ustc 氢原子中的电子，不仅感受着质子的库仑场，而且还感受着另一种时时处处存在的、量子电磁场真空态所固有的“真空涨落”

※§9.6      电磁场真空态的能量和Casimir效应

           以上各节详细阐明了非相对论量子力学范围内的电磁相互作用，讨论了非相对论的各类粒子在电磁场中的束缚和非束缚运动，给出了超导体的一些基本电磁效应以及电磁场的整体拓扑效应。本节继续贯彻量子逻辑，将它用于电磁场本身，指出电磁场的另一个重要量子性质：电磁场的真空态具有无穷大能量。在一般情况下，这个无穷大能量无法直接观测，但在某些特殊情况下它能表现出可观测的效应。

1, 电磁场的真空态及其能量

           由Planck对黑体腔内电磁场的处理，和其后大量工作可以知道，量子力学观点是处理腔内电磁场的唯一正确观点。这就是，腔内电磁场是一系列各种频率量子谐振子的集合，集合整体便是量子电磁场。具有各种频率 和量子数 的量子态就是量子电磁场在该频率下的各种激发态，而 便是相应的场量子。构成电磁场的振动模数目——量子谐振子的数目有无穷多，也即量子电磁场（即便场分布是局域的）的自由度有无穷多。而这个量子电磁场的基态——没有任何场量子的态（构成场的全体量子谐振子的基态的直积），称之为量子电磁场的真空态，这便是从量子力学观点所理解的经典电磁学的真空。这个真空态显然不是一无所有的“虚无”，它只是表明不存在各种场量子 而已（仿佛是一段紧绷未经激励的琴弦，其上虽无任何振动模存在，但并非是一无所有的“虚无”，而是一个物理系统最低能量状态）。

然而，量子谐振子基态是存在零点振动和零点能的。因此，合理的预期是，量子电磁场的真空态也存在着零点振动和零点能。量子电磁场全体模的这种零点振动总和称为量子电磁场的“真空涨落”。虽然这种涨落的平均值为零，所以表观上看不出空间中各点有电磁场存在，但涨落的均方值并不为零，应当有“真空涨落”存在。就这样，经典电动力学中的真空，按量子力学的观点来看，其实具有涨落的能量，这便是全体量子谐振子零点能之和。即

           量子电磁场真空态能量       （9.48）

这个数是无穷大，因为振动模（自由度）的数目为无穷多（何况还有高频 的模存在）。虽然如此，由于零点能并不参予量子电磁场状态变化的任何物理过程，因此，一般情况下可以把它当作一个恒定的“本底”事先予以减除，即“定义”它为零，从而不必去理会它究竟是多少。但这并不排除在某种特定情况下，它会表现出可以观测的效应，因为它毕竟是客观存在着的物理事实。

2, Casimir效应

这是关于量子电磁场真空态能量的一个可观测效应。真空态能量本身不可观测，但它的变化是可以观测的。考虑两块平行并足够大的方形理想导体板，板间距 <<板边长 。现在来研究两块板之间体积 内振动模的数目。设 轴垂直两板。由于 很大，在 方向几乎无空间区域的限制，对应于波数 从 到 近似连续变化；而两板表面应当为分量 波的波节，于是 只能取分立值 。由于每种波均存在两个横向极化状态，计算模数目应乘以2[1]。 注意， ，一个振动模的零点能为 ，而在 附近 内的模数目为 。于是，放入两块平行板前后，在 体积内真空态能量的相对变化为

   （9.49）                                       

由此可得两板之间每单位面积上的作用力为

   （9.50）

令 ， ，于是有 ，代入上式得

                       （9.51）

大括号中的两项都是发散的，但它们之间的差可以是不发散的。为看清这一点，采用Coulomb 场积分中常见的计算技巧（参见第十章第三节）：在被积函数中引入衰减因子 ，再作积分、求和与相减，完成全部计算之后令 ，以求得这个有限的差数。于是成为

             （9.52）

利用展开式[2]

                     

