sr01 同時性的相對性 相對性原理： gr01 廣義相對性原理（廣義協變性）：物理定律在任何座標系中都具有相同形式

愛因斯坦的靈感：相對論小史

量子物理與相對論同為近代物理兩大支柱，不過前者為集體創作，後者卻幾乎是愛因斯坦一人的心血。單憑這一點，若要票選本世紀最具代表性的物理大師，愛因斯坦就當之無愧。
弔詭的是，雖然愛氏是個家喻戶曉的傳奇人物，人人知道他可以和相對論劃上等號，對於相對論稍有認識的人卻少得可憐。甚至大多數人都不知道相對論其實有兩種：「狹義相對論」（俗稱特殊相對論）與「廣義相對論」（俗稱一般相對論）。這並非由於相對論的物理意義或數學結構過分深奧，而是因為愛氏的光環過分刺眼，令大多數人只敢在遠處膜拜，而不敢貼近一探究竟。
其實對一般人而言，要一窺相對論的堂奧並沒有想像中困難，只要把愛氏從神壇上請下來現身說法，就不難從他當年的靈感中領悟一二。
☆ 狹義相對論的靈感：苦思十載一朝頓悟
自一八九五年起，十六歲的愛氏便開始認真思考一個問題：「假如我以光速跟隨一道光束飛行，我會看到哪些奇異景象？比方說，這道光束若是由一座時鐘反射出來，我應該看到一座靜止的鐘，也就是說在我眼中，那座鐘的時間是靜止的；可是在別人看來，同樣的鐘卻在滴答滴答走，這是不是矛盾呢？」愛氏心中這個「臆想實驗」，已經埋下發明狹義相對論的種子。
事實上，當時古典物理學殿堂已是山雨欲來風滿樓，有三個看似矛盾的現象孕育著革命的火種。矛盾一是實驗證明以太與地球竟然沒有相對運動；矛盾二是馬克士威方程組在加利略變換下竟然會變形；矛盾三是馬克士威方程組無法解釋電磁感應的「對稱性」（感應電流只取決於磁體與線圈的「相對運動」）。
在新舊世紀之交，已有物理界前輩如菲次吉拉、洛倫茲、龐加萊等人提出各自的解決方案，多少修補了上述矛盾對物理殿堂的損害。然而那些都是在古典物理架構下的折衷理論，缺乏邏輯的完備性與體系的嚴密性。
身為一位剛出道的物理學家，愛氏當然不會在這場盛會中缺席。不過在此要強調的是，雖然許多教科書都說是矛盾一刺激愛氏提出狹義相對論，可是根據鮮為人知的正史，矛盾三才是愛氏真正的出發點。
一九○五年，愛氏對這類問題已經苦思十載，需要的只是臨門一腳，就能踢出一個劃時代的新理論。在與好友貝索（M. Besso）偶然的一場討論後，這個有如導火線的靈感終於浮現。愛氏突然體認到，解決問題的關鍵在於必須挑戰傳統的「絕對時間」與「同時性」這類概念；其實「絕對時間」並不存在，而時間與訊號速度（光速）之間有密不可分的關係。值得注意的是，這些領悟與上述那個臆想實驗遙相呼應。
這個靈感替愛氏打通任督二脈，不出五個星期，他就寫好了狹義相對論的歷史性論文〈論運動物體的電動力學〉。在這篇論文中，他只用兩個公設作出發點：
一、光速恆定：在任何慣性座標系中，不論光線源自靜止或運動的光源，光速一律是常數。
二、相對性原理：物理定律在任何慣性座標系中都具有相同形式。
同時愛氏特別指出，在他的理論中以太是多餘的，因為他的舞台是任何慣性座標系，無需特別假設一個絕對靜止的座標系。
根據上述兩項公設，愛氏就導出了精確的「洛倫茲變換」，再利用這個變換導出長度收縮、時間膨脹、同時性的相對性，以及質量隨速度增加的公式和新的速度合成法則，由此形成一套嶄新的時空觀。
這個理論後來訂名為狹義相對論，是因為它僅能涵蓋慣性座標系。至於如何推廣到非慣性座標系，愛氏一時之間也沒有概念，只好耐心等待下一個靈感。
☆ 廣義相對論的靈感：一生中最快樂的一個念頭
在真實物理世界中，慣性座標系只是個理想狀況，例如重力場無所不在，而物體受重力作用就會做加速度運動。愛氏原先的構想，是直接推廣狹義相對論來涵蓋各種非慣性座標系。然而不久之後，他就得到一個令人沮喪的結論：在狹義相對論的架構下，絕對不可能有完善的重力理論。
愛氏只好另闢徯徑，試圖突破狹義相對論的框架，尋找一個更強而有力的架構。皇天不負苦心人，一九○七年某一天，他坐在瑞士專利局的辦公室裡，腦中突然閃出一個靈感：「一個在半空中墜落的人，完全感覺不到自己的重量，應該覺得自己好像置身於慣性座標系！」
愛氏後來宣稱，這是他一生中最快樂的一個念頭，因為它成了廣義相對論的敲門磚。耐人尋味的是，它和那個以光速飛行的臆想實驗有異曲同工之妙：一個是以光速飛行，抵消了光速，因而看到一座靜止的時鐘；一個是在重力場中墜落，抵消了重力加速度，因而感覺不到任何重力。
根據這個看似平淡無奇的想法，同年愛氏寫出第一篇有關廣義相對論的論文，提出廣義相對論的兩個公設：
一、等效原理：加速度造成的「重量感」與真正的重力效應一模一樣（實驗證據為慣性質量和重力質量的等價性）。
二、廣義相對性原理（廣義協變性）：物理定律在任何座標系中都具有相同形式。
同樣是從兩個公設出發，愛氏鑽研廣義相對論卻經歷了一段曲折得多的路程。其中最主要的困難，在於當時物理學界所熟知的數學工具似乎都搔不到癢處。
一九一二年，愛氏終於體認到傳統的幾何學不適用於重力場，遂開始在老同學格羅斯曼的幫助下學習「黎曼幾何」與「張量分析」。掌握這些新利器之後，研究工作總算撥雲見日，終於逐步建立起廣義相對論的完備體系：以四維時空的彎曲幾何結構表現重力場。牛頓的重力理論自此功成身退，成了愛氏理論中的一個特例。
〔參考資料〕
《中國大百科全書：物理學》， 中國大百科全書出版社
《物理學史》，郭奕玲、沈慧君合著， 清華大學出版社
《愛因斯坦》(上)，D. Brian著，鄧德祥譯，天下遠見出版公司
〈巨人肩上的巨人〉，葉李華著，科學月刊1999年十月號

