安青在线论坛's Archiver
磁重联漫谈（转自王晓刚博客）
磁重联漫谈（1）
屈指数来，笔者研究等离子体中磁力线的“重联”现象已整整20年了。 磁重联（magnetic reconnection），或磁力线重联（magnetic field line reconnection）——也有叫“磁场重联”的，取描述磁力线“断开”（break）再“重新连接”（reconnect）的物理过程的意思。这一过程早期就是用magnetic field line broken and reconnected这样的语言来表述的。（既然是“连接”，应该译作“磁重连”的；不过既然大家都这么用着，就先这么写着。） 磁重联的理论，在实验室、空间、与天体等离子体物理领域里都有重要的应用。很多“快尺度”的大规模能量转换过程如实验室中磁约束等离子体的各种撕裂不稳定性（tearing instabilities）、空间物理中太阳风等离子体与地球磁层之间的耦合、天体（太阳）物理中耀斑（solar flares）、日冕加热（solar coronal heating）、日冕物质抛射（coronal mass ejections, CME）等现象，或是典型的、或是伴随着磁重联的物理过程。而且基于磁重联理论发展起来的“磁场拓扑”理论对几何与拓扑研究也有很大的推动。 磁重联的模型，起源于天体（太阳）物理的研究。最早的“磁重联”概念是一位澳洲的物理学家为解释日耀斑现象而提出的（Giovanelli, R. G., 1946: Nature 158, 81）。但是那时他用的terminology不是“magnetic reconnection”，而是“magnetic annihilation”——磁“湮灭”。就是说，当两条方向相反、相对运动的磁力线在一点“相遇”时，会产生磁“湮灭”而放出光——用此来解释日耀斑观测看到的强辐射。 这个简单的模型，开创了等离子体物理学的一个重要研究领域——磁重联理论、实验、与卫星、天文观测。以至于最近美国专门以磁重联研究为主要目的连续发射了五颗卫星（即所谓THEMIS计划）。什么叫“原创性研究”（original work）？Giovanelli的这个工作就是典型的例子。 当然，现在看来这个模型还非常粗糙。不过，开创性的工作常常是简单的、但是抓住了关键。 （待续）
磁重联漫谈（2）
（有不少问题要说明，要快点写了:p）
当然，现在看来这个模型还非常粗糙。 首先，通过现代计算机模拟我们可以看到，磁力线的电磁“湮灭”是在真空中发生的现象。即磁力线只有在真空中才能以光速运动并“湮灭”。而在等离子体中，因为要“携带”环绕其旋转的带电粒子（特别是离子）一起运动，所以磁力线是有“质量”的，即使是电磁扰动引起的磁力线运动，其速度相比光速来说也是缓慢的——大约在Alfven速度的数量级。因此，后来人们改用“reconnection”来代替“annihilation”。 而且我们知道，磁场的散度为零，所以磁力线是不会“断开”的（至少在真空中）。实际上，在等离子体的理想磁流体（ideal magnetohydrodynamics, or ideal MHD）近似下，等离子体与磁力线是“冻结”（frozen in）在一起运动。形象地说，就如我们小时候喜欢吃的“棒冰”的冰冻结在中间的棍上一样。更准确的比喻是串在中间的杆儿上的算盘珠：可以很容易的沿着杆儿运动或者“回旋”运动，但是没法“跨越”这一根杆儿到另一杆儿上去。当然，如果等离子体中有不均匀性，还是会产生横越磁力线的“漂移”（drift），但是如果磁场限制在有限的体积内，这种“漂移”运动仍然限于同一磁力线所螺旋缠绕成的磁面上：不过是“抄近路”到同一磁力线的另一部分而已。就像调皮的孩子在螺旋滑梯上直线地从“一层”跳到“另一层”。 理想磁流体的这一重要性质可以用来实现在物理测量上“追踪”（tracing）磁力线（A. Newcomb, 1960: Ann. Phys. (N.Y.) 10, 232）；并且保证了磁力线在其演化过程中拓扑性质不变。这种不变性对应的守恒量叫做“磁螺旋度”（magnetic helicity），定义为磁矢势A与磁感应强度B的点乘积的空间积分（一般积分域为一条“磁力管”）。 当等离子体中的耗散效应（比如电阻）很小的时候，也就是说，磁力线在等离子体中的扩散时间远大于磁力线运动的特征时间、或者耗散效应起显著作用的特征空间尺度远小于磁场变化的特征空间尺度，上述性质还可以继续应用。所以对于空间以及实验室中的磁约束等离子体来说，理想磁流体的这些性质基本上都是适用的。 但是，当两条磁力线足够接近，到了“非理想”效应（non-ideal effects，比如耗散或者其它破坏理想磁流体条件的动理学效应如有限Larmor半径等效应）显著影响物理过程的尺度，随它们一起运动的“等离子体元”便分辨不出自己到底属于哪一条磁力线。这可以有两种情况：或者（当碰撞很弱的时候）两条磁力线之间的距离小于带电粒子环绕磁力线运动的回旋半径（Larmor半径）；或者（当碰撞足够强的时候）一条磁力线上的电子被“碰出”自己的回旋轨道后可以被另一条磁力线“捕获”，甚至完全“丢失”了（不知道跑到那条磁力线上去了）。 这时反过来我们也可以说（因为我们只能做粒子运动的测量）磁力线“丢失”了自己的identity，也就是说我们无法identify磁力线了。人们把这个磁力线“迷失”的区域叫做“扩散区”（Diffusion Region）。因此，在这个区域里磁场的拓扑可以发生改变。一旦这种改变发生，“走出”这个“扩散区”的磁力线就已经不再是原来的磁力线了。它们之间的连接形式发生了“重组”。我们把这个磁力线进入扩散区、“迷失”、重新连接，最后“走出”扩散区的整个过程，叫做“磁力线重联”或者简称“磁重联”。显然，磁重联伴随着磁场拓扑的变化（比如等离子体中的撕裂模就是一种典型的磁重联过程，“撕裂”就有原来磁场拓扑被改变的意思），因此导致磁场能量的快速释放。所以实验室、空间、天体等离子体中很多快过程、特别是“突发”（Onset）过程，如太阳耀斑、日冕物质抛射、磁暴（Magnetic Storms）、磁层亚暴（Magnetosphere Substorms）、锯齿崩塌（Sawtooth Collapses）、破裂不稳定性（Disruptions）等都与磁重联有关甚至是磁重联主导的物理过程。
