Sunday, July 6, 2014

电子感受到的原子核产生的库仑势 ,原子核并不是点电荷,而是由质子和中子组成, 有一定尺寸的复杂量子体系

原子中的电

子感受到的势场


电子感受到的原子核产生的库仑





,原子核并不是点电荷,而是由质子和中子组成


的有一定尺寸的复杂量子体系






原子核的有限体积效应对高离化态离子能级


和波函数的影响!


郑曙东!"李博文!李冀光!董晨钟!# 袁文渊!


!)(西北师范大学物理与电子工程学院,兰州$%&&$&


")(青海大学基础部,西宁’!&&!(

"&&’ ) !( 日收到;"&&’ ( "" 日收到修改稿)


在相对论理论框架下,分别在点电荷和两参数*+,-. 核模型近似下计算了高离化态类氢离子(! / ’&!!"" /

!% 壳层的波函数和能级0 分析了核有限体积效应对它们的影响0 在此基础上,给出了核有限体积效应对原子能

级的修正公式0 同时,还进一步讨论了相对论效应和核有限体积效应之间的相互影响,发现对高! 元素相对论效

应与核有限体积效应之间有很强的耦合0





关键词:原子核有限体积效应,高离化态离子,相对论效应


!"##%!%&%!!&


!国家自然科学基金(批准号:!&’$(&"’!&$$)!""),高等学校博士学科点专项科研基金(批准号:"&&$&$%(&&!),兰州重离子加速器国家

实验室原子核理论中心基金及西北师范大学科技创新工程项目(批准号:121345678974&%4"!)资助的课题0

# :4-;.<=>?@ABC?D?E0 +=E0 A?


!F 引言





电子在原子核形成的势场中的运动规律是原子


结构研究的主要问题之一0 早期的理论研究中,为

了使问题简化,通常把原子核当作点电荷处理0






际上,原子核并不是点电荷,而是由质子和中子组成


的有一定尺寸的复杂量子体系!0 在这种情况下,






原子核产生的库仑势与点电荷模型下的库仑势是不


同的,从而导致核外电子的运动规律有所差别",这

被称为原子核的有限体积效应0





原子核结构的研究也是核物理中的一个重要问


0 使用不同的原子核结构模型计算的原子核的电

荷分布将会有所差异0 这直接会影响到原子中的电






子感受到的势场,因此在不同的核电荷分布下计算


出的原子的能级结构会有一些差别,尤其是涉及到


内壳层电子时差别更加明显0 这使得通过精确的原






子结构的测量与理论计算结果比较成为一种检验核


理论的有效方法%)0 此外,由于各种元素的同位素






的核电荷分布也是有差别的,这种方法还可以用来


辨认元素的不同同位素%G0 由于原子中电子的波






函数受到原子核有限体积的影响,这还会间接的影


响到电子与原子核的一些相互作用,如量子电动力


学(H:I)效应($、超精细相互作用J、弱相互作

!&!!0 因此,对原子核有限体积效应的详细研

究对于更精确地检验这些理论也是必不可少的0





高离化态类氢离子是研究核有限体积效应的理


想对象0 因为类氢离子中只有一个电子,一般复杂






原子结构计算中最主要的误差来源———电子关联效


应并不存在,这样就可以更准确地反映出原子核有


限体积的影响0 本文在相对论理论框架下,计算了

高离化态类氢离子( ! / ’!!"" / !% 壳层的






电子波函数和轨道能,分析了核有限体积效应对它


们的影响,并进一步提出了核有限体积效应对原子


结构影响的一些规律0 为了能将核有限体积效应推






广到一些不能从头计算的原子核,我们还给出了核


有限体效应对类氢离子能级的修正公式0 此外,我






们还讨论了核有限体积效应与相对论效应之间的相


互影响0


"F 理论方法





在相对论理论框架下,类氢离子的哈密顿量可


G’卷第% "&&J %


!&&&4%"J&K"&&JKG’&%K!GG(4&$



物理学报

L7ML NOPQR7L QR1R7L


S><0G’1>0%T;,AU"&&J





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"&&J 7U.?0 NUVW0 Q>A0


以表示为(这里及以后均采用原子单位)


! ! "!·! "!"# " #$), ($

其中,! !%&’) 矩阵,! 是电子的动量算符,"


为光速,#$)是电子感受到的原子核产生的库仑

势,它的具体形式依赖于原子核的核电荷分布*






文采用常用的两种核电荷分布模型———点电荷和两


参数+,’& 核模型计算原子核的库仑势*


在点电荷模型下,核电荷密度分布为$#


"$! %#$), (#

其中% 为原子核的核电荷数* 相应的库仑势#$








#$! %$


* .

