其中T是一个与态 (t)无关的线性算符 。因为如同空间平移一样，时间平移仅仅意味
着计时原点的变化，所以一个物理上的要求自然是任一态函数 (t)在时间平移变换下对
应的总概率不变
第3期 晋东南师专学报 1996年9月15日
算符iha／at性质的研究
冯新堂
(晋东南师专电子系046011
李春芳
上海大学理学院物理系 201800)
摘要本文从时间平移的角度证明算符ina／at的厄米性，讨论1该算符的厄米性与态函
敷的内积之间的关系，指出了capri在证备时间和能量对易关系不成立的过主中的错误，
最后讨论1算符ibm／at和任一量子系统的Hamilton算符之间的关系以及iha／喜t的能量
性质。
关键词能量算符{厄米性；时间平移
分类号0413．1
最近，何伯珩在《大学物理》上讨论了算符ih~／at的性质邮，该文涉及到量子力学的若
干基本理论问题，譬如iha／喜t是否为能量算符，时间和能量是否存在对易关系[t，E]='h，
以及对时间一髂量不确定关系如何理解等等，该文利用Capri论著嘲中关于时间和能量
对易关系不成立的证明方法，认为iha／at不是能量算符，不是厄米算符，我们认为这个结
论值得进一步商榷。本文将首先从时间平移的角度证明算符_ha 的厄米性，讨论该算符
的厄米性和态函数的内积之间的关系，然后指出Capri证明过程中的错误，初步讨论算符
ibm／at和任一量子系统的Hamilton量之间的关系。最后进t }讨论了iha／at作为能量算
符的若干性质。
1 算符ih at的厄米性
让我们考虑任。一态函数 (t)在时间平移下的性质。
(t+ r)一T (【J (1)
其中T是一个与态 (t)无关的线性算符 。因为如同空间平移一样，时间平移仅仅意味
着计时原点的变化，所以一个物理上的要求自然是任一态函数 (t)在时间平移变换下对
应的总概率不变“]，即
( (t+r)， (t+ r))= ( (t)+q2(t))
从而T是一个幺正算符r 1，
T T= 1 (2)
现在我们转向无限小时间平移的情况，t=At~O，根据物理上的连续性可知以下的极
限存在；
= ) (3)
·2· 晋东南师专学报 1996
由 (t)的任意性可知，极限 存在·并且该极限是一个线性算符，记为Dt
lim 一Dt 。 (4)
— c 凸【
对于无限小的△t有：
T一1+ AtU (5)
将其代入(2)式得：△t(D +Dt)一0
这就是说．Dt是一个纯虚数线性算符，ihDt是一个厄米线性算符。另一方面，从(3)式
可以看出，算符Ⅱ 其实就是时间微分算符
n—a／at (6，
因此．iha／~t=ihD,是一个厄米线性算符．记为E。这样我们就从时间平移的角度证明
了算符E=iha／at的厄米性。从(5)式可以看出．该算符是无限小时间平移变换的生成元·
T=I—iiAtE
值得指出的是，我们的证明仅仅利用了任一态函数在时间平移变换下的性质，投有涉
及任一具体系统的Hamilton算符．因此也就没有涉及其动力学演化。换句话说．厄米算符
E=iha／at与任一系统的Hamilton算符在概念上是完全独立的，前者是无限小时间平移
的生成元．而后者则决定了特定系统的动力学演化(如Hcisenberg运动方程)，因此我们没
有算符等式E—H，其中H是任一系统的Hamilton算符。在这个意义上．Schrodinger方程
E 一H
． (7)
意味着只有一个系统在物理上所允许的态函数才满足E=H，或者说，算符E与一个
系统的Hamilton算符相等决定了该系统在物理上所允许的态函数的动力学演化
接下来，我们简要地探讨一下厄米算符E=iha／at与态函数 积之间的关系问题。
我们知道，一个态函数—— Schrodinger方程的解—— 是空间坐标i和时间坐标t的
函数．但是量子力学中两个态函数 ( ，t)和 (i，t)的内积通常定义为仅对空间坐标
积分的如-卜形式n
r
( 1( ．t)， ( ，t))一J ( ．t) (3t"，t)d x (8)
只是Wigner” 在讨论时间一能量不确定关系时曾考虑过对时间积分的内积
f
( ( ，t)·忆(i ·t)) 一J 1( ．t)lf】z(i ，t)d x (9)