磁重联漫谈（3）
一场秋雨一场凉。终于告别炎热的夏天，迎来了秋季学期。校园里又充满了年轻人的欢声笑语。 周末，不谈学问，说点轻松的： 说起“磁螺旋度守恒”，想起在Graduate School的一些往事。 我的博士导师曾经对“磁螺旋度守恒”的发展做过一些贡献。前面说了磁螺旋度定义为磁矢势A与磁感应强度B的点乘积的空间积分。他名字的英文缩写正好是A. B.，所以一些同行戏称他“A dot B”（即A点乘B的英文读法）。我第一年上他的《流体物理》，有时会到办公室问些问题。当时读文献看到“磁螺旋度守恒”觉得挺有意思的，就去问： “物理学中的守恒量都对应着一种不变性。比如能量动量守恒对应时空平移不变性。那么Helicity守恒对应什么不变性？” 记得他当时扬了扬眉毛，看了我一下，不无赞叹地说：“中国的大学里还学这些？”暑假考过Qualify以后，他便鼓励我到他那里做，并建议我申请JHU/APL的Fellowship——大概相当于国内学校的“宝钢奖学金”一类的，但是条件很丰厚，比当时博士后的salary还多：因为包括了每年几万美元的学费。到我手里的stipend当然没有那么多，但是还是比学校助研奖学金（Graduate Research Assistantship, GRA）多不少。而且包括每年参加两次学术会议及论文版面费的研究经费。我在磁重联方面的工作，就是在这个Fellowship的支持下起步的。当然，现在翻出那时写的文章，会觉得很幼稚。可是当时写的时候，还是信心满满地，说：“一劳永逸地解决了”（once for all）某某问题。结果被referee狠狠地教训了一通:p 那篇文章是关于地磁亚暴的，发在JGR上。接着做的是关于太阳物理的，发在ApJ上。再接下来却是一篇流体的（finite time singularity）、一篇磁约束聚变（sawtooth crash）的。没几年的时间，等离子体物理的主要领域都走了一遍，有点踌躇满志的感觉吧。直到毕业那一年在Gordon Conference上（第二年又在UCSB的ITP）与一位有名的前辈科学家John Greene深入讨论磁重联的基本概念，才知道我的一些理解不仅肤浅，有些甚至根本就是错误的。 在New Hampshire和Santa Barbara与Greene先生的那些讨论，让我受益至今。当时他就非常强调磁重联的零点，其重要性我到后来也才渐渐明白。前几年我们通过卫星观测数据分析得到了有关的证据，并看到了很多相关的物理现象。但是那时他已经失去记忆了。否则，有很多我至今仍想不明白的卫星观测结果在他那里一定会有清晰的答案。 Greene先生在去年去世了。作为等离子体物理方面国际最高奖项之一Maxwell奖的得主（1992），他的名字通过“BGK波”留在了物理教科书上。但是，我个人认为，他在磁重联方面的贡献，也许更重要；至少应该不逊于著名的Sweet-Parker模型。他的Maxwell奖获奖报告就是关于磁重联拓扑理论的。与Eugene Parker教授一样，更可贵的是他对科学真理的不懈追求。记得他说过：他那些关于三维磁重联基本理论的文章送出去以后，每次一开始都被Referee们打了回来。提起这件往事他开玩笑说：每次rejected，他就再送。次数多了，那些人也tired了，就让他发了。同Parker教授一样，他也说：越是真正的有科学思想的文章，越容易被rejected；反而是一些平庸的文章容易发表。你们年轻人不要怕文章给人家rejected，要keep trying！ 把这句话转述给刚开始自己career的年轻人。
磁重联漫谈（4）：Sweet-Parker模型
Giovanelli的理论只是一个定性的、初步的想法。而要解决物理问题，需要定量的研究。最早试图定量研究磁重联的模型应该是1957年提出的Sweet-Parker模型。 这个模型应该被称为磁重联的“一维”模型：因为假设了在等离子体携带磁力线进入“扩散区”的方向（“入流”方向，通常选作为x-方向）上的特征尺度远远小于磁力线重联以后携带等离子体离开“扩散区”的方向（“出流”方向，通常选作为y-方向）的特征尺度。至于另外一个方向（z-方向），我们可以称之为“transparent”方向。也就是说，这个方向上的特征尺度更长，所以可以看成是“透明”的，即任何一个z=常数的横截面都应该是相同的——完全忽略了沿着这个方向的变化。 可能有人会问：忽略了z-方向上的变化，那应该是二维模型呀？不错，是二维的。但是因为“出流”方向（y-方向）的变化也是大尺度的，我们在实际的计算中只考虑了这个尺度特征尺度，而没有计入具体的空间变化形式。 这个模型的物理图像是这样的：如果在等离子体中存在一个沿着z-方向的“电流片”，那么电流的方向显然可以看成“transparent”方向。既然是“片”其宽度一定远远大于厚度。