弧长参数化 曲线以弧长为参数的充要条件是它的切矢是单位矢量

弧长参数化
对于同一条曲线或同一个曲面，在选择不同的参数以后，会有不同的表达式。这样一来，当我们在坐标系里研究曲线或者曲面的时候，表达式不是唯一的，它是由选择参数的不同而决定的，所以是受主观因素影响的。但是，事实上，曲线或者曲面自身的一些性质、参量都是一定的，也就是与所选择的坐标系是没有关系的。对于这样的矛盾，解决办法是选择曲线的自身弧长为参数。
给定一空间曲线r，在其上任取一点0000(,,)Pxyz作为计算弧长的起点。应用弧长积分公式，即可计算该曲线上任意点(,,)Pxyz到0P之间的弧长。由此，曲线上点的位置与该点处的弧长是一一对应的，如下图所示，

换言之，曲线上点的坐标是以弧长为参数的函数：
()()()xxsyyszzs

 其矢量方程为()((),(),())rrsxsyszs。
亦即，曲线是以弧长为参数的矢函数，我们将其称为弧长参数化。弧长称为自然参数，曲线方程称为自然参数方程。现讨论曲线的自然参数方程与参数方程的联系：
已知曲线的矢量方程为  ()((),(),(
rrtxtytzt 则弧长的微分和积分公式、分别为   222
2()
()()()dsdxdydz  
S
P0(x0,y0,z0)
r
P(x,y,z)
弧长参数化

          


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0
0
222()('())('())('())|'()|t
t
ttstxtytztrtdt

ds为曲线的弧长元素。()st即为与参数0t和t对应的两点P0和P之间的弧长。
矢函数()rrt的微分'()(,,)drrtdtdxdydz，由弧长微分公式可知，弧长微分又可表示为22()()dsdrdrdr。对弧长微分公式两边对参数t求导，得到'()|'()|0strt。
可见弧长是参数t的单调增加函数，故其反函数()ts存在。将()ts代入曲线方程()rrt，对其重新参数化，即得到以弧长为参数的自然参数方程：
(())()rrtsrs。因22()(())dsdrs，故有

上式表明，当曲线以弧长为参数时，其切矢为单位矢量，（这儿是充要条件，全面的表述是“曲线以弧长为参数的充要条件是它的切矢是单位矢量”）这是以弧长为参数的曲线方程的一个重要特征。
对于以上公式有一个定理：
设r=r(s)(a≤t≤b)是E3中的一条正则曲线，则t是它的弧长参数的充要条件是|r’(t)|≡1.
也就是说从严格的意义上，上面的表达有两个问题：一个是r’(t)外没有绝对值符号，另一个是它的值不只是等于1而且是恒等于1.