力学中的不变量
武际可
（北京大学力学与工程科学系，100871）
提要 本文从方法论的角度讨论力学中的不变量理论。指出在寻求不变量与了解力学系统变化的关系。指出不变量与变换的关系，并且指出利用不变量方法求力学定解问题的准确解和对已有准确解的分类和整理的研究途径。
关键词不变量 变换变换群 准确解 李群
1.引言
力学是研究物质宏观机械运动规律的科学。即研究物体位置变化的科学，平衡即不变化，可以看作变化的特殊情形。
从方法论的观点来看，变化和不变化是相对而言的。变化的事物，一定存在某些不变的东西。这种不变的东西，就是后一事物与前一事物的联系。古希腊哲学家赫拉克利特（Heraclitus,约公元前540年~前480年）说：・人不能两次踏进同一条河。・极言事物的变化。我们所以可以研究这条河，是因为它具有一些不变的东西，至少它的名字是不变的。但是如果我们后一次所踏进的河与前一次所踏进的河之间没有任何不变的东西，连名字也变了。这样两次所踏进的河之间就没有任何联系，我们就不可能认识这条河。
可见，只有充分了解了事物的不变的性质，我们才能研究事物的变化。同时，为了研究事物的变化，也必须了解事物的不变性质。也就是说，只有把一个事物的变化与不变化的性质都分清楚后我们才能充分地认识事物，把握它们的性质。也可以这样说，认识事物不变的性质是认识事物变化性质的一个侧面。
在力学学科发展的过程中，研究不变量的方法贯穿整个力学史。
2.不变量与变换
在力学中不变量是相对于变换来说的。即一种不变量是在一种特定的变换之下是不变的。
最早认识到的不变量是：1644年笛卡尔引进动量，17世纪初开普勒在研究火星时引进
了角动量，1686年莱布尼兹引进了动能。这些概念经过许多学者逐步扩展。后来发现这些不变量分别对应于坐标平移、转动，和时间平移变换之下的不变量。
与此同时人们还发现在坐标变换下，向量的大小是不变量。到19世纪末张量引进后，坐标变换下又逐渐认识了张量的不变量。在力学中最常遇到的张量不变量就是应力和应变不变量。
人们的认识是逐步扩大的。起先了解的只是个别的不变量，后来就逐步认识不变量的系列，即在一种变换之下所有的不变量类。起先只考虑标量的不变量，后来有了向量与张量的不变量。
人们把在伽利略变换下的所有的不变性质，称为经典力学。1904年罗伦茨（H.Lorentz，1853-1928）引进了时间和空间变量的罗伦茨变换，人们把在罗伦茨变换下的所有不变性质称为相对论力学。
人们对变换的研究也在逐步扩展。最早是坐标的变换，后来是加进了坐标随时间的导数即速度的变换。由于导数在几何上表示切线，含导数的变换下，有一类保持曲线或曲面相切或相接触的性质，所以人们把这类特别的变换称为接触变换。
进一步，人们还考虑问题的未知量也参加变换，进而未知量的导数也包含在包含内。1787年，勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752-1833）在蒙日关于最小曲面研究的启发下，给出了勒让德变换。勒让德变换在力学和物理上的应用，可以把作用量的自变量换成与原来变量对偶的变量。勒让德变换是在坐标作对偶变换时，从老不变量得到新不变量的重要方法。因此勒让德变换在物理和力学中具有非常重要的意义。1883年瑞典数学家贝克隆（A.V. Bäcklund ，1845 - 1922)为研究负高斯曲率曲面的弯曲变形，即保持高斯曲率不变的变形，这种变形下与曲面有关的一个参数要满足一个二阶非线性偏微分方程，称为sine－Gorden方程，引进了一个包含未知函数的一阶导数的变换。在这个变换下，方程保持不变。
1870年瑞典数学家李（Sophus Lie，1840-1899）从最一般的观点讨论变换，这种变换可以变换未知函数、坐标，坐标与未知函数的各阶导数。并且研究这类变换组成的群，称为李群。
此后人们不但研究简单的不变量，而且研究微分不变量。进而把微分方程和微分方程组也看作不变量来研究。
总之，把变换与不变量联系起来研究是研究不变量的基本方法。一定的不变量对应于一定的变换，同样给定一类变换就可以找到适当的不变量。所以从方法论上来说，我们所说的事物的变化，可以把它分解为许多变换，有时可以分解为无限多变换。然后对系统在这些变换下的行为分别研究，只有我们对系统在这些变换下的行为了解得足够多，我们对系统也就了解得足够多。
3.寻求力学系统特解的重要方法
我们研究力学系统，经常是把它们提为一组方程或初边值问题。对这组初边值问题求解，就成为求解力学问题的主要内容。从历史发展上来看，求解力学问题，最初是求所提出的初边值问题的特别解，即求在特别条件下的系统的解。这种解通常是用函数的有限表达式或分析表达式来表示的，这种解也称为特解，它是一种准确解。后来由于所提出的问题愈来愈不容易解，就发展出数值解方法。在计算机充分发展和普及的今天，对许多问题来说采用数值方法用得更多，几乎有成为唯一求解方法的趋势。
不过，数值解也不能完全取代特解的地位。这是因为，首先，特解是一种表达式，它能够充分表达系统中各种参数的依存关系，这是数值解所难于实现的。其次，因为特解是准确解，要考核体现数值方法软件的正确性，必须要用准确解来校验。如果没有经过准确解校验的软件，就贸然用来求解实际问题，那是很危险的。有时会得出错误的结果。
早期，由于力学系统的定解问题相对简单，求特解主要靠解题人的能力和灵感。后来由于定解问题愈来愈难，所以就需要发展比较普遍适用的方法。特别是现今遇到的非线性问题愈来愈多，单靠解题人的直觉和灵感是很难奏效的了。所以利用变换和求不变量方法便成为求解非线性问题的最重要的途径了。