于是我们又可以简化其在宽度方向的变化。如果其厚度很薄，在流体近似下可以忽略，那我们就有了电流奇异性（current singularity），而这个奇异性正是Sweet-Parker模型的关键（不过，这一点人们在三十多年后才认识到）。 显然，电流片两侧的磁场是反向的。如果这些反向的磁力线因为外界的驱动或者磁场自身的自由能而相互“靠拢”（merging）。磁重联就发生了。Sweet-Parker模型假设电流片外的物理过程是“稳态”的（steady state），dF/dt = 0 —— 这里和后面d/dt, d/dx都应该是偏导数，可惜没有相应的符号。那么磁通量的变化率（单位时间流入电流区的磁通）应该等于vx dF/dx，这里vx显然是等离子体“入流”的速度，这里的F是磁通。在模型的二维几何下，某一点的磁通定义为：从该点到原点连一条截线，通过这条截线的磁力线根数。根据这个定义，我们有：vx dF/dx = vxBy。这在物理上很明显：就是单位时间在x-方向被带进电流片区的沿着y-方向的磁力线的根数！ 这就是Sweet-Parker模型的“外区解”（outer region solution），再简单不过！ 那么，电流片内呢？ 因为电流片很薄，两边的磁力线merging，所以电流片内vx趋近于零！磁通的变化只有dF/dt这一项。从磁感应方程，DF/Dt = dF/dt = hJ = hBy/D。这里D/Dt用来表示全导数，h是电阻率，J是电流密度，D是电流片的半厚度。后面两个等号前面应该还有常数，为简单起见我们把它们无量纲化了。这个方程就是Ohm定律：电场等于电阻乘电流——因为磁通F显然就是磁场的矢势的z分量，其时间微分就是没有静电分量的电场（差一个光速因子），又是再简单不过！关键点在于把电流Jz= dBy/dx（无量纲化了前面的常数因子）简化成By/D。这很明显：横跨电流片DBy/Dx=2By/2D。D趋向零就等于dBy/dx。 另一个关键点是将“内区解”（inner region solution）的磁通变化率DF/Dt = hBy/D与“外区解”的磁通变化率DF/Dt = vxBy相“匹配”（matching），得到电流片的半宽度D= h /vx。 这是Sweet-Parker模型的神来之笔！就这么一个等号，可以写整整一厚本数学书，名字叫：《渐进方法》（Asymptotic Methods）。具体到这里，用的是“边界层”理论（boundary layer theory）。当然，这么“匹配”会有人不同意的。更严格的理论是在60年代中期发展的。而Sweet-Parker模型真正适用的非线性电阻磁重联理论里，严格的理论一直就没有发展！！（有志气的年轻人不妨做一做。）可是数值模拟和实验研究都证明了这个简单模型的正确！Amazing！
再下面的就是简单的不可压缩性：vxLy= vyD。这里Ly就是电流片宽度方向的特征尺度，vy则是“出流”的速度（物理上可以证明等于当地的Alfven速度）。带入D= h /vx，我们得到Sweet-Parker模型最重要的结论：磁重联的速率（磁力线进入电流片即“扩散区”的速率）
vx～D～h 1/2 这个结果，虽然屡受挑战，但在电阻磁重联理论中“独领风骚”的地位至今难以动摇。 这再次告诉我们：只要抓住了关键，就可以用最简单的模型（这个模型仅仅是个一维模型——另一维的info仅仅是在不可压缩性里引入了一个尺度Ly）得到最重要的结果。 我们常说：某个工作有“物理”。这就是“物理”！ 这个模型是1957年Sweet在一次会议上提出的几何模型和设想（会议文集1958年发表）；同年Parker（就是提出“太阳风”理论的那位）在JGR上发表了第一篇有上述推导过程的论文。 当然，这个模型仅仅是一个“半定量”的“scaling”模型。“严格”的理论是后来才发展起来的。
磁重联漫谈（5）：Sweet-Parker模型（续）
Sweet-Parker模型看起来很完美，特别是其给出的vx～D～h 1/2的磁重联速率。 记得当年在UC Santa Barbara的ITP做访问的时候，一位Fields奖得主来讲Knot理论，举了一个有意思的例子： 假设有N条平行的高速路，再在其上架设另一方向（与下面的路成一个角度）的N条平行的高速路。这样“上面”的交通和“下面”的交通相互独立。所以可以看成分属两个拓扑结构。如果上面任意一条路上的交通要到下面去，就要进行N个“操作”，即与下面的每条路都要交叉一次。我们把每个操作定义为一次“crossing”。那么整个拓扑的改变（上面的交通全部转到下面去）就需要N平方个“crossing”。 另外一个数学家站起来说：有一个办法可以减少“crossing”的数目！这些“高速路”构成一个有N平方个可能做“crossing”的点的网格。只要我们沿着其中的一列（或者行）做这样的操作：在每个交叉点上把要“交汇”的上下两条高速路“断开”，然后再把上面的右半条（或者平面顶部半条）与下面的右半条（或者平面顶部半条）“重新连接”起来；把上面的左半条（或者平面底部半条）与下面的左半条（或者平面底部半条）“重新连接”起来；则只需要N次操作，所有上面的交通都可以“下去”，所有下面的交通也都可以“上来”！ 物理学家们起来说：第一种情况是“扩散”：把上面的交通都“扩散”到下面去，下面的也“扩散”上来；而第二种情况是“重联”：不同拓扑结构通过“断开”和“重新连接”而联通起来！ 这是个典型的二维重联问题！ 有意思的是，我们知道磁扩散率是和电阻率 h 成正比的。根据上面的拓扑理论，这对应N2——而其“重联”率是N——正是“扩散”率的平方根！！ 这就是Sweet-Parker模型的结果：磁重联速率正比于 h 1/2 ！ 另外，可以看出：“扩散”可以随处发生，但是“重联”只发生在一个特殊的“列”或者“行”。物理上，这个选择不是任意的，而是在一定的拓扑结构“separatrix”上。（等离子体物理学界的同行们通常翻译成“分形线”（2D）或者“分形面”（3D）。）
