）
     电场中 a、 b 两点的电势之差即为其电势差（电压），以 V_ab 表示。

        
（3）电势的叠加原理(principle of superposition of electric potential)
     设空间有 等多个点电荷，空间某点 a 的电势为

        

    

其中，r_i 是第 i 个点电荷到 a 点的距离。这是电势的叠加原理：电场中某点的电势等于各个点电荷单独存在时在该点电势的代数和。

4．电势的计算
   方法有二：

（1）利用定义式：

  这里意味着取无穷远处电势为零，对有限大小的带电体所激发的场，一般都是取无穷远处为电势零点。 有时亦可选地球或接地导体的电势为 0 。
  对于具有特殊对称性的带电体，用高斯定理很容易求出 E 的分布，通常是采用这个方法。

（2）根据点电荷的电势表达式，利用电势的叠加原理

         
    对于不能用高斯定理求出 E 的分布的，通常是采用这个方法。 例1: 真空中有一 均匀带电球体，球的半径为 a ，总电荷量为 Q ，求球内、外的电势分布。  解：由高斯定理可求出 E 的分布：

        

对球体内区域：

球体外区域：

   

例2：求均匀带电球面内、外的电势分布（球面所带的总电荷量为 Q ，半径为R，）。

 解：用高斯定理求出 E 的分布。

       

球面内区域：           球面外区域：

例3：求均匀带电圈环轴线上 p 点的电势 V.设环的半径 R，所带电量 Q，环心到 p 点距离 x

解：利用电势的叠加原理
在环上任取一电荷元 dq ，到 p 点的距离为 r .它在 P 点的电势为     所有的电荷元到 P 点的距离都相同，所以，总电量Q 在 P 点的电势为

§8-5 等势面 电场强度与电势梯度的关系

   1. 等势面( Equipotential Surfaces )

      电场中电势相等的各点构成的曲面称为等势面。

例如，点电荷 q 的电势分布为            以 q 为球心，r 为半径作一球面，球面上各点的电势都相等。 等势面的性质: (1) 等势面 (2) 规定相邻两等势面间的电势差都相同      等势面密→ 大  等势面疏→ 小 (3) 电场强度的方向总是指向电势降落的方向

平行板电容器的电场分布（电力线）和等势面

2. 电势与电场强度的微分关系

取两个相邻的等势面，等势面法线方向为 ，设 的方向与 相同，把点电荷从 P 移到 Q，电场力作功为：

任意一场点P处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方向上电势的变化率，负号表示电场强度的方向指向电势减小的方向。 在直角坐标系中

；  ；  ， 

定义：

        称 为 u 沿 方向的梯度(gradient)
某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就是电势与电场强度的微分关系。

电偶极子的电场线和等势面	两个等量的正电荷的电场线和等势面

例：求一均匀带电圆环轴线上的一点的电势，再由 E 、V 的微分关系求电场强度（带电圆环的半径为 R，带电量为 Q，圆心到场点的距离为 x ）

解：先求电势，用叠加原理：
可以求得：
由 E 、V的微分关系求电场强度： 由对称性知： 方向沿轴向，与用积分法的结果相同。