如果把控制力学系统的方程或方程组看作不变量。我们若能够找到对应的变换，在这种变换之下方程或方程组不变，则就相当于找到了一类特解。就是说，只要找到一个特解，在这一变换下，因为方程是不变的，所以特解还变为特解。于是只要是得到了一个这种变换，我们便可以从一个特解经过变换得到一个特解的系列，或一类特解。
有时，我们找到的这类变换是带未知函数的导数的，这时得到新的特解需要经过一次积分。历史上，贝克隆变换用来求解sine-Gorden方程就是一个含导数的变换。
举例来说，考虑近年来研究得比较多的KDV(Korteweg-de Vries)方程
(),,ftxu=0txxxxuuuu++=
它在如下四个参数变换群作用下是不变的, 即
⑴（时间平移） tt→
⑵xxa→ (平移)
⑶xxta→ (Galileo变换) uu→
⑷,3ta→xax→, (膨胀) 2ua−→
于是可得四个向量场
1234,,,32XXXtXtxutxxutx∂∂∂∂∂∂==+=+−∂∂∂∂∂∂(a=1 邻域)
对应于这四种变换可以得到以下的解：
1.为不变量即不依赖于t, ,uxu
即方程化为则积分可得 ''''0ϕϕϕ=
2()(3sec1)2cxchxϕ−当''''(,,0,(0)0, ）
2. 为不变，即u与,utx无关，于是方程
平凡解 0.tuuconst=⇒
3. 两个不变,/,uxtt−33(()0,(/)0Xtxuxt =−∵
由第一个得 代入方程得 /(uxtVt=+ /,()/vctuxct==+
4. 对是不变量, 这时可令2/331,utxt−2/331(),utVyyxt−−==
代入原方程得 2'''''2/3'161918()93yVyVyVvyV+=+−
4 对于13,xx+得不变解 2(),2tutVyyx=+=−, ''''10VVV++=.
对于13,xx−得不变解 2(),2tutVyyx=−=+,''''10VVV+−
如果引用变换还可以使上述方程线性化，扩展变量后，包含导数讨论不变量。 Backlund
在力学中，常用的变换有正则变换、达布变换、贝克隆变换等。至于对于给定的定解问题如何去求相应的变换，这需要有一定李群方面的知识。
前面说的在一定变换下方程或方程组保持不变。如果这组方程是连续介质的本构方程，则在坐标变换下应当保持不变，这种性质直到20世纪50年代才提得比较明确，这种性质被称为不变性原则。
4.对已有理论系统的整理
在几何学中，1872年，德国数学家克莱因（Felix Christian Klein，1849-1925）
在论文《Vergleichende Betrachtungen üer neuere geometrische Forschungen》中提出以变换来区分非欧几何的理论。后来被称为rlangen program即爱尔朗根纲领。此后，已有的几何学知识就按照变换下的性质来分类。例如拓扑学是研究连续变换下的不变性质，欧氏几何是研究正交变换之下的不变性质，射影几何是研究射影变换下的不变性质，仿射几何是研究仿射变换下的不变性质等等。
以变换群的方法对于已有的力学问题来整理，发展得比较晚。虽然在19世纪末已经发展了一系列关于保守系统的正则变换理论。可是后来一直没有什么前进。直到20世纪0年代人们发展了李群对微分方程研究应用，力学界也开始从变换的角度来整理已有的力学问题的特解。其中比较突出的是W.H.Hui对流体力学的文章〔2〕〔3〕和Б.Д.Аннин等对弹塑性理论的书〔1〕这两个文件系统把已有的流体力学和固体力学的解从变换群的角度加以整理。
量纲分析和相似性的理论，实际上本身就是变换群的一种特例。前者就是当基本量的单位改变时讨论各个量的变化与不变的性质。而后者是讨论当尺寸改变时两个物理问题的相似性。在这里，无量纲的量就是这种变换下的不变量。
要了解力学中的变换与不变量问题，需要一定的数学准备。〔4〕是一本比较好的参考书。
参考 文 献
1. Б.Д.Аннин,В.О.Бытев,С.И.СенашовГруповыеСвойстваУравненийУпргостииПластичости, Изд. НАУКА，1986
2. Ma, P.K.H. & Hui, W. H. "Similarity solutions of the two-dimensional unsteady boundary layer equations", Journal of Fluid Mechanics, 216, 537-559，1990
3. W.H. Hui，Exact solutions of the unsteady two-dimensional Navier-Stokes equations，
Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP)， Volume 38，umber 5 / September, 1987
4. Peter J. Olver，Applications of Lie Groups to Differential Equations，Springer Verlag World Publishing Corp, 1990.
5. V.I.Arnold，B.A.Khesin， Topological methods in hydrodynamics，springer，1998
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