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表一：相對論英雄榜（出場序）

加利略	Galileo Galilei (1564-1642)
牛頓	Isaac Newton (1642-1727)
法拉第	Michael Faraday (1791-1867)
黎曼	Bernhard Riemann (1826-1866)
馬克士威	James Maxwell (1831-1879)
莫雷	Edward Morley (1838-1923)
厄特弗	Baron von Eo:tvo:s (1848-1919)
菲次吉拉	George Fitzgerald (1851-1901)
邁克生	Albert Michelson (1852-1931)
洛倫茲	Hendrik Lorentz (1853-1928)
龐加萊	Henri Poincar'e (1854-1912)
希伯特	David Hilbert (1862-1943)
閔可夫斯基	Hermann Minkowski (1864-1909)
格羅斯曼	Marcel Grossmann (1878-1936)
愛因斯坦	Albert Einstein (1879-1955)
愛丁頓	Arthur Eddington (1882-1944)

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表二：相對論大事記


1831：法拉第發表「電磁感應定律」
1864：馬克士威發表「馬克士威方程組」
1887：邁克生－莫雷干涉實驗（證實地球與以太沒有相對運動）
1889：厄特弗扭秤實驗（證實慣性質量與重力質量幾乎一致）
1889：菲次吉拉提出「長度收縮」公式 1904：龐加萊提出「相對性原理」
1904：洛倫茲發表「洛倫茲變換」的二階近似式（精確的「洛倫茲變換」由愛氏於次年導出）
1905：愛氏於《物理學年報9月號》發表〈論運動物體的電動力學〉提出狹義相對論
1905：愛氏於《物理學年報11月號》發表〈物體之慣性與其所含之能量有關嗎？〉預測「質能關係」E=mc^2
1907：愛氏提出「等效原理」為廣義相對論鋪路
1907：閔可夫斯基提出「四維時空連續體」數學架構
1913：愛氏與格羅斯曼聯合發表〈廣義相對論綱要與重力理論〉
1915：愛氏發表數篇廣義相對論相關論文
1915：希伯特以不同方法，與愛氏幾乎同時導出廣義相對論的重力場方程式
1916：愛氏發表〈廣義相對論之基礎〉總結廣義相對論之研究
1917：愛氏根據廣義相對論提出靜態宇宙模型（後證明有誤，正確模型於五年後陸續由他人提出）
1919：愛丁頓以天文攝影為廣義相對論提供重要佐證（星光經過太陽附近確實會發生偏折）