磁重联漫谈（6）：简短几句
无碰撞磁重联应该最后谈，因为很多重要问题没有解决。但是有读者问起，就简单说几句笔者个人的看法。 问题1：您说过，电阻磁重联中电子和离子是从一根磁力线被“碰撞”到另一根磁力线。在Hall重联过程中，在扩散区电子离子运动分离，只有电子冻结在磁力线上。这样磁力线带着质量轻的电子会运动更快、重联更快，这应该是Hall effect加速磁场重联的物理图像吧。在这里我想问电子从一根磁力线跑到另一根磁力线的机理是什么？Hall effect并不是耗散项（磁通扩散项），在Hall reconnection中，若是没有电阻项重联还会发生吗？因为我看到别人做Hall MHD reconnection时，电阻项都被保留。 第一：是的，电阻磁重联是因为碰撞引起带电粒子从绕着一条磁力线转“变换”到围着另一条磁力线转；Hall磁重联是因为离子的非磁化使得磁力线在Hall效应起作用的离子惯性区得以“甩掉包袱（离子）”，“轻装前进（只携带电子）”，或者说，磁力线的“惯性”突然变小，速度突然变快！ 第二：但是如问题所说，到底是什么机制“break the field line”，或者说使得电子从一条磁力线跳到另一条（所以我们不再能clearly identify a field line），还是一个open question。今天上午笔者在这里的International Substorm Workshop上lead磁重联session的讨论时，这正是outstanding issues之一。一个可能的candidate是波对电子的散射引起的所谓“反常电阻”效应，比如低混杂波（一种频率介于电子与离子回旋频率之间的静电波）对电子的散射。 问题2：那么，在托卡马克中的collisionless reconnection, 往往是电子惯性项被保留，而不是Hall项。这里想请王老师谈一谈电子惯性项加速磁场重联的物理图像是什么；在这里（有电子惯性项没有Hall项），离子的运动特征是什么？在m=1 kink-tearing和m>1 tearing, 电子运动特征的主要差异是什么？ 这里是好几个问题： 第一：托卡马克磁重联研究中，m=1的kink-tearing研究一般投影在磁场方向，所以没有Hall电场项，但是有沿磁场方向的电子压强梯度项（而非电子惯性项）； 第二：对磁重联的加速体现在沿磁力线的电子压强梯度。但是，如果电子没有惯性，这一项会很快将电子加速到速度无穷大！这又是一个遇到奇点的时候必须把丢掉（忽略）的物理效应再捡起来的例子。注意：电子惯性反而是“减慢”的效应！ 第三：对于标量压强，其梯度是没有贡献的（因为在磁感应方程里,it is the curl of the term that really matters）；所以只有压强张量的非对角项有贡献。而这些非对角项一般认为是turbulent Reynolds stress——我们再一次看到电子运动与湍流谱相互作用的贡献！这可能给我们指出一条最后明白这个问题的路。 至于m>1 tearing modes，其本征函数是localized，与m=1 kink的globalized本征函数有根本的不同，所以本质上是慢时间尺度的电阻磁重联。 这些问题的具体物理图像，我们会慢慢讨论。
磁重联漫谈（7）：Petschek模型
Sweet-Parker模型虽然很成功，但是存在一个致命的问题：磁重联的速率太慢。事实上，太阳大气等离子体的电阻率大约在1/1010-12，由此得到的重联率vx～h 1/2～10-5-10-6 Alfvén速度，远远不能解释像日耀斑这样的快过程。 人们注意到Sweet-Parker模型重联率所以相对比较慢，原因是其重联区的拓扑结构近似是一维的，即我们前面说的：“等离子体携带磁力线进入‘扩散区’的方向（‘入流’方向，通常选作为x-方向）上的特征尺度远远小于磁力线重联以后携带等离子体离开‘扩散区’的方向（‘出流’方向，通常选作为y-方向）的特征尺度。”这样，由于“出口”太小、“进口”太大，导致已经“merging”到扩散区附近的磁力线的“排队等候”，物理学家用的词汇叫magnetic flux“piled up”。（这样的过程会在重联区形成很薄的强电流片，其物理效应我们以后再谈。）因此，有人（Petschek，1964）提出一种“快”磁重联模型：认为重联区的拓扑是呈具有X分形线的二维结构，这样入流区（在y-方向上的）长度与出流区（在x-方向上的）宽度大约在同一个数量级。而出流的“喇叭口”形状会形成一个如钱江潮的“慢激波”（道理相似，但相对运动方向相反）。根据这个“slow shock”（慢激波）上下游的连接条件，可以得到磁重联的速率 vx～- ln h >> h 1/2 >> h 这个几乎与电阻无关的重联率基本上可以很好解释日耀斑这样的快过程。 但是人们后来发现，在Petschek模型的物理讨论所依赖的电阻磁流体框架下，无法得到X型的磁场几何结构，除非电阻很大—— h > 10-3 （W. Park, et al, 1984: Phys. Fluids 27, 137; D. Biskamp, 1986: Phys. Fluids 29, 1520; Z. W. Ma et al, 1995: Phys. Plasmas 2, 8）。而对于这么大的电阻，- ln h 与