其中下标t表示该内积是对时间的积分，由于当 (夏．t)和lf】z(i．t)不是同一个系
统的态函数时，我们有
孟( ( ·t)， ，t))≠0
即 ( 警)≠一(警 )
因此( ih警)≠In )
或者 ( -，E )≠ (E ， ) (10)
这就是说，通常的仅对空间积分的内积不足姒容纳厄米算符 一ina／巩。相反，若我们
第3期 冯新堂李春芳 算符iha／ 性质的研究 ‘3‘
考虑时间积分形式的内积(9)式，则采用与证明动量算符的厄米性相同的分部积分法 可
得：
r r
( ，E )。一
J ·ih dt=_h · I竺∞+J(ih )· dt=(E9 ， )． (11)
其中用到了t一士。。时态函数等于零这一边界条件。此式表明，算符E=[ha／&的厄米性
要求态函数内积的定义应包括对时间的积分 由于通常的量子力学不涉及算符E=iha／at
及其厄米性，因此仅对空间积分的内积定义(8)式不会带来任何困难，但要影响人们对涉
及时间以及算符E—iha／at的问题的认识，即对时间—— 能量不确定关系的认识 。
2 Capri证明中的错误
Capri证明时间和能量对易关系不成立的过程可概述如下口]。
假设存在时间和能量的对易关系
It，El=一ih (12)
其中能量算符为E=ih0／gt。考虑一个本征能量为 的量子系统的基态讥(i ，t)、自
然，讥(i ．t)满足该系统的Schrodinget方程，并且有：
E机(3[-，t)=H ( ，t)= Eo机( ，t) (13)
其中H为该系统的Hamilton算符，且态函数机(X-，t)是归一化的，(扎，机)=1
另外定义一个算符B— t，m为任一正圆频率，则由(12)式可得： ．
(札，EB9o)= (‰ ，BEd；o)一h∞(机， )=Ec(帆，13@o)一hm( ，扎) (15)
以Hamilton算符H代替上式左边的E，并利用H 的厄米性有
(H90，B机)= E。(机，B )一h∞f ， )
或者 (机，B )=E。(札，B中0)一h叫( ，扎)
从而(扎， )=0，与 。的归一性矛盾。因此对易关系(12)式不成立。
下面我们指出以上证明中的错误。由于 是该系统的基态态函数，满足该系统的
Schrodinge~方程，因此B 必定不是该系统的态函数．不可能满足该系统的Schrodinger
方程，即
EB4o≠ HB 0 (16)
这一点不证自明，这里不予赘述’。根据(10)式可知，方程(15)式的左边不能写成
(E ，B“)。(1 6)式表明，(15)式左边的算符E是不能用Hamilton算符H代替的。Ca pri证
明中的关键性错误就在于将(15)式左边的E换成了H。
这里只是指出了Capri证明中的关键性错误。产生这一错误的根源则在于认为算符E
和任一系统的Hamilton算符H的同一性，即以H代替(12)式中的E(见文献[23的(7．31)
式和(7·34)式)。如前～ 小节所述，算符E=ihg／／／t在概念上完全独立于任一系统的
(1)进一步讲，B ，不是一 理上可实现的量子态，可以将B“ 形式地满足Sehroding 方程 E 。一
H B 其中H一一H一訾一1+芈，H为札的．Hamilton量 很明显，H，是非厄米的
撵 麓 一 。
·4· 晋东南师专学报 1 996芷
Hamnton算符，加之不同系统的Hamilton算符各不相同，Sehrodinger方程(7)式并不意味
着算符等式E—H。因为假设的对易关系(12)式是一个算符等式，所以其中的算符E是不
能用任一系统的Hamilton算符代替的。对易关系(12)式是否成立有待进一步的研究。
3 关于算符iha／at性质的进一步讨论
3 1 第-d,节中关于算符色一iha／at厄米性的论证过程是我们熟知的方法。从无限
小对称性变换理论的角度看，该厄米性是不证自明的，E为无限小时间平移T的生成元
n，T为么正的，n 必为厄米。这一点，一些经典论著早有论述。
3．2 作为一物理可观测量的算符，必须为厄米，而且必须有本征值取实数的正交完
备的率征函数系。对E列出本征方程E (t)=E “(t)．
^
即iha／at( (t))一E机(t)
^
其解为exp(．iE t／h)是正交完备的。E 取值为(一o。，+oo)诸连续值。所以E为一物
理可观测量。