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表三：相對論詞彙
‧牛頓重力定律（Newton's law of gravity）：
亦稱「萬有引力定律」。認為一切具有質量的物體都會互相吸引，吸引力正比於兩者質量的乘積，反比於兩者距離的平方，比例常數稱為（牛頓）重力常數，通常記為Ｇ。
‧以太（ether;aether）：
一種早已被實驗否定的假想物質。十九世紀的物理學家假設電磁波也需要介質，這種介質便是所謂的以太。根據理論，以太假如真正存在，則應不具質量、充斥宇宙各個角落，而且在宇宙中絕對靜止。
‧加利略變換（Galilean transformation）：
古典力學中兩個慣性座標系之間的時空座標關係式。其中只有空間座標發生轉換，兩者的時間座標毫無差異，因為兩者皆用絕對時間。
‧光速（speed of light）：電磁波或光子在真空中行進的固定速率，通常記為ｃ，是基本物理常數之一。如今光速「定」為每秒恰好二九九，七九二，四五八公尺，公尺的長度則根據上述光速來定義。
‧同時性（simultaneity）：
某觀測者若測得兩個事件同時發生，則稱這兩個事件「相對於該觀測者」具有同時性。不過對於其他觀測者而言，這兩個事件卻不一定同時，因此「同時」並非絕對的物理概念。
‧協變（covariant）：
一個物理定律以某方程式表示時，若在不同的座標系中，該方程式的形式一律不變，則稱該方程式為協變。一般而言，同一物理定律可用不同形式的方程式表示，這些方程式有些為協變，有些則否。
‧長度收縮：即「菲次吉拉收縮」。
‧洛倫茲變換（Lorentz transformation）：
兩個慣性座標系之間的時空座標關係式，由兩座標系的相對速度決定。在這個轉換式中，空間座標與時間座標皆進行轉換。洛倫茲變換為狹義相對論的數學基礎，由洛倫茲最先以數學方法導出近似式，其精確形式與物理意義則是愛因斯坦的貢獻。兩座標系之相對速度若比光速小很多，則洛倫茲變換就近似於加利略變換。
‧重力（gravity;gravitation）：俗稱萬有引力，是自然界四種基本作用力中最微弱的一種。任何具有質量或等效質量的粒子都會產生重力，因此任何兩個物體之間皆存在有重力作用。
‧重力質量（gravitational mass）：在古典物理學中，質量具有兩種表徵，其中牛頓重力定律所描述之質量稱為「重力質量」。
‧重力場方程式（gravitational field equations）：
廣義相對論的基本方程式，是一組具有十個分量的張量方程式，描述物質與能量的存在如何使時空結構彎曲，重力則隱含在彎曲的時空中。牛頓重力定律是這組方程式在特例下的近似。
‧時空連續體（space-time continuum）：時間與空間共同組成的四維時空結構，由閔可夫斯基最先提出。在平直的四維時空連續體中，「距離」s的定義為s^2=x^2+y^2+z^2-(ct)^2，其中x、y、z為空間座標，t為時間座標，c為真空光速。由此即可看出，它與四維歐氏空間最大的不同，在於第四個座標在「四維畢氏定理」中的地位。彎曲的四維時空連續體可視為前者的推廣，正如彎曲的Ｎ維空間是歐氏Ｎ維空間的推廣。
‧時間膨脹（time dilation）：
根據狹義相對論中的洛倫茲變換，在靜止的觀測者看來，運動中的時鐘走得較慢，意即觀測者本身的時間會發生膨脹。膨脹因子為(1-v^2/c^2)^-0.5，其中v為時鐘相對於靜止觀測者的速度，c為真空光速。
‧狹義相對論（special theory of relativity）：
愛因斯坦於一九○五年所發表的理論。它根據兩項公設，導出度量時間與空間的正確觀念。對速率接近光速的物體，牛頓力學的描述有重大誤差，狹義相對論則有正確的描述。