h 1/2的重联率几乎没有可以明显区分的差别！而在对应实际物理世界的电阻很小、Sweet-Parker和Petschek这两种模型的结果有可以明显区分的差别的情况下，1980年代以后发展的高精度的数值模拟结果告诉我们：即使初始条件取Petschek模型的磁场分布，我们也总是得到Sweet-Parker的电流片几何位形和h 1/2的重联率！ 后来人们才意识到：尽管Petschek模型的磁场拓扑结构是出于增大重联率的正确考虑，但是使用的电阻磁流体的物理模型是错误的！正确的快磁重联模型依赖于1990年代无碰撞磁重联理论的发展。
磁重联漫谈（8）：Tokamak的“有理”磁面
（一位朋友批评说：应该多写点托卡马克！写这么多磁重联，年轻人都去做磁重联了！ （写的时候没有想到这一点:p。无非是觉得自己对这个问题还有一些心得而已。这就做一点改正。其实等离子体物理的研究方向确实很宽。大家看了主要还是学习分析问题的出发点和方法。至于选择的具体方向，不妨根据自己的喜好、国家的需要、和单位的情况。） 笔者前面说到：“正确的快磁重联模型依赖于1990年代无碰撞磁重联理论的发展。”但实际上无碰撞磁重联理论早在1966年就与电阻磁重联的理论（而非模型）同时发展起来了。但是在介绍无碰撞磁重联的早期理论之前，我们先介绍电阻磁重联的理论发展。 前面说到的Sweet-Parker模型也好、Petschek模型也好，都还是半定量的模型，算不得定量的“理论”。电阻磁重联的线性理论最早是1963年由Furth, Killeen, Rosenbluth提出的（Phys. Fluids 6, 459, 1963），被称为FKR理论。这个理论是针对在Tokamak位形下有理面上因为磁重联引发的“撕裂模”（Tearing modes），利用渐进方法中的边界层（Boundary Layer）理论，第一次得到电阻磁重联（撕裂模）的线性增长率。 笔者不打算在这里谈具体的数学计算，只是强调几个要点。 首先，介绍一下“有理面”： 磁约束等离子体的Tokamak环形装置看着像“轮胎”，或者“Donut”。里面的等离子体被约束在一层一层套着的“轮胎”（或者“Donut”）形状的“磁面”上——每个磁面都是一根磁力线绕成、并用一个物理量q来表征。显然q是随着“轮胎”小环半径r连续变化的——q=q(r)。这个物理量人们称之为“安全因子（safety factor），数值上等于磁力线绕大环的圈数和绕小环的圈数之比。 因为q是连续变化的，所以一定是由分立的有理数和这些有理数之间的连续的无理数组成。那么在那些具有有理数m/n的q值的磁面（我们称为“有理面”（rational surface））上，磁力线绕大环m圈同时正好绕小环n圈！所以有理面上的磁力线有下述性质：1）首尾相接的闭合曲线，2）只覆盖磁面上一个“测度”为零的部分。 这两个性质非常重要！Tokamak等离子体中千变万化的各种模式，大都是因为这两个性质或其中之一引起的。 我们先来看分立的有理面之间的那些连续分布的无理面（irrational surface）。很显然，因为这些面上q是无理数，所以磁力线不会在绕大环有限圈之时正好也绕小环有限圈，而只能这么无限地绕下去——铺满整个磁面。因为在等离子体中磁力线自身的“张力”，所以这些“无理”磁面非常“结实”。这就是为什么Tokamak整体约束还是不错的。但是那些磁力线“只覆盖磁面上一个测度为零的部分”有理面，特别是“低模数”（m、n很小）的、磁力线只绕那么一两圈的有理面，就显得格外“软”。而且更重要的：因为磁力线的周期性（首尾相接的有限长闭合曲线），则对于任何局域的扰动——沿着磁力线传播的都会传回来；垂直磁力线传播则总会有一个模数为（m, n）的本征模与这个有理面（q=m/n）上的磁力线的几何结构“共振”！从而引起各种不稳定性的增长。所以Tokamak上的有理面也称“共振面”（resonant surface）。
对于Tokamak中的磁重联过程来说，我们强调两点：第一，有理面是磁场的“拓扑分形面”（topological separatrix）；第二，有理面上的磁力线满足周期条件。这两点非常重要。后来的所谓“分量重联”理论忘掉了这两点（特别是最后一点），导致一些荒谬的结果。
磁重联漫谈（9）：有理面上的奇异性
前面说到：FKR理论“是针对在Tokamak位形下有理面上因为磁重联引发的‘撕裂模’”。但是Tokamak的有理磁面都是轮胎形状的曲面。这样几何位形下的问题，处理起来是有一定难度的。 事实上，我们在研究等离子体的“宏观”尺度（一般指装置的特征尺度）约束时，理想磁流体理论是很好的近似。如我们在《磁重联漫谈（1）》中所说：“在等离子体的理想磁流体（ideal magnetohydrodynamics, or ideal MHD）近似下，等离子体与磁力线是‘冻结’（frozen in）
