原子中的电
子感受到的势场
电子感受到的原子核产生的库仑
势
，原子核并不是点电荷，而是由质子和中子组成
的有一定尺寸的复杂量子体系
原子核的有限体积效应对高离化态离子能级
和波函数的影响!
郑曙东!）"） 李博文!） 李冀光!） 董晨钟!）# 袁文渊!）
!）（西北师范大学物理与电子工程学院，兰州$%&&$&）
"）（青海大学基础部，西宁’!&&!(）
（"&&’ 年) 月!( 日收到；"&&’ 年( 月"" 日收到修改稿）
在相对论理论框架下，分别在点电荷和两参数*+,-. 核模型近似下计算了高离化态类氢离子（! / ’&—!!"）" /
!—% 壳层的波函数和能级0 分析了核有限体积效应对它们的影响0 在此基础上，给出了核有限体积效应对原子能
级的修正公式0 同时，还进一步讨论了相对论效应和核有限体积效应之间的相互影响，发现对高! 元素相对论效
应与核有限体积效应之间有很强的耦合0
关键词：原子核有限体积效应，高离化态离子，相对论效应
!"##：%!%&，%!!&
!国家自然科学基金（批准号：!&’$(&"’，!&$$)!""），高等学校博士学科点专项科研基金（批准号："&&$&$%(&&!），兰州重离子加速器国家
实验室原子核理论中心基金及西北师范大学科技创新工程项目（批准号：121345678974&%4"!）资助的课题0
# :4-;.<：=>?@ABC?D?E0 +=E0 A?
!F 引言
电子在原子核形成的势场中的运动规律是原子
结构研究的主要问题之一0 早期的理论研究中，为
了使问题简化，通常把原子核当作点电荷处理0 实
际上，原子核并不是点电荷，而是由质子和中子组成
的有一定尺寸的复杂量子体系［!］0 在这种情况下，
原子核产生的库仑势与点电荷模型下的库仑势是不
同的，从而导致核外电子的运动规律有所差别［"］，这
被称为原子核的有限体积效应0
原子核结构的研究也是核物理中的一个重要问
题0 使用不同的原子核结构模型计算的原子核的电
荷分布将会有所差异0 这直接会影响到原子中的电
子感受到的势场，因此在不同的核电荷分布下计算
出的原子的能级结构会有一些差别，尤其是涉及到
内壳层电子时差别更加明显0 这使得通过精确的原
子结构的测量与理论计算结果比较成为一种检验核
理论的有效方法［%，)］0 此外，由于各种元素的同位素
的核电荷分布也是有差别的，这种方法还可以用来
辨认元素的不同同位素［%—G］0 由于原子中电子的波
函数受到原子核有限体积的影响，这还会间接的影
响到电子与原子核的一些相互作用，如量子电动力
学（H:I）效应［(，$］、超精细相互作用［’，J］、弱相互作
用［!&，!!］等0 因此，对原子核有限体积效应的详细研
究对于更精确地检验这些理论也是必不可少的0
高离化态类氢离子是研究核有限体积效应的理
想对象0 因为类氢离子中只有一个电子，一般复杂
原子结构计算中最主要的误差来源———电子关联效
应并不存在，这样就可以更准确地反映出原子核有
限体积的影响0 本文在相对论理论框架下，计算了
高离化态类氢离子（ ! / ’—!!"）" / !—% 壳层的
电子波函数和轨道能，分析了核有限体积效应对它
们的影响，并进一步提出了核有限体积效应对原子
结构影响的一些规律0 为了能将核有限体积效应推
广到一些不能从头计算的原子核，我们还给出了核
有限体效应对类氢离子能级的修正公式0 此外，我
们还讨论了核有限体积效应与相对论效应之间的相
互影响0
"F 理论方法
在相对论理论框架下，类氢离子的哈密顿量可
第G’卷第% 期"&&J 年% 月
!&&&4%"J&K"&&JKG’（&%）K!GG(4&$
物理学报
L7ML NOPQR7L QR1R7L
S><0G’，1>0%，T;,AU，"&&J
!
