事实上，我问的是如何“理解”，这和如何定义，是有区别的，要我一个非物理专业的人去理解维基百科或是曾老师版量子力学里所谈到的，非常抽象非常空洞，满版图的公式与算符。这对于非数学物理专业人来说，我光去从里面的一个个定义追根溯源，都绝对是噩梦。
我想知道的，只是作为量子力学数学意义的希尔伯特空间该如何理解，对于这种抽象的数学问题，你不知道如何解，我更不知道如何问，也许我只需要一个能理解这个定义在物理上应用价值的答案，也许是我问题提的的不够完善，造成了您的困扰，特此补充。
我想知道的，只是作为量子力学数学意义的希尔伯特空间该如何理解，对于这种抽象的数学问题，你不知道如何解，我更不知道如何问，也许我只需要一个能理解这个定义在物理上应用价值的答案，也许是我问题提的的不够完善，造成了您的困扰，特此补充。
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9 个回答
如果不深入的追究，Hilbert空间实际上理解起来很简单，从定义来看就已经很清楚来啊。
Hilbert空间是作为完备函数系用来展开其他函数的。这个基本是微积分一开始就教的内容。一开是理解积分的时候，是把一个函数的定义域等间隔分成一些区间，（从图像上看比较清楚）然后算出每个小区间的面积，然后累加起来。这个累加可以写成向量(矩阵)的形式。然后如果我们要算两个这样的向量的内积，就简单的用向量内积的定义就可以了。
可是问题在于，这是两个函数啊，怎么能有内积呢？实际上这个内积就是这两个被积函数乘积的积分的近似(只需要上面积分的定义域分割区间越来越小，也就是分割的区间个数越来越多，对应的就是向量的维度越来越大)。这样我们就根据向量内积定义来函数的内积。(这个大概大家都知道了)
通过这样的类比，有些函数其实可以像向量一样使用，等价于一个无穷维度的向量(当积分的分割的小区间的个数趋于无穷的时候，这个积分才是准确的，也就是说我们定义的函数的内积的准确值等价于两个无穷维度的向量的内积)。(换句话来说，如果我们需要用到无穷维的向量空间，那么向量的内积需要用积分来算。)
Hilbert空间是作为完备函数系用来展开其他函数的。这个基本是微积分一开始就教的内容。一开是理解积分的时候，是把一个函数的定义域等间隔分成一些区间，（从图像上看比较清楚）然后算出每个小区间的面积，然后累加起来。这个累加可以写成向量(矩阵)的形式。然后如果我们要算两个这样的向量的内积，就简单的用向量内积的定义就可以了。
可是问题在于，这是两个函数啊，怎么能有内积呢？实际上这个内积就是这两个被积函数乘积的积分的近似(只需要上面积分的定义域分割区间越来越小，也就是分割的区间个数越来越多，对应的就是向量的维度越来越大)。这样我们就根据向量内积定义来函数的内积。(这个大概大家都知道了)
通过这样的类比，有些函数其实可以像向量一样使用，等价于一个无穷维度的向量(当积分的分割的小区间的个数趋于无穷的时候，这个积分才是准确的，也就是说我们定义的函数的内积的准确值等价于两个无穷维度的向量的内积)。(换句话来说，如果我们需要用到无穷维的向量空间，那么向量的内积需要用积分来算。)
受邀。每次这样数学概念的问题我都很无语。
我理解提问者一定是对教材有不懂的地方，但能不能告诉大家你怎么理解，哪里不懂，大家就可以有针对性地回答。
像这样泛泛一问，我的解释都不会和教科书有任何差别，直接去看教材不就完了。
我都懒得去找维基链接了……Hilbert空间就是定义了内积的向量空间……这样对你会有任何帮助吗？
我理解提问者一定是对教材有不懂的地方，但能不能告诉大家你怎么理解，哪里不懂，大家就可以有针对性地回答。
像这样泛泛一问，我的解释都不会和教科书有任何差别，直接去看教材不就完了。
我都懒得去找维基链接了……Hilbert空间就是定义了内积的向量空间……这样对你会有任何帮助吗？
曾博，http://wikiphysica.org/ 懂物理，会光学
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华严 赞同
大概的说，hilbert空间是这样一个抽象的空间，其中存在向量可以被用来描述量子力学中体系的状态；这些向量都必须存在正定的内积，也就是这些状态的概率非负；这个空间存在厄米算子，其代表可观测量；这个空间存在UNITARY 操作，对应的是3维空间中的旋转操作，表征保持状态概率不变的那些操作。
说到这里就很清楚了，hilbert空间是为了描述量子力学态而引入的一个抽象空间（也可以是早就存在在数学体系中，被借鉴的一个空间）。因此hilbert空间中存在很多更加抽象的性质，一般的物理学家是不会用的。你只需要知道量子态的矢量，长度，对偶矢量，厄米算子，unitary操作，概率矩阵和 trace，子空间的直和和张量积，态的实空间表征和动量空间表征以及一些微扰论即可。具体的，角动量casmir operator和角动量的合成，还有oscillator的ladder operator的求解，这些基本就是一个general physics 所需要的非相对论性量子力学的全部了，这也是量子力学最有用的部分。很多人学了很高级的东西这些东西也没有搞透。。。