在一起运动。形象地说，就如我们小时候喜欢吃的‘棒冰’的冰冻结在中间的棍上一样。更准确的比喻是串在中间的杆儿上的算盘珠：可以很容易的沿着杆儿运动或者‘回旋’运动，但是没法‘跨越’这一根杆儿到另一杆儿上去。当然，如果等离子体中有不均匀性，还是会产生横越磁力线的‘漂移’（drift），但是如果磁场限制在有限的体积内，这种‘漂移’运动仍然限于同一磁力线所螺旋缠绕成的磁面上：不过是‘抄近路’到同一磁力线的另一部分而已。就像调皮的孩子在螺旋滑梯上直线地从‘一层’跳到‘另一层’。” 但是在这一近似下，等离子体磁通（Magnetic Flux，相当于磁矢势的主分量）的本征函数解在有理面上产生“奇异性”——其一阶导数（相当于磁场）产生阶跃；二阶导数（电流）产生delta函数奇异性。正如我们在前面（《物理学中的奇点》）讲到的： “数学物理方程的奇点表明，原来赖以得到这个方程（或者这组方程）的物理假设或者近似在这一点及其邻域不再成立，需要引进新的物理效应甚至新的物理模型。 。。。 “为了resolve这个‘奇点’，在物理上我们或者引进耗散效应（如粘滞或者电阻）、或者引进构成介质的微观粒子本身的‘分立’效应（如带电粒子的回旋半径这样的动理学（kinetic）效应）。” 如果我们在有理面附近非常薄的一个薄层里（在理想磁流体极限下这个薄层的厚度为零！）引进耗散（电阻）效应，导致电阻撕裂模理论（即FKR理论和Rutherford理论）；如果引进动理学（kinetic）效应，则给出无碰撞撕裂模理论。 正因为这个薄层非常薄，给我们处理问题反而带来极大的方便：第一，我们可以把轮胎形状的有理面沿着“赤道平面”切一刀，再沿任一环向角切一刀，展开成一个平面；第二，我们可以利用“边界层”理论来处理这一问题。 那么，有理磁面为什么会有这种奇异性？ 这是因为，连续变化的无理磁面的集合中嵌入一个具有分立性质有理磁面，相当于在连续变化的磁场结构中引入了拓扑不连续性。在理想磁流体图像中，磁场和等离子体是“冻结”在一起的，这种拓扑不连续性便转化成物理的不连续性（和更高阶导数的奇异性）。 这种理想磁流体图像中拓扑不连续性与物理不连续性的“不变性”，应该可以用一个数学定理或者物理量守恒定律描述。
磁重联漫谈（10）：有理面上的边界层
前面讲到有理面上的奇异性，提到：“正因为这个薄层非常薄，给我们处理问题反而带来极大的方便：第一，我们可以把轮胎形状的有理面沿着‘赤道平面’切一刀，再沿任一环向角切一刀，展开成一个平面；第二，我们可以利用‘边界层’理论来处理这一问题。”这两点是研究像磁重联这样在大尺度下存在“奇异性”的数学物理问题的关键。 其中“第一点”将复杂的三维问题变成了“一维”问题！ 把有理面展开成一个平面，则在两个延伸方向（大环和小环方向）上都有周期条件。做相应的Fourier展开之后，在每个特定的有理面上只有一个Fourier分量。且对应的微分符号变成代数符号。这样三维的微分方程在两个方向上“代数化”了，只剩下小环径向的变化。在物理上，这是由于有理面上的奇异性导致垂直有理面的特征尺度远远小于其它两个周期条件方向的尺度。 而“第二点”则为解决这样的问题提供了常用的方法。 我们知道，对连续介质中没有外部驱动时物理量 F 随时间演化的典型数学物理方程基本上都是带有耗散项的“抛物型”方程，比如
dF/dt = DF/Dt + vDF/Dx = lD2F/Dx2 这里D表示偏微分。方程的右边是所谓耗散项，l是耗散系数。如果F是磁通（磁矢势的某一分量），则这个方程就是欧姆定律：左边是“电场”（包括v x B部分），l是电阻，D2F/Dx2是电流。等等。如果耗散很弱，耗散系数l非常非常小，则我们可以做“理想情况下”的近似，令l = 0。物理上就是，如果系统的特征尺度是L，那么，对应耗散（dissipation）的特征时间显然就是TD=L2/l。l 趋于0对应于物理量F被dissipated的时间趋于无穷大。所以近似有dF/dt = 0，或者说，F基本保持不变。 这样的近似在绝大多数区间是适用的。但是如果区间里存在着奇异性，问题就来了：这个奇异性存在于一个很小的区间，引进一个非常小的特征尺度D。则其对应的特征时间尺度tD=D2/l 成为一个可以和系统特征运动时间T0相比拟的有限值！相应的，在这个奇异面上，方程右边的耗散项就不能忽略。这时，理想近似下得到的所谓“奇异面”因为这个耗散效应的存在变成了“奇异层”。显然这个“奇异层”的厚度
D ～ （lT0）1/2 （我们又看到了Sweet-Parker模型的1/2方关系）。 这样一类在“奇异层”外部可以用“理想近似”求解，但是在其内部必须考虑耗散项的数学物理问题，我们称之为“边界层问题”（Boundary Layer Problems）。求解的方法称为“边界层方法”。
磁重联漫谈（11）：边界层方法
前些日子收到空间中心一位研究生的来信，谈到他们组织了一个讨论班，每周开一次讨论会。笔者的这几篇“磁重联漫谈”也是他们讨论的内容。 第一个感觉是：我们做学生那会儿的钻研科学的风气还是一直传承下来了。前些年听到过好多同事感慨，学校的科学讲座没有多少人听，有时还要通过学工部的人组织学生去、或者是把听讲座作为得学分的要求。听说这些学生自己组织起来学，很高兴——不仅为他们的钻研精神，更为中国科学事业的发展前景。所以他们的组织者提出让我去讲一讲，没二话就答应了。 昨晚去玉泉路。大概有二、三十位研一的学生吧。都是很认真、好学的。而且很聪明，物理的直觉很好。这个“漫谈”即使只为这些年轻人写，也值得！ 继续说磁重联。 上一次讲到处理有理面上奇异性的“边界层方法”。数学上这种方法属于“渐进方法”（Asymptotic Methods）的一种。具体作法是：将所研究的物理问题分成两个区来讨论，一个是我们原来所研究的、理想磁流体近似成立的、但是“抠去”了奇点的“外区”（outer region）；一个是理想磁流体解的奇点的“邻域”所形成的“内区”（inner region）。在外区仍然使用理想磁流体方程，得到原先的有奇点的理想磁流体近似解。但是因为“抠去”了奇点（“拓宽”为内区），所以在外区理想磁流体近似解是“解析”的。而在内区，或者引入耗散（电阻），或者引入动理学效应（带电粒子回旋、电子惯性、乃至湍流效应等），得到resolved奇点的“内区解”。 