| 您的位置: 站长主页 -> 繁星客栈 -> 观星楼 -> 问题：薛定谔方程与态空间？ | June 7, 2014 |
问题：薛定谔方程与态空间？
| 论坛嘉宾: sage |
Quit 发表文章数: 22 内力值: 89/89 贡献度: 190 人气: 164  |  问题：薛定谔方程与态空间？ [文章类型: 原创]
对基本原理中S.E与态空间的关系我现在理解的是
每一个态的态矢量都属于Hilbert空间，所有态矢量构成完整的Hilbert空间； S.E是某个确定的物理系统的态随时间参量演化的方程，这个方程的任意某个特解|Ψ_t>在t等于任意某个确定的t_0的时候|Ψ_t0>一定是Hilbert空间中的一个确定的矢量，所以有定态S.E的解|Ψ_t>，一定可以表为在系统的能量本征矢｛|ψn>｝上的恒等展开Σ|ψn>Cexp(-iEnt/h)……. 但是有个问题，我却不是很明白 我前面这个理解可以简单的说成:任意某个S.E的解都是态空间中以时间为参数的序列，取定时间必得到确定的态矢量。 但是，对于态空间里面的任意某个态矢，是不是都一定可以表示为某一个S.E的解取定一时间t_0？ 也许这个问题的答案是:“态空间中的每个矢量都对应一个物理状态，物理状态必然以某一物理系统为背景，所以第二个问题的答案是Yes”。 但我现在迷惑的是: 从Hilbert空间的数学性质出发能否得到这个问题的答案？ 或者量子力学的几条基本原理是否给出了关于这个问题的足够的数学信息？ （不知道我写清楚我的意思没有，脑袋有点乱:-(） 
<x|F>=<x|∫|p><p|F>dp=∫<x|p><p|F>dp
< p|F>=<p|∫|x><x|F>dx=∫<p|x><x|F>dx 原来这就是傅立叶变换，我又被忽悠了:(
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sage 发表文章数: 359 内力值: 334/334 贡献度: 5130 人气: 237    |  Re: 问题：薛定谔方程与态空间？ [文章类型: 原创]
从Hilbert空间的数学性质出发能否得到这个问题的答案？
not every Hilbert space could be the solution of Schrodinger equation. Its mathematical property tell you nothing about physics.
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| 星空浩淼 发表文章数: 799 内力值: 423/423 贡献度: 8426 人气: 1826 |  Re: 问题：薛定谔方程与态空间？ [文章类型: 原创]
通常情况下，每给定一个时刻，态矢的完备集合构成一个Hilbert空间；不同时刻的态矢，由演化方程联系起来。也可以说，每一个Hilbert空间对应一个给定的时刻，不同时刻的Hilbert空间由演化方程联系。解态矢满足的方程，可以得到解的完备集（完备集中的每一个态矢对应同一个时刻），此时方程的任意一个同一时刻的解，都可以用这个完备集展开。
“not every Hilbert space could be the solution of Schrodinger equation. Its mathematical property tell you nothing about physics.” --------------------------- 对于公理化的量子力学理论，所有物理基本内容包含在几个公理之中，剩下的一切、整个理论大厦就交给数学了。如同整个电磁理论，Maxwell方程组+本构关系+边界条件，内容非常“贫乏”，剩下的整个大厦就是数学的了。另外，量子力学的公理在表达上也是借助于数学这个外壳的，用Hilbert空间的语言来表达的。
One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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| linhaier 发表文章数: 155 内力值: 169/169 贡献度: 678 人气: 126 | Re: 问题：薛定谔方程与态空间？ [文章类型: 原创]
你讲的好像是关于算符本征态的完备性。
我隐约记得对于可观察量的所有本征态是假定构成完备集的。并不是所有算符的解集都构成完备集。但是我们通常所见的算符的解是构成完备集的。 由于本人一次只能发一个帖。我把我的问题提在这个回帖力。斑竹见谅。 对于固体物理中格波的能量，通常是方便的处理成一个一个的声子，基态为一个声子，几重激发态就是几个声子。这对于表示能量大小来说没有关系。但是对于能量交换来说，声子密度大，则自由程小，则能量交换更迅速。 问题：在能量大小这个角度说，第n的激发态可以表示为n个声子，但从能量交换的角度来说，高能量的态是如何可以等效于声子的密度呢？这种等效性的基础是什么？
逝者如斯夫
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| Quit 发表文章数: 22 内力值: 89/89 贡献度: 190 人气: 164 | Re: 问题：薛定谔方程与态空间？ [文章类型: 原创]
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Quote: not every Hilbert space could be the solution of Schrodinger equation. Its mathematical property tell you nothing about physics. _________________________________________________________________________________ 就是说，量子力学的几条公理并没有给出足够的数学信息来在纯粹数学的框架中讨论这个问题，选择不同的Hilbert空间，这个问题可能有不同的答案？ ________________________________________________________________________________ Quote: 通常情况下，每给定一个时刻，态矢的完备集合构成一个Hilbert空间；不同时刻的态矢，由演化方程联 系起来。