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
"&&J 7U.?0 NUVW0 Q>A0
以表示为（这里及以后均采用原子单位）
! ! "!·! "!"# " #（ $）， （$）
其中，! 和!是%&’) 矩阵，! 是电子的动量算符，"
为光速，#（ $）是电子感受到的原子核产生的库仑
势，它的具体形式依赖于原子核的核电荷分布* 本
文采用常用的两种核电荷分布模型———点电荷和两
参数+,’& 核模型计算原子核的库仑势*
在点电荷模型下，核电荷密度分布为［$#］
"（ $）! %#（ $）， （#）
其中% 为原子核的核电荷数* 相应的库仑势#（ $）
为
#（ $）! %$
* （.）
原子核的两参数+,’& 核电荷分布模型［$#］可以
表示为
"（ $）! "/
$ " ,
$0 "
&
， （1）
上式中"/
潍常数，" 被称为半密度半径，当$ ! "
时，"（ "）!"/
#
；& 是表示核边界弥散程度的参量，目
前实验发现，不同原子核边界的弥散程度基本一致，
一般为/23#.1 4-* 参数" 和& 与+,’& 核半径’56)7
存在如下关系［$#］：
〈’#
56)7
〉!
.3
"# " 83
!# &#， （3）
而原子核半径’56)7
可由以下拟合公式确定［$#］：
〈’#
56)7
〉$9# ! /*:.;($9. " /*38/，( " ;， （;）
上式中( 为核子数*
如果假设原子核的核电荷"（ $）分布是球对称
的，在两参数+,’& 核电荷分布模型下，原子核产生
的库仑势可以通过下式计算［$#，$.］：
0 $#（ $）! 1!#$
/"（)）)# <) "#$ =
$"（ )）)<) * （8）
本文的相关计算是基于全相对论的原子结构计
算程序包>?@ABC#［$1］进行的*
.2 结果和讨论
!"#" 核有限体积效应对电子波函数的影响
为了比较原子核的有限体积效应对处于不同状
态下的电子的影响，我们首先计算了+,’& 核模型
和点电荷核模型下类氢D6E（% ! $$#）离子的$F，#F，
#G$9#，.9#
壳层的波函数及核势能函数，如图$ 所示* 图
中竖线表示原子核边界*
从势能曲线可看出在点电荷模型下电子感受到
的原子核的库仑势在近核处急剧减小，而+,’& 核
模型下核势能在近核处近似为一常数，由于两种模
型下原子核势能分布的这种差异性，导致在近核区
电子的波函数存在较大的差别* 同时从图中电子波
函数分布的情况可以看出，$F 壳层电子在近核区的
概率相对最大，#F，#G$9#
壳层次之，而#G.9#
壳层的电
子则几乎不能到达近核区* 因此$F 轨道波函数受
到的原子核有限体积效应影响最大，#F，#G$9#
壳层依
次减小* 对#G.9#
壳层核的有限体积效应影响几乎为
零，这表明对#G.9#
壳层而言，将原子核作为点电荷处
理在一般情况下是相当可靠的，特别对* H . 的壳
层，核有限体积效应的影响已经相当小，这时将原子
核作为点电荷处理完全能达到很高的精度要求*
图$ +,’& 核模型（$）和点电荷模型（⋯）下计算的类氢D6E（% ! $$#）离子的$F，#F 和#G$9#
，#G.9#
壳层的波函数和势能函数图
（# ! #9# I $/3）
.期郑曙东等：原子核的有限体积效应对高离化态离子能级和波函数的影响$338
!"#" 核有限体积效应对平均轨道半径和轨道能的
影响
通过上面的分析，我们已经看到核有限体积效
应对电子波函数的影响，这种影响也会反映在电子
的平均轨道半径和轨道能上! 这里，我们进一步计
算了不同核模型下高离化态类氢离子（ ! " #$—
%%&）的" " %—’壳层的平均轨道半径和轨道能!