原子核的两参数+,’& 核电荷分布模型$#可以






表示为


"$! "/





$ " ,


$0 "






&


, (1

上式中"/


潍常数," 被称为半密度半径,当$ ! "


时,""!"/





#


& 是表示核边界弥散程度的参量,目






前实验发现,不同原子核边界的弥散程度基本一致,


一般为/23#.1 4-* 参数" & +,’& 核半径56)7


存在如下关系$#

#






56)7


!





.3


"# " 83


!# &#, (3

而原子核半径56)7


可由以下拟合公式确定$#

#






56)7


$9# ! /*:.;($9. " /*38/( " ;, (;

上式中( 为核子数*


如果假设原子核的核电荷"$)分布是球对称

的,在两参数+,’& 核电荷分布模型下,原子核产生

的库仑势可以通过下式计算$#$.


0 $#$! 1!#$


/"))# <) "#$ =


$"))<) * 8






本文的相关计算是基于全相对论的原子结构计


算程序包>?@ABC#$1进行的*


.2 结果和讨论


!"#" 核有限体积效应对电子波函数的影响






为了比较原子核的有限体积效应对处于不同状


态下的电子的影响,我们首先计算了+,’& 核模型

和点电荷核模型下类氢D6E% ! $$#)离子的$F#F


#G$9#.9#


壳层的波函数及核势能函数,如图$ 所示*

中竖线表示原子核边界*





从势能曲线可看出在点电荷模型下电子感受到


的原子核的库仑势在近核处急剧减小,而+,’&






模型下核势能在近核处近似为一常数,由于两种模


型下原子核势能分布的这种差异性,导致在近核区


电子的波函数存在较大的差别* 同时从图中电子波

函数分布的情况可以看出,$F 壳层电子在近核区的

概率相对最大,#F#G$9#


壳层次之,而#G.9#





壳层的电


子则几乎不能到达近核区* 因此$F 轨道波函数受

到的原子核有限体积效应影响最大,#F#G$9#





壳层依


次减小* #G.9#





壳层核的有限体积效应影响几乎为


零,这表明对#G.9#





壳层而言,将原子核作为点电荷处


理在一般情况下是相当可靠的,特别对* H . 的壳






层,核有限体积效应的影响已经相当小,这时将原子


核作为点电荷处理完全能达到很高的精度要求*


$ +,’& 核模型($)和点电荷模型(⋯)下计算的类氢D6E% ! $$#)离子的$F#F #G$9#


#G.9#





壳层的波函数和势能函数图


# ! #9# I $/3


.期郑曙东等:原子核的有限体积效应对高离化态离子能级和波函数的影响$338


!"#" 核有限体积效应对平均轨道半径和轨道能的






影响


通过上面的分析,我们已经看到核有限体积效


应对电子波函数的影响,这种影响也会反映在电子


的平均轨道半径和轨道能上! 这里,我们进一步计

算了不同核模型下高离化态类氢离子( ! " #$


%%&)的" " %壳层的平均轨道半径和轨道能!


& 展示了()*+, 核模型和点电荷核模型下计

算的平均轨道半径差!#〉随原子序数! 变化的关

! 从图中可以看出,各壳层的!#〉均随着! 单调

递增! 这是由于原子核电荷的空间分布密度随着原






子序数的增加而增加,导致核势能在近核处差异性


的增大,以及内壳层电子随着原子序数的增加离核


愈来愈近造成的!


由图& 还可看出对所有壳层而言,&- 壳层






在两种核模型下的平均轨道半径的差异最明显,而


&.’&


’&


壳层的差异最小! 这可以定性地从半经

典的角度给予解释! 由于不同壳层的电子轨道的形

状不同," 愈大,$ 愈小,电子轨道愈扁,近核点离原






子核愈近,而近核区的库仑势在两种核模型下是不


同的,且离核愈近差别愈大! 但远核区的库仑势在






两种模型下基本一致,所以原子核的有限体积效应


对大" $ 的壳层的〈#〉影响较大,即对大" %

层的〈#〉影响较大,而对&.%/&


壳层的〈#〉影响次之!


’% 的分析可知,&.’&





壳层的电子不能到达近核


区,故原子核的有限体积效应对&.’&


壳层的〈#〉几乎

没有影响,因此它的平均轨道半径几乎没有变化!