也可以说，每一个Hilbert空间对应一个给定的时刻，不同时刻的Hilbert空间由演化方程联系。解态矢满足的方程，可以得到解的完备集（完备集中的每一个态矢对应同一个时刻），此时方程的任意一个同一时刻的解，都可以用这个完备集展开。 _________________________________________________________________________________ “通常情况下，每给定一个时刻，态矢的完备集合构成一个Hilbert空间；” 意思是，给定某个物理系统的任意一个时刻的态矢构成一个Hilbert空间? 或是不限定外界环境条件，在任意一个时刻的态矢构成一个完备的Hilbert空间? 我现在变得对态空间有些迷惑了…… 如果不限定外界条件却要考虑时间,这个某个给定时刻的态矢的完备集合怎么去理解呢？ :-? 而如果是限定外界条件，那不同的外界条件的态空间是不是就可能各不相同，那怎么保证动量、坐标算符在他们上面都是厄米的呢，而且都满足[xi,pj]=δij呢？ 想得有点迷茫了……:-(,我把我现在的理解写出来帮我看看有那些地方不对:expect: 我现在是这样理解的: 考虑态空间，是暂时不予考虑时间和外界物理系统的一个抽象的矢量空间，动量、坐标这些算符是定义在这个抽象的空间上的，不同的物理体系是对应这个空间上的不同的Hamilton算符的，他们都是这个空间的厄米算符，当给定物理系统的外界条件时，这个物理系统态的时间演化方程由S.E给出来: ih(d/dt)|Ψ_t>=H_t|Ψ_t> ; H_t是与系统的外界物理条件唯一对应，它是态空间上的一个以时间为参量的算符序列，在任意给定t时它是态空间上的一个确定的Hamilton算符；(而这个方程的解是态空间的一个以时间为参量的态矢序列) 在外界系统的势不随时间变化的时候，H_t满足:(d/dt)H_t=０;(０是零算符)，H_t就是态空间上定义的一个确定的厄米算符，演化的方程变成了ih(d/dt)|Ψ_t>=H|Ψ_t>,因为H是态空间的厄米算符所以它的本征矢{|n>……}在态空间中一定是一个完备的基，这个方程的解|Ψ_t>在任意时刻t0时对应的态矢量|Ψ_t0>一定可以用这个算符的本征矢展开，而|Ψ_t>作为一个含待定时间参量t的态矢一定也可以在H的本征矢{|n>……}上面展开成|Ψ_t>=Σ|n>an(t)，把它代进这个演化方程，可以得到an(t)的形式一定等于exp(-iEnt/h)Cn。 ________________________________ Quote: 你讲的好像是关于算符本征态的完备性。 ________________________________ 不是，是一切可能的S.E的解的“完备性”
<x|F>=<x|∫|p><p|F>dp=∫<x|p><p|F>dp
< p|F>=<p|∫|x><x|F>dx=∫<p|x><x|F>dx 原来这就是傅立叶变换，我又被忽悠了:(
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| 季候风 发表文章数: 262 内力值: 310/310 贡献度: 3398 人气: 154 | Re: 问题：薛定谔方程与态空间？ [文章类型: 原创]
每一个态的态矢量都属于Hilbert空间，所有态矢量构成完整的Hilbert空间；
S.E是某个确定的物理系统的态随时间参量演化的方程，这个方程的任意某个特解|Ψ_t>在t等于任意某个确定的t_0的时候|Ψ_t0>一定是Hilbert空间中的一个确定的矢量，所以有定态S.E的解|Ψ_t>，一定可以表为在系统的能量本征矢｛|ψn>｝上的恒等展开 Σ|ψn>Cexp(-iEnt/h)……. ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 我不是很明白你这句话的意思。定态 S.E. 是时间无关的微分方程，它的解是时间无关的能量本征态。所谓定态就是在演化过程中不改变的态，由不改变方向的矢量表示。以上这个展开如果随时间演化，明显会改变方向。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 但是有个问题，我却不是很明白 我前面这个理解可以简单的说成:任意某个S.E的解都是态空间中以时间为参数的序列，取定时间必得到确定的态矢量。 但是，对于态空间里面的任意某个态矢，是不是都一定可以表示为某一个S.E的解取定一时间t_0？ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ S.E. 只是系统的态矢随时间演化的无穷小形式。如果执着于方程，当然有很多态矢不能作为方程的解在某个时间的值 －－－ 至少也要是二阶可微的函数才行吧。量子力学的原理只是要求态矢的演化是么正的，所以回答这个问题要回到你这个帖子的第一句话，什么是态空间？态空间是系统所有可能的状态。每一个状态都可以是初态，而么正演化意味着每个初态必然是中间态 （么正演化是可逆的）。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 也许这个问题的答案是:“态空间中的每个矢量都对应一个物理状态，物理状态必然以某一物理系统为背景，所以第二个问题的答案是Yes”。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 你知道自己在说什么吗，哈哈～～ 我建议所有对量子力学刨根问底的同学都来学数学 －－－ 你们不太适合做物理
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| sage 发表文章数: 359 内力值: 334/334 贡献度: 5130 人气: 237 | Re: 问题：薛定谔方程与态空间？ [文章类型: 原创]
就是说，量子力学的几条公理并没有给出足够的数学信息来在纯粹数学的框架中讨论这个问题，选择不同的Hilbert空间，这个问题可能有不同的答案？
No. Solutions of Schrodinger equation form a Hilbert space. However, it is not necessarilyu true that any Hilbert space could be solution of some Schrodinger equation.