3．3 在研究量子条件的一般形式时，设 (qjt)，W(qit)，H(q，t)是一特定量子体系在t
时刻 点的渡函数、权重函数和Hamilton量，取W(qF)一1这一特殊重要情况，如将
A
(q，t)写作A(qit)epx(iS(q~t)／t1)的模量一相角形式，则动量算子和E—iha／ 对渡函数的
作甩形式为：
P， (qjt)： (q，，t){亡P_A+(ih)P
^ 1 ^ A +
E (qjt)一av(q，，t){÷E，A+(Ih)Ejs}
J ■
^ ^
E与Pj处于完全对称的位置上。
^ ^ ^
3，4 将E与Pj一一ihvI作进一步比较：Pj是空间平移变换的生成元 o】，当考查
^ ^
Schrodinger方程的时空平移对称性时，我们可以看到：E，Pj分别是对应平移变换下的不
^ ^ ^ ^
变可观测量“]，Sehrodinger方程的平移对称性应分别表示为；[H，E。]：0和[H，P]一0，它
们分别导致能量守恒定律和动量定律守恒定律。所以，可以得出我们的结论：在无限小时
间平移变换下，H与E的行为表现是不同的，即使在非相对论量子力学框架内，从对称性
考虑，我们完全有理由将E，一ii~a／a 作为能量算符“ ．在这个意义上，E与任一系统的
．
n
Hamilton量H是两个不同的概念：H因系统的不同而不同，但能量算符却不因系统的不
同而变化，正如动量算符的形式不因系统的不同而变化一样。
3．5 在相对论量子力学范围内，时空变量更处于平等的地位，相对论经典力学指出：
时间和能量之间的关系，对等于空间与动量之间的关系，我们将有更充分的理由将色作为
能量算符而无需象Pauli所认证的那样：能量算符就是Hamilton量[
这里顺便指出，一些作者如Sehif，也是将iha／&作为总能量算符的。
3．6 作为本文的结尾，让我们回顾一下下列事实是有益的： ．
在量子力学创立的二十世纪初期，在建立Sehrodinger方程的诸多途径中，其中之一
第3期 冯新堂李春芳 箅符ihg／gt性质的研究 ：旦
便是从经典力学量到力学量算符作E—iha／ ，P一一ina／ V的对应，其中E，P分别是经
典粒子的能量和动量，在二十世纪的末尾，我们又来讨论ihS／St是否为能量算符，这一现
象将给我们以什么启示? 。
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of the lroperues of Operator theet
Feng Xintang
(Department of Electronies．South-east S~anxi Teacher s Co~ege，
Changzhi 046011．Shanxi，China)
LiChuM an g
(De partment of physics．School of Science，Shanghai University，
Shan gh~ 201800 China)
Abstract The authors proved the Hermitity of the operator a／9t from the point of
view of time displaeem ent discussed the reht~n between the Hermitity of this operator and
the inner produet of any tWO state functions pointed Out th e crror in CaprP s proof of th e
non-existenee of time-energy commutation rdat~n，an d at last discussed the telatlon he
twe~
n operator ihai敏and the Hamilton operator of any quantum system
Key words energy operator，Hermitity，time displacement
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