给出了()*+, 核模型和点电荷核模型下计

算的高离化态类氢离子! " #$%%& 的主量子数"


" %壳层的能级差!& 随核电荷数的变化! &


与图的曲线变化趋势基本一致,与平均轨道半径

明显不同的是,原子核有限体积效应对%-&- 壳层

的能量影响最明显! 这是因为!&! #&!#〉,因

此,在两种核式模型下电子的轨道能级差!& 除与


!#〉成正比外,还与〈#& 成反比,而类氢离子的〈#

"& 成正比,所以核的有限体积效应对%- 壳层轨

道能& 的影响最大,对&-&.%/&


壳层轨道能&

影响次之! 而对于&.’&





壳层的轨道能的影响几乎可


以不予考虑!


!"!"$%&’ 模型中参数! " 对原子结构的影响

在两参数()*+, 核模型中,决定核电荷分布的


& ()*+, 与点电荷核模型下不同壳层的平均轨道半径差!#

’()*+, 与点电荷核模型下不同壳层轨道能级差!&


是参数( ),这两个参数对于研究原子核的结构

和性质具有重要意义! 在不同参数的核电荷分布






下,原子核产生的库仑势是有差别的,这可以直接从


原子的轨道能的变化反映出来! 因此它能够提供研

究原子核结构的另一条途径! 这里我们以类氢123


! " %%&)离子为例,进一步给出了原子的轨道能和

这两个参数的定量关系!


由(4)式可知,参数( 是一个与核边界弥散程

度相关的量! 我们首先比较了不同( 值对电子波函

数及能级差的影响! 4 给出了%- 电子波函数和

原子核势能分布随不同的参数( 的变化! 可以看

出,电子波函数随不同的参数( 变化很小,由此可

知,参数( 对原子能级的影响很小!

()*+, 核模型中的另一个参数是),它可以近似

反映原子核的大小,一般由(5)和(6)式计算得到!


%55# 物理学报5#


我们比较了不同! 值对!" 电子波函数及能级差的

影响,如图# 所示$ 从该图可以看出电子波函数在

近核区略有差异,虽然这种差异也很小,但是参数!


的影响要比参数" 的影响大得多$


% &’)* 模型下! %+,-.- /) 时不同参数" 计算的类氢离

子(# 0 !!-)的!" 壳层的波函数和势能分布图($ 0 $1- 2 !3#

# &’)* 模型下" 3+#-4% /) 时不同参数! 计算的类氢离

子(# 0 !!-)的!" 壳层的波函数和势能分布图($ 0 $1- 2 !3#





由此我们可以看出,核有限体积效应主要是由


于原子核的大小引起的,原子核边界弥散程度的作


用很小$


在两参数&’)* 核模型中,若参数"!3,则


&’)* 核模型退化为钢球模型$ 对于钢球模型,电子

感受到的库仑势为!#


$%0






!


%!!3


#&-


5678





9 4-


: %-


-- ( ) 5678


3" % " 5678







9 !


%""3


#&-





%


% ; 5678





ì


í


î


ïï


ïï $


<’8)=55>&’5)=5 定理#()


## 0 ($) (#*


# ) # $ ) )


##*


##


)


!,


) 为一组量子数),把原子核半径5678


看作参数#,有


#*


#5678





0


# 4

--






5678


9 %-


,% ( ) 5678


3" % " 5678







3% ; 5678 { $





进一步可以得到


#()


#5678


0$


5678





3


$% # 4

-- 9 %-


,( ) % $@% :$ A


5678


$%3$@%$


由于原子核半径非常小,电子波函数$ 在核内






可以近似认为是一常数,由此可以得到


#()


#5678


0 -.!#’5678


!# B $3- B








() 0 !%!#’-






5678


!# B $3- B : + $ .

如果原子核半径趋于3,上式应与点电荷的轨

道能公式一致,因此常数+ 等于原子核用点电荷模

型时相应的轨道能$


由(.)式看以看出,使用钢球模型计算的原子轨

道能与原子核半径的平方有关$ 而钢球模型是对


&’)* 模型的一种近似,并且由上面的分析我们知

道,对于&’)* 核模型,核有限体积效应主要是由于






原子核的大小引起的,而原子核边界弥散程度的作


用很小,据此我们可以推断,对于&’)* 模型原子轨

道能与原子核半径即参数! 的平方有关$ 而对于另

一参数",计算发现点电荷模型和&’)* 模型下的能

级差也与其平方有关,但是相应的系数非常小$

于不同元素,点电荷模型和&’)* 模型下的能级差

与两参数均满足这种关系,只有拟合系数存在差异$


我们假设拟合系数是原子序数# 的函数$ 基于以

上分析,对于类氢元素(# 0 #,!!-)我们计算得到

了点电荷和&’)* 模型下的能级差拟合公式


$() 0 ,! " 9 ,-


- !-


0 -! !- : -- !- " : -4 !- "-, (C

式中,,!