图& 展示了()*+, 核模型和点电荷核模型下计
算的平均轨道半径差!〈#〉随原子序数! 变化的关
系! 从图中可以看出，各壳层的!〈#〉均随着! 单调
递增! 这是由于原子核电荷的空间分布密度随着原
子序数的增加而增加，导致核势能在近核处差异性
的增大，以及内壳层电子随着原子序数的增加离核
愈来愈近造成的!
由图& 还可看出对所有壳层而言，’ 和&- 壳层
在两种核模型下的平均轨道半径的差异最明显，而
&.’&
和’’&
壳层的差异最小! 这可以定性地从半经
典的角度给予解释! 由于不同壳层的电子轨道的形
状不同，" 愈大，$ 愈小，电子轨道愈扁，近核点离原
子核愈近，而近核区的库仑势在两种核模型下是不
同的，且离核愈近差别愈大! 但远核区的库仑势在
两种模型下基本一致，所以原子核的有限体积效应
对大" 小$ 的壳层的〈#〉影响较大，即对大" 的% 壳
层的〈#〉影响较大，而对&.%/&
壳层的〈#〉影响次之!
由’% 的分析可知，&.’&
壳层的电子不能到达近核
区，故原子核的有限体积效应对&.’&
壳层的〈#〉几乎
没有影响，因此它的平均轨道半径几乎没有变化!
图’给出了()*+, 核模型和点电荷核模型下计
算的高离化态类氢离子! " #$—%%& 的主量子数"
" %—’壳层的能级差!& 随核电荷数的变化! 图&
与图’的曲线变化趋势基本一致，与平均轨道半径
明显不同的是，原子核有限体积效应对%-，&- 壳层
的能量影响最明显! 这是因为!〈&〉! ’〈#〉&!〈#〉，因
此，在两种核式模型下电子的轨道能级差!& 除与
!〈#〉成正比外，还与〈#〉& 成反比，而类氢离子的〈#〉
与"& 成正比，所以核的有限体积效应对%- 壳层轨
道能& 的影响最大，对&-，’，&.%/&
壳层轨道能& 的
影响次之! 而对于&.’&
壳层的轨道能的影响几乎可
以不予考虑!
!"!"$%&’ 模型中参数! 和" 对原子结构的影响
在两参数()*+, 核模型中，决定核电荷分布的
图& ()*+, 与点电荷核模型下不同壳层的平均轨道半径差!〈#〉
图’()*+, 与点电荷核模型下不同壳层轨道能级差!&
是参数( 与)，这两个参数对于研究原子核的结构
和性质具有重要意义! 在不同参数的核电荷分布
下，原子核产生的库仑势是有差别的，这可以直接从
原子的轨道能的变化反映出来! 因此它能够提供研
究原子核结构的另一条途径! 这里我们以类氢123
（! " %%&）离子为例，进一步给出了原子的轨道能和
这两个参数的定量关系!
由（4）式可知，参数( 是一个与核边界弥散程
度相关的量! 我们首先比较了不同( 值对电子波函
数及能级差的影响! 图4 给出了%- 电子波函数和
原子核势能分布随不同的参数( 的变化! 可以看
出，电子波函数随不同的参数( 变化很小，由此可
知，参数( 对原子能级的影响很小!
()*+, 核模型中的另一个参数是)，它可以近似
反映原子核的大小，一般由（5）和（6）式计算得到!
%55# 物理学报5#卷
我们比较了不同! 值对!" 电子波函数及能级差的
影响，如图# 所示$ 从该图可以看出电子波函数在
近核区略有差异，虽然这种差异也很小，但是参数!