数学上这样比较严格的表述听起来很“绕”，但是物理图像很简单：大尺度下理想磁流体是很好的近似，但是在小尺度下物理量（比如磁场、电流）的显著变化使得这个近似不再成立，必须把原来忽略的物理机制“找回来”。 在数学上马上遇到一个问题：外区和内区之间的界面在哪里？使用何种“边界”条件来连接这两个区的解？这是“边界层理论”的关键所在。 因为内区和外区使用不同的方程：比如内区使用电阻磁流体方程组，外区使用理想磁流体方程组，所以两个区的解无法在“边界”上平滑地连接。所以，任何直接做这种连接的企图都会导致解的一阶微商在连接点的不连续及二阶微商的奇异性。也就是说：这样做其实就是把原来的奇点分成两个隔开一点的奇点而已！那么，如何解决这个问题呢？ 具体作法是：如果原来的奇点作为坐标（比如x）原点，我们可以将外区解与内区解“匹配”起来，即令外区解在xà±0时的极限等于内区解在xà±∞时的极限相等，作为连接内外区的“边界条件”——数学上称为“匹配条件”（Matching Condition）。 这在严格的数学意义下显得有点匪夷所思。可能这也是“渐进方法”至今只是应用数学的一个分支，而不登数学的大雅之堂的原因之一吧。但是在物理上这很好理解：从大尺度的外区看过来，在趋近小尺度（xà±0）的时候，非理想磁流体的效应正是将要显现而没有显现；而从小尺度的内区看出去，在趋近大尺度（xà±∞）的时候，非理想磁流体的效应正是将要消失而没有最后消失。 这就是“边界层理论”的精要所在。 大家周末愉快！
磁重联漫谈（12）：撕裂模的线性理论
前面介绍了“边界层方法”。这里我们利用这个方法来讨论Tokamak等离子体中的“撕裂模”。 “撕裂模”（Tearing Modes）这个名字，最初是用来形容这个不稳定模式发展起来以后“电流片”被“撕裂”（或者说，“丝化”）的现象。现在看来这个想法是“Too naïve, sometimes too simple”。事实上，电流并没有如人们开始想像的那样聚集到磁岛的中心（O-点附近），而是分布在磁岛的“边缘”，也就是“磁分形线”附近。因为这些“磁分形线”在X-点交汇，所以X-点反而是电流最强的地方。当然“撕裂模”这个名字还是被沿用下来了，不过现在是表示“磁场拓扑结构”被“撕裂”。 在理想磁流体近似下我们已经得到了“外区”的磁场不连续、电流奇异性的解。由边界层理论知道，只要我们知道了“内区”的解的形式，再利用matching条件把内、外解“连接”起来，问题就解决了。 对Tokamak等离子体中的“撕裂模”（除了m=1的扭曲-撕裂模）来说，内区解满足所谓“常数磁通”（Constant-y）近似。即对于空间变化来说，磁通函数y（相当于垂直磁重联过程所在平面的磁矢势分量）在“内区”近似地是一个常数，即仅随时间变化。这个空间分布的近似常数，表示在某一特定时刻有多少条磁力线被“重联”。“常数磁通”近似的物理实质是，相对于磁通函数来说，磁场在不连续处的跳变是有限的。 在“常数磁通”近似下得到电阻磁流体方程组的内区解，然后利用前面介绍的边界层理论方法与理想磁流体方程组的外区解“连接（matching）”，Furth，Killeen，与Rosenbluth第一次得到了托卡马克等离子体中电阻撕裂模的线性增长率（Phys. Fluids 6, 459, 1963）。这个增长率的标度是电阻率的3/5次方，比Sweet-Parker的重联率（标度为电阻率的1/2方）要慢得多（考虑空间及实验室等离子体中电阻率一般是10-10的数量级）。后来人们发现，Sweet-Parker的重联率实际上是“非常数磁通”（Non-constant-y）电阻撕裂模在非线性阶段的时间尺度。 与电阻撕裂模线性理论发展的同时，无碰撞（零电阻）撕裂模线性理论也发展起来（Laval, Pellat, and Vuillemin, 1966: in Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research 2 (IAEA), p259；Coppi, Laval, and Pellat, 1966: Phys. Rev. Lett. 16, 1207）。被称为LPV撕裂模理论。 我们知道，磁重联的物理本质是等离子体在重联区的“退磁化”。这种“退磁化”效应或者是碰撞引起的，或者是带电粒子的有限Larmor半径效应（FLR，Finite Larmor Radius）引起的。前者适用电阻撕裂模理论；后者适用无碰撞撕裂模理论。对于前者，内区物理过程用电阻磁流体方程来描述；而对于后者，内区物理过程应该用带电粒子的动理学（kinetic）方程来描述。 因为电子的回旋半径远远小于离子的回旋半径，所以在电子回旋半径的尺度范围，离子早已“退磁化”了。LPV理论就是基于这样的图像，在内区只考虑电子的动力学，而只把离子作为中性背景。在此假设条件下，得到内区解；然后与外区的理想磁流体解连接，最后得到无碰撞撕裂模的线性增长率。这个增长率显然与电阻无关，而与电子回旋半径的3/2次方成正比。
磁重联漫谈（13）：撕裂模的线性理论（续）
