white01 tensor01 通过坐标表示来确定要表示的与要研究的图形的几何性质，经常会发现，图形之间的射影变换会保持图形的某些性质不变，这种性质称为射影性质。

通过坐标表示来确定要表示的与要研究的图形

的几何性质，经常会发现，图形之间的射影变换会保

持图形的某些性质不变，这种性质称为射影性质。


代数不变量(以下简称不变量)代表这些保持不变的几何性质。

以n 次二元型为例:设 次二元型f(X 1 ， X2 ) 的系

数为叫(0 :::三i 运的，1'为变换X 1 α i1 Y1 +α 12Y2 ,

X2 = α21Y1 + α22Y2 ,

通过变换 将f变为一个新的n 次二元型，记为Tσ) = F( 仇， Y2) 。

其系数为JO :::三l :::三n) ; 如果它们的系数函数I满足

I( αo ， a 1 ， …， αJ =δTI(bo ， b 1 ， … ， bJ ( * ) ,

则称关系I 为 的一个不变量，这里

δ=α11α22 … α12α21

是T 的行列式， r 是任意整数，称为权。这个定义可以

推广到任意多个变量任意次数的型上，也可以推广

到两个(或多个)型系之上。

Cayley , 1821-1895) 是第一个用不变量理论统一研

究几何学的数学家，他论证了欧氏空间的度量性质并非图形本身的属性，而可以借助某种特定图形按

射影概念加以建立，说明欧氏几何是射影几何的一

部分

1871 年初到1872 年9 月底，克莱因(C. F.

Klein , 1849-1925 )又试图在不变量理论的基础上

对几何学进行分类，并提出著名的埃尔朗根纲领每种几何学都以某个群为基础。其任务就是确定这个

群的不变量，从此几何学摆脱了欧氏几何一统天下

的局面，获得了空前解放。

A 西北大学学报自然科学版)

4鳝矗2009 年2 月，第39 卷第1 期， Feb. ,2009 , Vol. 39 ,No. 1

，吃" Joumal of Northwest University (Natural Science Edition)

rr JNWU

代数不变量理论历史演变李跃武1气赵云l

(1.合作民族师范高等专科学校数学系，甘肃合作747000;2. 西北大学数学与科学史研究中心，陕西西安710127)

摘要:目的系统探讨不变量理论的历史演变。方法文献考证和历史分析。结果英国学派的

工作奠定了不变量理论的基础，德国学派发明的符号方法使经典不变量理论达到了真正的繁荣和

成熟，希尔伯特的工作从根本上改变了不变量理论的研究方向。抽象代数的发展，组合学的进步，

计算机科学的发展和计算机代数学的出现为不变量理论注入了新的活力;在数学、物理学、计算机

科学等领域中的广泛应用使其获得重生。结论代数不变量作为不变量的重要一类，对0 世纪整

个数学乃至物理学的发展产生了广泛而深刻的影响。

关键词代数不变量;数学史;符号方法;抽象代数

中图分类号:011 文献标识码A 文章编号: 1000-274 X (2009 )01 -0160-05

代数不变量理论源于19 世纪中期英国数学家

的工作，并于下半叶成为数学研究的核心课题之一，

它起源于3 个不同的分支:数论一一拉格朗日(J. 1.

Lagrange , 1736一1813 )二元二次型理论及高斯( c.

F. Gauss , 1777-1855) 关于双二次型的分类几

何一一曲线的射影性质代数一一行列式理论。

19 世纪不变量的研究主要集中于发现特殊不

变量以及寻找不变量的完备系。德国人发明的符号

方法成为这一时期研究的重要工具;哥尔丹(P. Gordan

,1837-1912) 1868 年二元型系的有限定理是该方法的光辉顶点;希尔伯特(D. Hilbe此， 1862-

1943) 1890 年得到不变量完备系的一般结论，给出

了存在性证明，并于1893 年宣称这一理论的总目标已经达到。然而，他没有预见到，正是其存在性证明

使不变量理论死灰复燃进入以抽象代数模式研

究的全新阶段。本文主要介绍不变量理论的发展历史及其对数学和其他学科的影响。

1 经典不变量理论的来源

通过坐标表示来确定要表示的与要研究的图形

的几何性质，经常会发现，图形之间的射影变换会保

持图形的某些性质不变，这种性质称为射影性质。

收稿日期:2008 -03-11

基金项目:国家自然科学基金资助项目(10771169 )