的影响要比参数" 的影响大得多$
图% &’)* 模型下! 为%+,-.- /) 时不同参数" 计算的类氢离
子（# 0 !!-）的!" 壳层的波函数和势能分布图（$ 0 $1- 2 !3#）
图# &’)* 模型下" 为3+#-4% /) 时不同参数! 计算的类氢离
子（# 0 !!-）的!" 壳层的波函数和势能分布图（$ 0 $1- 2 !3#）
由此我们可以看出，核有限体积效应主要是由
于原子核的大小引起的，原子核边界弥散程度的作
用很小$
在两参数&’)* 核模型中，若参数"!3，则
&’)* 核模型退化为钢球模型$ 对于钢球模型，电子
感受到的库仑势为［!#］
$（%）0
!
%!!3
#&-
’5678
9 4-
: %-
-’- ( ) 5678
， 3" % " ’5678
，
9 !
%""3
#&-
%
， % ; ’5678
ì
í
î
ïï
ïï $
由<’8)=55>&’5)=5 定理#()
## 0 ($) ，(#*
# ) # $ ) )
#〈#*
##
〉)
［!,］
（ ) 为一组量子数），把原子核半径’5678
看作参数#，有
#*
#’5678
0
# 4
-’-
5678
9 %-
,’% ( ) 5678
， 3" % " ’5678
，
3， % ; ’5678 { $
进一步可以得到
#()
#’5678
0$
’5678
3
$% # 4
-’- 9 %-
,’( ) % $@% :$ A
’5678
$%3$@%$
由于原子核半径非常小，电子波函数$ 在核内
可以近似认为是一常数，由此可以得到
#()
#’5678
0 -.!#’5678
!# B $（3）- B ，
即
() 0 !%!#’-
5678
!# B $（3）- B : + $ （.）
如果原子核半径趋于3，上式应与点电荷的轨
道能公式一致，因此常数+ 等于原子核用点电荷模
型时相应的轨道能$
由（.）式看以看出，使用钢球模型计算的原子轨
道能与原子核半径的平方有关$ 而钢球模型是对
&’)* 模型的一种近似，并且由上面的分析我们知
道，对于&’)* 核模型，核有限体积效应主要是由于
原子核的大小引起的，而原子核边界弥散程度的作
用很小，据此我们可以推断，对于&’)* 模型原子轨
道能与原子核半径即参数! 的平方有关$ 而对于另
一参数"，计算发现点电荷模型和&’)* 模型下的能
级差也与其平方有关，但是相应的系数非常小$ 对
于不同元素，点电荷模型和&’)* 模型下的能级差
与两参数均满足这种关系，只有拟合系数存在差异$
我们假设拟合系数是原子序数# 的函数$ 基于以
上分析，对于类氢元素（# 0 #,—!!-）我们计算得到
了点电荷和&’)* 模型下的能级差拟合公式
$() 0 ,! （ " 9 ,-
）- !-
0 -! !- : -- !- " : -4 !- "-， （C）
式中，,!
，,-
及-!
，--
，-4
均为常数$ 对于不同元素，
系数-!
，--
，-4
均不同，它们随# 的变化关系如图,
所示$ 由图, 可以看出，系数-!
，--
，-4
随# 的变化
是单调的$
比较（.），（C）式可以发现，当"!3，即&’)*
模型退化为钢球模型时，两式是等价的，（C）式中的
! 就对应于（.）式中的’5678
，（C）式中的系数,!
与,-
就对应于（.）式中的常数$
4期郑曙东等：原子核的有限体积效应对高离化态离子能级和波函数的影响!##C
图! "#$%& 和点电荷模型下能级差拟合公式中系数!’，!(
，!)