其中 为Bernoulli数： ， ， ， ， , …。代入 表达式，微分之后，令 取极限，最后得：

                          （9.53）

这里 的单位为微米。结果为 达因/厘米平方。这是一个十分微弱的吸引力，表明由于两板之间 的允许模数目随 增大而增大，导致 随 增大而增大。

3，Casimir效应实验与讨论

    显然，Casimir效应发源于：两板之间虚光子敲击所产生的光压要小于两板外部虚光子敲击所产生的光压。正是这种压差，造成两板之间的一个吸引力。事实上，Casimir效应有一个完全经典的模拟。它和造成海轮相撞中的吸力有某种相似点。两艘海轮平行航行着，即使没有风，但有汹涌海浪时，如果相距较近，发现有一种相互吸力，使两艘船舷相互靠拢而可能发生碰撞。1996年，Boersma就建议将这种力称作Casimir力的“海事模拟”[3]。此时的敲击是基于经典的随机的海浪波动场。

在Casimir发表文章9年之后，1958年Sparnaay [4] 观测了这个力的大小以及它和板间距离 的关系。但可惜误差太大而难以判断效应的存在。关于Casimir效应的最近测量见文献[5]。关于Casimir效应的详细文献目录见文献[6]。Casimir效应的最新进展总结见文献[7]。最近两本关于腔QED的书[8]中也谈到了这个效应。

※§9.7      氢原子谱线的Lamb移动

1，Lamb移动的物理根源

由氢原子 方程解可知，主量子数 的三个能级 、 和 都是简并的。即使考虑相对论效应，采用氢原子的相对论Dirac方程，其中的 和 两个能级依然简并着。但是，1947年Lamb和Retherford用射频波谱方法测得氢原子的 能级比 高出1058兆赫（4.375 ev）[9]， 这便是著名的氢原子谱线的Lamb移动。有关它的详细准确计算通常在量子场论框架内进行，过程较为琐碎冗长。现按量子力学一阶微扰论和经典理论中常用的计算办法，给以简单明了而又基本准确的解释。

由前节叙述可知，氢原子中的电子，不仅感受着质子的库仑场，而且还感受着另一种时时处处存在的、量子电磁场真空态所固有的“真空涨落”。真空中量子电磁场场量的这种随机“涨落”造成电子位置的随机涨落。而电子位置的“随机涨落”又等效地转化为作用在电子上库仑势 的“弥散”： ，这种“弥散”是围绕平均值——库仑势 的涨落[10]。电子坐标涨落的平均值为零，所以一阶导数项为零，但涨落的均方值 不为零。对 作Taylor展开到二阶并取平均，得

                   （9.54）

这里微扰项为 。按量子力学的一阶微扰论，这个涨落对任一态矢 造成的能移为

                                          (9.55)

注意 ，于是，对 态和 态分别有

                           （9.56）

这里 。结果表明 能级低于 能级，两者之差即为Lamb移动。它表明量子电磁场真空态的“真空涨落”有可观测的物理效应，并非玄谈。

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[1] 实际上当 时，不应当乘2，但这不影响下面 的计算，因为对 的微商消去了 的所有波。

[2] 参见 M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook for Mathematical Functions, Dover Publications Inc., New York, 1965, P. 804。

[3] S.L.Boersma,  American Journal of Physics,  64(5):539-541, May 1996。

[4] M.J. Sparnaay,  Physica,  Vol. 24, 751 (1958)。也见C. 依捷克森， J-B. 祖柏尔，量子场论(上)，第185页，科学出版社，1986年。

[5] H.B.Chan,et.al., Science, 291, 1941-1944, March, 9, 2001。

[6] S.K.Lamoreaux, Resource letter cf-1: Casimir force, American Journal of Physics, 67(10):850-861,Oct. 1999。

[7] M.Bordag, et.al., New developments in the Casimir effect, Physics Reports, 353, 1-205, 2001。

[8] S.M.Dutra, 《Cavity Quantum Electrodynamics》, John Wiley & Sons,Inc., 2005。P.47; P.R.Berman, 《Cavity Quantum Electrodynamics》, Academic Press,Inc., 1994。

[9] W. E. Lamb, R. C. Retherford,  Phys. Rev.,  Vol.72,  241(1947)；Phys. Rev., Vol.79, 49

(1950).

[10] T. A. Welton,  Phys. Rev.,  Vol. 74, 1157(1948).