‧馬克士威方程組（Maxwell's equations）：能夠完全描述電磁現象的一組四個（微分）方程式，由馬克士威首先整理出來。包括電的高斯定律（庫侖定律為其特例）、磁的高斯定律、法拉第電磁感應定律，以及馬克士威修正過的安培定律。
‧張量（tensor）：一種數學量，其特點為在座標變換時遵循一定的規律。根據變換規律的不同，可將張量分為零階、一階、二階……其中零階張量即純量（例如溫度），一階張量即向量（例如力）。任何物理量皆可歸為某階張量，例如電場與磁場同為某二階張量的分量。
‧等效原理（principle of equivalence）：
廣義相對論的基本假設。認為置身於等加速座標系中的觀測者，無法以任何物理方法分辨究竟是本身在加速抑或置身某重力場中。
‧菲次吉拉收縮（Fitzgerald contraction）：根據狹義相對論中的洛倫茲變換，在靜止的觀測者看來，運動中的物體其長度會沿運動方向收縮。收縮因子為(1-v^2/c^2)^0.5，其中v為物體相對於靜止觀測者的速度，c為真空光速。由此可見物體運動愈快，產生的菲氏收縮愈多，但由於收縮量很小，因此只有在物體接近光速時才較明顯。
‧黑洞（black hole）：廣義相對論預測的一種特殊天體，其特徵為具有封閉的「視界」，也就是黑洞的邊界。外界的物質或輻射可以進入這個視界，但是若不考慮量子效應，視界內的物質與輻射不可能跑出來。就天文學的角度而言，黑洞是某些恆星演化的終站，如今幾乎已能確定黑洞的存在。
‧電磁感應（electromagnetic induction）：變動的磁場產生電場的現象。一八三一年，法拉第首先提出電磁感應的數個例子，例如磁體與線圈的相對運動會在線圈中感應出電流。
‧慣性座標系（慣性參照系）（inertial frame）：
為標定事件發生的時刻與位置而選取的時間座標與空間座標稱為（參考）座標系。若在某一座標系中，不受外力的物體必保持靜止或做等速度運動，此座標系就屬於慣性座標系。
‧慣性質量（inertial mass）：在古典物理學中，質量具有兩種表徵，其中牛頓第二運動定律（作用力正比於質量及加速度）所描述之質量稱為「慣性質量」。
‧廣義相對論（general theory of relativity）：
愛因斯坦於一九一五、六年間所發表的理論，將狹義相對論的慣性座標系推廣到非慣性座標系（例如旋轉座標系、重力場中的座標系）。主要內容是將重力解釋成彎曲時空中的幾何結構，從而導出比牛頓重力定律更精確的重力理論。廣義相對論已通過數項驗證，如今是天體物理學與宇宙學的基本工具。
‧質能關係（energy-mass relation）：
即愛因斯坦導出的著名公式E=mc^2（能量等於質量乘以光速的平方），指出能量與質量實為一體的兩面。
‧質量（mass）：粒子攜帶的一種基本物理量，是重力場的發射源（由牛頓重力定律或廣義相對論描述），亦是慣性的來源（由牛頓第二運動定律描述）。
‧黎曼幾何（Riemannian geometry）：
黎曼將曲面微分幾何學推廣至Ｎ維流形而發展出的幾何學。其中Ｎ維流形擁有一個度量「無限小長度平方」的二次式（可視為畢氏定理的推廣），由此即可定義長度、角度、曲率等幾何量，進而研究這個Ｎ維流形的各種性質，而不需要將它嵌入（Ｎ＋１）維空間中。
‧靜質量（rest mass）：亦稱靜止質量。對靜止於某座標系的質點而言，在此座標系中測得的質量稱為其靜質量。根據狹義相對論，運動中質點的質量會隨著速度增加。
‧臆想實驗（Gedanken experiment）：
亦稱想像實驗。為解釋或檢驗某一理論，理論物理學家常根據現有知識設計一些紙上實驗，作為具體的論證對象，此即所謂臆想實驗。臆想實驗之目的不在求得結果，而在檢驗一個理論的正誤。