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| sage 发表文章数: 359 内力值: 334/334 贡献度: 5130 人气: 237 | Re: 问题：薛定谔方程与态空间？ [文章类型: 原创]
对于公理化的量子力学理论，所有物理基本内容包含在几个公理之中，剩下的一切、整个理论大厦就交给数学了。如同整个电磁理论，Maxwell方程组+本构关系+边界条件，内容非常“贫乏”，剩下的整个大厦就是数学的了。另外，量子力学的公理在表达上也是借助于数学这个外壳的，用Hilbert空间的语言来表达的。
It took people like Heisenberg, Bohr, Schrodinger, Dirac to write down the physics of QM. it took people like Faraday, Maxwell to write the physics of E&M. It only takes people like me to understand the Mathematics and use it to solve problems of Hydrogen atoms or the boundary value problems.
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| landscape 发表文章数: 35 内力值: 107/107 贡献度: 519 人气: 32 | Re: 问题：薛定谔方程与态空间？ [文章类型: 原创]
显然希尔伯特空间不能给出系统所有物理状态的信息。如果是那样的话，大家都去做数学好了。
按照冯.诺依曼第一和第四公理，（描述可观测量的）薛定谔方程的解（态矢量）都是在希尔伯特空间里的。我觉得你还是在疑惑完备性，也许你可以这样问：对应物理系统的希尔伯特空间描述了整个系统的所有的物理状态了么？或者说描述了所有可观测量的物理状态了么？ 而且我觉得你应该在此明确表达一下你对于态函数的诠释。你是怎么定义你得物理系统（现象）以及它的所谓的态空间？ 我想，在问问题之前，你得把经典概念在量子力学系统里面做一个明确无歧义的定义或说明。要不按照诠释学，很难完全明白你要表达的意思，或者换句优雅一点的话：你的表达方式和我的理解方式不对口。：）我最近也在给一群人普及一下量子力学，觉得这一点非常的重要，可以避免很多麻烦。 不过冯.诺依曼公理化体系里面也还有几个概念是原始的：物理系统，几率，态，测量，可观测量。 呵呵 愚见 您一笑而过 我今天偶尔上来
你真美啊，请停一停！
——浮士德
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| Quit 发表文章数: 22 内力值: 89/89 贡献度: 190 人气: 164 | Re: 问题：薛定谔方程与态空间？ [文章类型: 混合]
我不是很明白你这句话的意思。定态 S.E. 是时间无关的微分方程，它的解是时间无关的能量本征态。所谓定态就是在演化过程中不改变的态，由不改变方向的矢量表示。以上这个展开如果随时间演化，明显会改变方向。
______________________________________________________________________________ 对不起，我用错名词了 我想说的是系统哈米顿不含时间的S.E,它的解是这个不随时间演化的系统的时间演化 而用来展开这个方程解的的才是定态S.E的解，也就是能量算符的本征态。 ______________________________________________________________________________ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 也许这个问题的答案是:“态空间中的每个矢量都对应一个物理状态，物理状态必然以某一物理系统为背景，所以第二个问题的答案是Yes”。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 你知道自己在说什么吗，哈哈～～ 我建议所有对量子力学刨根问底的同学都来学数学 －－－ 你们不太适合做物理 ______________________________________________________________________________ 这小段话，我确实说得有点迷糊... sorry... ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ S.E. 只是系统的态矢随时间演化的无穷小形式。如果执着于方程，当然有很多态矢不能作为方程的解在某个时间的值 －－－ 至少也要是二阶可微的函数才行吧。量子力学的原理只是要求态矢的演化是么正的，所以回答这个问题要回到你这个帖子的第一句话，什么是态空间？态空间是系统所有可能的状态。每一个状态都可以是初态，而么正演化意味着每个初态必然是中间态 （么正演化是可逆的）。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 这段已经回答了我的问题了,3q very much :-) S.E的解的某个时间的可能值可以是哪些矢量，除了与S.E本身有关还与给所给初态有关，S.E只是一个泛定方程；而用S.E定义的那些幺正演化算符，它们的定义域是整个态矢量空间，所以态空间中一切态矢都可以作为S.E解的初值，所以一切态矢量都可能出现在S.E的解的某个时间；而这些幺正算符的值域也在态空间里面，所以不会把态演化到态空间外面去。 ______________________________________________________________________________ “如果执着于方程，当然有很多态矢不能作为方程的解在某个时间的值－－－ 至少也要是二阶可微的函数才行吧” ______________________________________________________________________________ 把态矢写在某个表象上，例如位置表象的波函数空间，动量平方算符在这个表象上就是二阶偏微分的；但把态空间实现成表象上的函数空间，不会影响算符的定义域和值域，同时动量平方算符在态空间中的定义域又是整个态空间本身，所以在位置表象上的波函数空间，一切波函数一定会是２阶可微的。 这个问题应该并没有使我迷惑。
<x|F>=<x|∫|p><p|F>dp=∫<x|p><p|F>dp
< p|F>=<p|∫|x><x|F>dx=∫<p|x><x|F>dx 原来这就是傅立叶变换，我又被忽悠了:(
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| Quit 发表文章数: 22 内力值: 89/89 贡献度: 190 人气: 164 | Re: 问题：薛定谔方程与态空间？ [文章类型: 混合]
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Quote: 显然希尔伯特空间不能给出系统所有物理状态的信息。如果是那样的话，大家都去做数学好了。 ______________________________________________________________________________ 我现在问这个具体的问题，数学框架能不能给出答案(已经得到答案了) ______________________________________________________________________________ Quote: 按照冯.诺依曼第一和第四公理，（描述可观测量的）薛定谔方程的解（态矢量）都是在希尔伯特空间里的。我觉得你还是在疑惑完备性，也许你可以这样问：对应物理系统的希尔伯特空间描述了整个系统的所有的物理状态了么？或者说描述了所有可观测量的物理状态了么？ ______________________________________________________________________________ (1),不，我所疑惑的是，态空间是否会比S.E可以给出的解的范围要大； (2),之前，我并不知道“（描述可观测量的）薛定谔方程的解（态矢量）”为态矢量(态矢也许应该是S.E的解在确定时间的值吧)的范围的先决条件； 我一直所理解的态空间是一个预先给出来的确定的矢量空间，让后才在这个矢量空间上定义包括哈密顿算符在内的那些线性算符，然后在由这些给出了定义的算符为工具来写出S.E,然后我才开始疑惑(1)的问题（否则我自然不会有这个疑惑的） 或许是我所学教材在前后内容安排上的顺序让我有这样的理解的吧（但是，我在楼上所说"我理解到了季候风老师的意思"的理解如果没有逻辑上的大错误的话，对态空间这样的理解应该是等效的吧） ______________________________________________________________________________ 而且我觉得你应该在此明确表达一下你对于态函数的诠释。你是怎么定义你得物理系统（现象）以及它的所谓的态空间？ ______________________________________________________________________________ 我想我应该是没有能力清晰无误的说清楚态空间的的物理诠释 而我现在学习的过程也就满足于那些大概的马马乎乎的理解罢了，初识咋学，或许以后会稍微清楚一点吧，希望如此。 我现在理解的就是: _______________________________________________________________________________ 假设一 量子态假设（波函数假设）： 量子态用希尔伯特空间的矢量表示,相差一个常数因子的矢量表示同一个量子态(只有方向有意义). 一.矢量空间是满足以下十一个条件的矢量集: 1.矢量集对加法做成一个交换群;(五个条件) （……） 假设二 力学量算符及对易关系假设： 1.力学量由厄米算符表示, 力学量的可能测值为算符的本征值, 对态Ψ测量力学量F得到本征值an的几率 （……） 假设三 量子态和算符随时间演化假设： 1.满足薛定谔方程iħ∂t|ψ>s=H|ψ>s （在薛定谔绘景中，∂tAs=0）, （……） 假设四 全同粒子假设： （……）_______________________________________________________________________________ 想来想去，还是这几行文字...（没办法:-(）
<x|F>=<x|∫|p><p|F>dp=∫<x|p><p|F>dp
< p|F>=<p|∫|x><x|F>dx=∫<p|x><x|F>dx 原来这就是傅立叶变换，我又被忽悠了:(
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