VNM函数）。另外，要说明的是期望效用函数失去了保序性，不具有序数性

VNM效用函数理论是20世纪50年代,冯·纽曼和摩根斯坦(Von Neumann and Morgenstern)在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具，建立了不确定条件下对理性人(rational actor)选择进行分析的框架。不过, 该理论是将个体和群体合而为一的。后来，阿罗和德布鲁（Arrow and Debreu）将其吸收进瓦尔拉斯均衡的框架中，成为处理不确定性决策问题的分析范式，进而构筑起现代微观经济学并由此展开的包括宏观、

金融、计量等在内的宏伟而又优美的理论大厦。

如果某个随机变量X以概率Pi取值xi，i=1,2,…,n，而某人在确定地得到xi时的效用为u(xi)，那么，该随机变量给他的效用便是：

U(X) = E = P1u(x1) + P2u(x2) + ... + Pnu(xn)

其中，E表示关于随机变量X的期望效用。因此U(X)称为期望效用函数，又叫做冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数（VNM函数）。另外，要说明的是期望效用函数失去了保序性，不具有序数性

Kaldor–Hicks efficiency

Kaldor–Hicks efficiency, named for Nicholas Kaldor and John Hicks, also known as Kaldor–Hicks criterion, is a measure of economic efficiency that captures some of the intuitive appeal of Pareto efficiency, but has less stringent criteria and is hence applicable to more circumstances. Under Kaldor–Hicks efficiency, an outcome is considered more efficient if a Pareto optimal outcome can be reached by arranging sufficient compensation from those that are made better off to those that are made worse off so that all would end up no worse off than before.

规范法经济学的其中一个最重要的概念应当是“效率”。效率的含义是什么？对于经济学家而言，效率是一个工具概念。在普通道语言中，效率的一词通常是不特定的、发散的。为了理解经济学中关于效率的概念，我们会解释什么是帕雷托原则（Pareto principles）以及一个相关的概念卡尔多－希克斯效率。
除了解释效率的概念，我们将会进一步总结一下对这个概念的批评。虽然，很多经济学家在操作过程中，都假定“效率”的概念是没有争议的，但是，事实上，无论是经济学学科的内部还是外部都是充满争议的
在规范经济学有几个模糊的表达，但是，很多大多数规范经济学都是以效用作为一个基础的或者对于商品的衡量的概念。经济学家可能不同意效用的本质，效用与社会福利的关系，以及公共政策中福利的角色。但是，大多数经济家会赞同一个抽象的观点：在其他条件不变的情况下（ceteris paribus），更多的效用是一件好事情。
历史上，经济学中关于效用的解释与英国大哲学家边沁有关。边沁用快乐来定义“效用”。边沁认为，法律和政策应该用快乐的累积（hedonic calculus）来衡量，最好的政策产生最大多数的快感（hedons）——单位快乐。但是，边沁的理论并没有为经济学科学提供一个可以操作的依据。因为没有一个可以度量快感的方法。这个假设被经济学和心理学的研究所逐步削弱，他们用“幸福”（happiness）这个可以操作的概念来取代了快感的标准。
当代经济学用偏好函数来表述效用—— 即个体对于状态的主观评价。如果个体I 偏好于状态X（state of affair X），较之于状态Y，那么X 要较之于Y带来更多的效用
我们如何测量偏好？经济学提出了两种不同的理论，一种是基数效用理论，一种是序数效用理论。序数效用理论是把个体对于不同状态(states of affairs)的喜好的排序，序数函数告诉我们，个体I 对于可能的X的偏好大于可能的Y的偏好，但是，它没有告诉我们，X较之于Y 的好的程度。基数效用函数通过一个真实的数据来表述每个状态。如果，我们假定效用函数用“单位效用”表述，那么I 的效用就可以用分值来表述，比如说，在P状态，I的效用为80个单位效用，在Q状态下，I 的效用为120个单位效用。
基数效用和序数效用的区别对于功利主义（utilitarianism）来说是非常重要的，最少在某些解释方面。作为一个评判的理论，功利主义utilitarianism可以被认为这样一个约定的规范：一个行动是最优的，如果它带所带来的效用在所有的可能行动中是最大的。由于技术上的原因，功利主义需要基数和个体之间的比较。但是，不管是基数还是序数都存在问题。甚至对于个体的基数效用的比较都是困难的。（为什么？）
在不同个体之间的效用比较就更加困难。我们如何比较某甲源于观赏漂亮的照片所获得效用与某乙在做义工所带来效用。这些例子表明，个体之间的效用比较的不可通约性（incommensurability）。这意味着，偏好不可能用相同的尺度进行比较。基数效用和序数效用的面对的困境终结了福利经济学的历史。
帕雷托原则在这种情况下产生了。假定我们所获得个体效用信息是序数但是，不可以比较的。换言之，个体可以对事情状态进行排序，但是我们（分析家或者政策制订者）不能比较个体之间的效用。弱的帕雷托原则建议，P状态好于Q状态，如果每个人都把P排在Q的前面。弱的帕雷托原则似乎并没有得到很多的改进，因为对于全体一致的情况是很少见的。
强的帕雷托原则建议：P状态好于Q状态，如果至少有一个人把P排在Q前面，而没有人把Q排在P前面。或者更通俗地说，强的帕雷托认为，其中一个人受益而没一个人受损，这种状态就是好的。不同于弱的帕雷托原则，强的帕雷托原则可以产生相对稳定的结论。
因为帕雷托效率假定不存在负的外部性，作为一个规范的概念有很多的局限性，如果甚至一个人将会受损，如果从状态P到状态Q，这种转换不是帕雷托效率的。这样，如果帕雷托效率仅仅是一个规范的标准对于法律经济学来说，结果将会变成对于很多法律问题都似乎什么都没有什么，也就没有办法提供建议了。比如，很多环境法的问题（特别是考虑交易成本的情况下）
卡尔多西克斯标准是规范经济分析一个扩展。它的基本思路是，我们考虑一个存在外部性的环境，比如，污染损害了第三方利益。我们假定市场没有办法得到帕雷托效率结果。这个假定是准确的，因为高的交易成本的存在。在污染这个例子中，关涉到很多人的利益，产生了大量的交易成本。有可能与现实不同的情况是，我们可以假定零交易成本的情况。然后，我们问，什么样的结果会产生？如果受到外部性侵害的个体进入到帕雷托效率的谈判，对于他们的损失进行补偿，结果是卡尔多效率的（如果没有交易成本将会是帕雷托效率）。卡尔多标准扩展了规范法经济学，把交易成本和外部性等因素纳入统一分析。