随" 的变化关系
对类氢元素*+,（" - ’’，# - (./）的’ 壳层，
相应的拟合公式为
!$’ - 1 ’’//%( 3 (424’&%( 3 52’.’&( %( 2
拟合公式（6）在研究原子核的性质时是很有用
的，因为对于类氢离子，采用点电荷模型可以得到波
函数和能级的解析解，实验与理论值比较，我们就可
以推测原子核的半径及边界厚度等相关的物理量，
从而进一步了解原子核的性质2
!"#" 相对论效应与原子核有限体积效应之间的相
互影响
随着原子序数的增加，原子中相对论效应越来
越明显2 相对论效应会使电子径向波函数明显的收
缩［’］，因此相对于非相对论计算，相对论情形下核
的有限体积效应更加显著2
为了研究相对论与核有限体积效应之间的相互
影响，我们计算并比较了"#$%& 核模型和点电荷核
模型在相对论与非相对论情形下核有限体积效应对
’ 平均轨道半径差!〈’〉和能级差!$ 的影响2 图7
和图. 分别给出了类氢离子*+,（" - (5—’’）相对
论和非相对论’ 轨道在两种核模型下的平均半径
差!〈’〉和能级差!$ 随原子序数" 变化关系2 从
两图中可以看出，!〈’〉和!$ 随原子序数" 变化规
律基本一致2 对低" 元素（" - (5—47）相对论和非
相对论的计算结果基本相同；对中" 元素（" - 47—
6(）相对论下核的有限体积效应逐渐增大，相对论情
形下计算的’ 平均能级差与非相对论情形下的计
算结果差异从58!6 #9 增大到’.8)’#9；而对重及
超重元素（" - 6(—’’），相对论下核的有限体积效
图7 "#$%& 与点电荷核模型下’ 壳层的平均半径差!〈’〉
图. "#$%& 与点电荷核模型下’ 壳层的能级差!$
应急剧增大，相对论情形下计算的’平均能级差与
非相对论的计算结果差异从’.8)’#9 增大到
’7.8)/ #92 由此可以看出相对论与原子核有限体
积效应产生了很强的相互影响，所以对于重元素特
别是超重元素，相对论和核有限体积效应必须同时
考虑2
48 结论
本文首先在"#$%& 核模型和点电荷核模型下计
算了高离化态类氢离子（ " - .5—’’）( - ’—) 壳
层的波函数和轨道能，分析了核有限体积效应对它
们的影响2 结果表明，核有限体积效应对高离化态
类氢离子内壳层电子近核区波函数和轨道能的影响
是明显的，且这种影响随着原子序数的增大而增强2
但这些影响对不同(，) 电子有着较大的差异性，对
’ 电子的影响最大，对(0，(:’(
电子的影响次之，对
’!5 物理学报/.卷
!"#$!
电子的影响很小% 因此，对于高离化态离子中
角动量为&$! 的电子，核有限体积效应不能忽略% 我
们进一步拟合了核有限体积效应与’)*+ 核模型中
参数! 和" 的关系% 这个公式对于进一步通过原子
结构研究原子核的性质有十分重要的意义% 对于高
离化态离子，相对论效应往往非常重要，因此文中进
一步分析了相对论效应与核有限体积效应之间的相
互影响% 计算发现，随着原子序数的增加，相对论效
应与核有限体积效应之间的相互影响逐渐增强% 尤
其是对于重元素及超重元素的内壳层电子，应该同
时考虑这两种效应才能得到可靠的结果%
［&］ ,-./ ’0，1-./ , 2，34 ’5 !66! #$% &’(%!) *$+,-",（27-./7-+：
’8-. 4.+9():+;< =)(::）（+. >7+.(:(）［杨福家、王炎森、陆福全
!66! 原子核物理（上海：复旦大学出版社）］
［!］ >?7(.@A-..?48B+ >，C+4 D，’-.EF 3 &GHH .’&/’ 1%"$!&-",
（I(J ,?)F·3?.8?.· 2<8.(<· A?)?.;?： K 1+L(<@+.;():E+(.E(
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［#］ 1-./ 3 D，N4(LL() =，D-+L(< O，C)-F( P 1 ’，P)((.( 0 =，
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［[］ A?*-:(LL+ N，3+4 3 >，’+;]:E7( 2，Oa7L A，c):(:E4 C，I(4*-<()
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［b］ D(+() A，N?7) = 0，=()::?. Q，2?XX P &GGd 2$+, % 3%4 % K &’G[Z
［H］ N+L:;(+. K e，24:7F?9 U =，A()(F7?9 e 2 !66# 2$+, % 3%4 % K #$
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