上一篇提到，因为电子的回旋半径远远小于离子的回旋半径，所以在电子回旋半径的尺度范围，离子早已“退磁化”了。LPV理论基于这样的图像，在内区只考虑电子的动力学，而只把离子作为中性背景，得到无碰撞撕裂模的线性增长率与电子回旋半径的3/2次方成正比。 这一结果很快被U Maryland的李逸群（Y C Lee）教授和J F Drake博士推广到了强磁化的Tokamak等离子体中。他们首先利用简单的物理分析估算出线性无碰撞撕裂模的增长率，然后从由Vlasov方程来推导。“严格”的理论结果和物理的估计符合得很好。堪称如何“做物理”的一个范例。 但是，90年代托卡马克物理实验进展和更快速的计算机的高精度大规模数值模拟手段的发展，使得人们认识到60年代开始发展起来的那些以电子动力学为主的无碰撞撕裂模的线性理论是不完全的。事实上，在理想磁流体过程主导的“外区”和电子动力学主导的“内区”之间，存在着一个“离子惯性区”。在这个区域内（宽度近似为“离子惯性尺度”），离子“退磁化”的结果，使得磁力线卸去了沉重的离子惯性而只携带着依然磁化的电子运动。因此，磁力线运动的“惯性”突然降低了3个数量级。导致在这个区域里磁力线（及磁化的电子）的突然“加速”。而“退磁化”的离子则继续减速——和电子运动互相“解耦”。这是典型的Hall效应。所以“离子惯性区”也被称为“Hall效应区”。这样，原来的“内外区”边界层理论必须分成三个区来求解：MHD区（外区），Hall区（中间区），电子动力学区（内区）。 可是实际上相应的理论并没有发展起来。主要原因应该是由于Hall效应起重要作用的地球空间等离子体中，Harris电流片的厚度（相当于“外区”宽度）常常薄到“离子惯性尺度”。所以渐进方法失效。而且对于空间等离子体过程来说，线性稳定性并不重要。由于数值手段的发展，人们现在基本上是采用数值模拟的方法来对这一问题开展研究。因此发展起来的研究领域，被称作Hall MHD Reconnection（Hall磁流体磁重联）。 这里的所谓“离子惯性尺度”是由光速与离子等离子体频率之比c/wpi来定义的。相应于我们熟知的电子趋肤深度c/wpe，这一尺度的物理意义并不直观。如果考虑离子的“退磁化”，对应的特征尺度应该是离子回旋半径Vi,the/Wci——离子热速度与离子回旋频率之比；或者“离子声”回旋半径cs/Wci——离子声速与离子回旋频率之比。但是我们如果重写“离子惯性尺度”就发现：c/wpi=VA/Wci！即等离子体的Alfvén速度与离子回旋频率之比。因此“离子惯性尺度”具有“Alfvén”回旋半径的非常直观的物理意义！而且这个尺度有一个特殊的性质：与磁场强度无关！这就是为什么这个尺度适用于磁零点附近的区域。事实上，离子惯性尺度只与等离子体密度有关（其它参数如光速、基本电荷、圆周率等都是自然界的基本常数）。
磁重联漫谈（14）：“离子撕裂模”迷雾
说起无碰撞撕裂模的线性理论，有一段历史值得一提。 前面说到无碰撞撕裂模线性理论，即LPV理论，在发表时主要针对在地球磁尾等离子体中的应用：将地磁尾磁场简化成东西方向流动的“越尾电流片”（cross tail current）南北两侧、地-日连线方向上的反向磁场。而磁重联则被看成是零磁面（neutral plane）附近“非磁化”效应引起的。但是实际上地磁尾是地磁“偶极场”在night side被太阳风拉伸的结果——也就是说，无论拉伸得多厉害，在所谓的“零磁面”neutral plane上总是存在的一个垂直该面、南北方向的非零“normal”磁场分量。因此电子在neutral plane上仍然是被磁化的。而且由于在这种情况下磁力线变成一组抛物线型的曲线，磁扰动引起形变在neutral plane上表现为磁力线的疏密变化；而环绕磁力线的电子的密度也被压缩和拉伸。这时，磁场扰动能量被转换成压缩电子密度的能量，撕裂模被稳定。 这种磁场分布的稳定性的本质，是原来被零磁面分隔成两个不同拓扑区域的磁场结构，因neutral plane上的“normal”分量联系起来。因此，扰动磁场只是使得磁力线变得疏密相间，但不再引起磁场拓扑的变化。 可是这样简单的物理图像当时却没有人想到！ 70年代对这样的磁场位形下的撕裂模稳定性的解释是：电子压缩效应（Electron Compressibility）。因此有人提出：虽然电子被磁化了，但是如果normal磁场分量足够小，离子仍然是非磁化的，有可能提供不稳定性的自由能。 于是就有人来看色散关系：
1/g=1/Ge+1/Gi。
这里 g 是撕裂模的增长率，Ge是电子的贡献，是Gi离子的贡献；分别同各自的质量的平方根成正比。所以Ge<<Gi，1/Ge>>1/Gi。近似有
1/g=1/Ge， g=Ge=ge。
人们就把色散关系改写成：
1/g=1/g e+1/gi。
这样写不是不可以，只要记住g e和g i的物理意义，把它们看成代表不同粒子贡献的参数。可是有人就误解（或者说“偷换”）了这一概念：既然电子对不稳定性没有贡献了，就简单地把它的那一项拿掉。于是把电子磁化、离子“非磁化”条件下的色散关系写成：1/g=1/gi，则
g=gi。
并把这一新的“不稳定模式”称为“离子撕裂模”。因为g i比g e至少大40多倍，所以“离子撕裂模”反而变成了更快增长的不稳定性！！ 尽管1986年，LPV三人中的Pellat和另一位法国物理学家Lembege指出了“离子撕裂模”的错误 。但是没有打中要害。致使这一理论竟然统治了磁尾磁重联研究20年之久！到90年代初期甚至有所谓“ideal tearing”的理论出现。可见当时对磁重联的物理图像的理解上的混乱。 其实，问题的本质在于我们前面说过的：扰动磁场只是使得磁力线变得疏密相间（即激发沿neutral plane传播的磁声波），但不再引起磁场拓扑的变化。 陈省身先生说得好：几何物理是一家。对物理过程的拓扑直观，往往能够更清楚地看到其物理本质。对磁重联研究来说尤其如此。
页: [1]
查看完整版本: 磁重联漫谈（转自王晓刚博客）
No comments:
Post a Comment