,-


-!


--


-4


均为常数$ 对于不同元素,

系数-!


--


-4


均不同,它们随# 的变化关系如图,


所示$ 由图, 可以看出,系数-!


--


-4


# 的变化

是单调的$


比较(.),(C)式可以发现,当"!3,即&’)*


模型退化为钢球模型时,两式是等价的,(C)式中的


! 就对应于(.)式中的5678


,(C)式中的系数,!


,-


就对应于(.)式中的常数$


4期郑曙东等:原子核的有限体积效应对高离化态离子能级和波函数的影响!##C


! "#$%& 和点电荷模型下能级差拟合公式中系数!!(


!)


" 的变化关系


对类氢元素*+," - ’’# - (./)的壳层,






相应的拟合公式为


!$- 1 ’’//%( 3 (424’&%( 3 52’.’&( %( 2


拟合公式(6)在研究原子核的性质时是很有用






的,因为对于类氢离子,采用点电荷模型可以得到波


函数和能级的解析解,实验与理论值比较,我们就可


以推测原子核的半径及边界厚度等相关的物理量,


从而进一步了解原子核的性质2


!"#" 相对论效应与原子核有限体积效应之间的相






互影响


随着原子序数的增加,原子中相对论效应越来


越明显2 相对论效应会使电子径向波函数明显的收

,因此相对于非相对论计算,相对论情形下核

的有限体积效应更加显著2





为了研究相对论与核有限体积效应之间的相互


影响,我们计算并比较了"#$%& 核模型和点电荷核






模型在相对论与非相对论情形下核有限体积效应对


平均轨道半径差!〉和能级差!$ 的影响2 7


和图. 分别给出了类氢离子*+," - (5’’)相对

论和非相对论轨道在两种核模型下的平均半径

!〉和能级差!$ 随原子序数" 变化关系2

两图中可以看出,!〉和!$ 随原子序数" 变化规

律基本一致2 对低" 元素(" - (547)相对论和非

相对论的计算结果基本相同;对中" 元素(" - 47


6()相对论下核的有限体积效应逐渐增大,相对论情

形下计算的平均能级差与非相对论情形下的计

算结果差异从58!6 #9 增大到’.8)’#9;而对重及

超重元素(" - 6(’’),相对论下核的有限体积效


7 "#$%& 与点电荷核模型下壳层的平均半径差!

. "#$%& 与点电荷核模型下壳层的能级差!$


应急剧增大,相对论情形下计算的平均能级差与

非相对论的计算结果差异从’.8)’#9 增大到


’7.8)/ #92 由此可以看出相对论与原子核有限体






积效应产生了很强的相互影响,所以对于重元素特


别是超重元素,相对论和核有限体积效应必须同时


考虑2


48 结论


本文首先在"#$%& 核模型和点电荷核模型下计

算了高离化态类氢离子( " - .5’’( - ’)






层的波函数和轨道能,分析了核有限体积效应对它


们的影响2 结果表明,核有限体积效应对高离化态






类氢离子内壳层电子近核区波函数和轨道能的影响


是明显的,且这种影响随着原子序数的增大而增强2


但这些影响对不同() 电子有着较大的差异性,对


电子的影响最大,对(0(:’(





电子的影响次之,对


’!5 物理学报/.


!"#$!


电子的影响很小% 因此,对于高离化态离子中

角动量为&$! 的电子,核有限体积效应不能忽略%

们进一步拟合了核有限体积效应与’)*+ 核模型中

参数! " 的关系% 这个公式对于进一步通过原子

结构研究原子核的性质有十分重要的意义% 对于高






离化态离子,相对论效应往往非常重要,因此文中进


一步分析了相对论效应与核有限体积效应之间的相


互影响% 计算发现,随着原子序数的增加,相对论效

应与核有限体积效应之间的相互影响逐渐增强%






其是对于重元素及超重元素的内壳层电子,应该同


时考虑这两种效应才能得到可靠的结果%


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’8-. 4.+9():+;< =)(::)(+. >7+.(:()[杨福家、王炎森、陆福全


!66! 原子核物理(上海:复旦大学出版社)]

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