说到这里就很清楚了，hilbert空间是为了描述量子力学态而引入的一个抽象空间（也可以是早就存在在数学体系中，被借鉴的一个空间）。因此hilbert空间中存在很多更加抽象的性质，一般的物理学家是不会用的。你只需要知道量子态的矢量，长度，对偶矢量，厄米算子，unitary操作，概率矩阵和 trace，子空间的直和和张量积，态的实空间表征和动量空间表征以及一些微扰论即可。具体的，角动量casmir operator和角动量的合成，还有oscillator的ladder operator的求解，这些基本就是一个general physics 所需要的非相对论性量子力学的全部了，这也是量子力学最有用的部分。很多人学了很高级的东西这些东西也没有搞透。。。
苏磊、Yujie Jiao、闫理跃 赞同
我觉得希尔伯特空间最大的好处是可以定义内积，有了内积，你就可以讨论很多熟知的几何性质，比如定义两个函数的夹角，而能定义夹角你就知道了什么叫做正交性，同样可以定义（随机变量）相关性等概念。
以前还听一个老师说过，平方可积的信号叫做能量受限信号。那么如果你把函数看做是这个物理世界的一个信号的话，希尔伯特空间的信号才能定义能量，这一物理学上极其重要的概念。
以前还听一个老师说过，平方可积的信号叫做能量受限信号。那么如果你把函数看做是这个物理世界的一个信号的话，希尔伯特空间的信号才能定义能量，这一物理学上极其重要的概念。
说说我的理解: 做个类比,一般的3D矢量空间(我们最常见的)和Hilbert空间.在3D的矢量空间中, 基底是i,j,k. 维度是3(有限维). 这三个基本的基矢量是完备的(矢量空间中任何一个元素都可以用这3个基底展开,系数唯一), 正交的(不同的基底做点积为0.). 矢量空间中的任意两个元素之间可以定义算符F, 也就是操作. 我们常常对保持元素A长度(自己和自己点积,A*A)不变的操作感兴趣, 这样的操作形象上讲是转动, 抽象些讲是满足F^2=1的操作,或者叫变换.
好了, 再看看Hilbert空间, 基底一般是函数,常见的是含有各种频率的平面波函数,一种频率对应一个基底 维度是无穷.这些基底, 即平面波函数是完备的(Hilbert空间中的任何元素都可以用平面波函数展开, 其实就是指傅里叶变换), 正交(平面波函数做"点积"为delta函数). Hilbert空间中任意两元素也可以定义算符G, 也就是操作. 我们常常对保持元素"长度"(自己和自己"点积")不变的操作感兴趣. 由于Hilbert空间是复数域上的,常见的3D矢量空间是实数域上的, 所以G^2=1 的G 和F 是不同的, 虽然表达式相同.
建立Hilbert空间的目的是为量子力学中的计算提供强有力的数学基础, 也方便了抽象出其中更本质的运算.包括之后进行的关于对称性的讨论, 都是定义在Hilbert空间上的.
注意上面的论述中并没有涉及到矩阵. 因为矩阵其实只是抽象定义的一种表现, 或者说是抽象的定义的一种表示(representation)而已. 这是群论的思想.所有这些后面发展起来的表示理论, 在Hilbert空间中表示后,(尤其是算符的表示)显得非常重要.
好了, 再看看Hilbert空间, 基底一般是函数,常见的是含有各种频率的平面波函数,一种频率对应一个基底 维度是无穷.这些基底, 即平面波函数是完备的(Hilbert空间中的任何元素都可以用平面波函数展开, 其实就是指傅里叶变换), 正交(平面波函数做"点积"为delta函数). Hilbert空间中任意两元素也可以定义算符G, 也就是操作. 我们常常对保持元素"长度"(自己和自己"点积")不变的操作感兴趣. 由于Hilbert空间是复数域上的,常见的3D矢量空间是实数域上的, 所以G^2=1 的G 和F 是不同的, 虽然表达式相同.
建立Hilbert空间的目的是为量子力学中的计算提供强有力的数学基础, 也方便了抽象出其中更本质的运算.包括之后进行的关于对称性的讨论, 都是定义在Hilbert空间上的.
注意上面的论述中并没有涉及到矩阵. 因为矩阵其实只是抽象定义的一种表现, 或者说是抽象的定义的一种表示(representation)而已. 这是群论的思想.所有这些后面发展起来的表示理论, 在Hilbert空间中表示后,(尤其是算符的表示)显得非常重要.
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