作者简介:李跃武，男，甘肃临挑人，从事近现代数学史研究。

代数不变量(以下简称不变量)代表这些保持不变的几何性质。

以n 次二元型为例:设 次二元型f(X 1 ， X2 ) 的系

数为叫(0 :::三i 运的，1'为变换X 1 α i1 Y1 +α 12Y2 ,

X2 = α21Y1 + α22Y2 ,

通过变换 将f变为一个新的n 次二元型，记为Tσ) = F( 仇， Y2) 。

其系数为JO :::三l :::三n) ; 如果它们的系数函数I满足

I( αo ， a 1 ， …， αJ =δTI(bo ， b 1 ， … ， bJ ( * ) ,

则称关系I 为 的一个不变量，这里

δ=α11α22 … α12α21

是T 的行列式， r 是任意整数，称为权。这个定义可以

推广到任意多个变量任意次数的型上，也可以推广

到两个(或多个)型系之上。

不变量与代数曲线的射影分类密切相关。事实上，代数曲线的射影分类是不变量理论产生的主要

根源。由型系P1 ， P2 ， … ， P.， 和矶，也，… ， Q， 各自决

定的代数系X 和Y 的射影等价与这些体系中保持

不变性的值相一致，但反之不真，因此，不变量的研

究仅是几何对象分类问题的第一步。19 世纪中叶，

各种几何学之间的内部关系问题仍然没有解决，几

何关系的考察成为几何学研究的热点。凯莱( A.

第1 期李跃武等:代数不变量理论历史演变一161 一

Cayley , 1821-1895) 是第一个用不变量理论统一研

究几何学的数学家，他论证了欧氏空间的度量性质并非图形本身的属性，而可以借助某种特定图形按

射影概念加以建立，说明欧氏几何是射影几何的一

部分。1871 年初到1872 年9 月底，克莱因(C. F.

Klein , 1849-1925 )又试图在不变量理论的基础上

对几何学进行分类，并提出著名的埃尔朗根纲领每种几何学都以某个群为基础。其任务就是确定这个

群的不变量，从此几何学摆脱了欧氏几何一统天下

的局面，获得了空前解放。

行列式的研究对不变量理论的出现也有帮助。

雅可比(C. G. J. Jacobi , 1804-1815) 1841 年的两篇

论文"论行列式的结构和性质 (De formatione et

proprietatibus determinantium) 和"行列式的作用"

(De determinantibus functionalibl时与不变量理论起

源有关。这两篇论文中的主要结论之一是n 个变量

的n 个线性型系

Pi = 2, α内(i = 1 ,2 ,…,n)

的行列式1 = det(αij) 是群GL(n) 下的不变量。这个

结果的重要推广是断言:雅克比行列式1 = det(αi)

在零点处是一不变量。

不变量思想首先出现于数论，拉格朗日和高斯

关于双二次型分类的工作可以看作是不变量理论之

槛脯，特别地，与高斯在《算术研究》中双二次型理

论相联系。高斯研究了双二次型之间的线性变换，

并寻找在这样的变换下仍保持不变的量，但高斯的

目的是通过研究这样的不变量完成双二次型的分

类1] 他们的工作处于不变量理论发展的无意识阶段。

2 经典不变量理论的发展

2.1 英国学派的工作

布尔G. Boole , 1815-1864) 1841 年的"解析变换理论研究" (Researches on the theory of analytical

transformations) 是公认的第一篇不变量理论研究论文。在研究拉格朗日利用变换讨论各种类型物体的

旋转问题时，布尔指出:总有可能通过正交变换将一

个二次型对角化，并考虑特殊的双二次型，利用非奇

异线性变换得到了相当于( * )式的结果。

布尔意识到( * )式结果的重要性，但其目的是

解决两个基本问题一是什么条件下两对型等价;第

二，如果它们等价，确定从第一对到第二对的线性变换2] 。

尽管布尔的工作打开了不变量理论研究的大

门，但真正做出贡献的第一人是凯菜。与布尔直接

进攻等价问题不同，凯莱转向不变量及协变量本身

的研究。

运用矩阵代数方法，凯莱对线性变换进行了研

究，这方面的工作总结在"线性变换理论( On the

theory of linear transformations , 1845 )和"论线性变换 (On linear transformations , 1846 )两篇论文中。

在1845 年的论文中，详细研究了线性变换系数函

数的各种取值，称不变量为超行列式导数"( hyperdeterminant

de到vative) ，为846 年的论文作了基础工作。在1846 年的论文中，引进了协变量( covariance)

的定义和运算，进行了相关不变量的详细计算[3] 。

在许多情形下，可能在一个型系的不变量之中

找到有限多个不变量11'，元，… '/n ， 这个型系的其他

不变量是.f"，元，… A 的多项式。这种性质首先由凯莱注意到了。从1856 年开始，凯莱发表了10 篇论文"论代数形式" ( Memoirs on quantics) ，找到了三次

及四次二元型的这种不变量，这样的不变量系开始

称之为完备系。从现代观点看，这样一个系是相关不变量环生成的有限系，即不变量代数是有限的;这些基本不变量(不变量环的生成元)通常不是独立

的(这就是说，不变量代数不是自由代数) :可存在

一些非平凡多项式(称为关系)或合冲，经过替换，

它们恒等于零;在关系集本身又能够找出有限个基

本关系，所有余下的关系是它们代数运算的结果。

同样地，基本关系自身通常也不是独立的，故可确定

二次合冲等等，并用这种方法造出的合冲链结果总是有限的。这些事实导出经典不变量理论中两个基

本问题的陈述:①证明给定群的给定表示的不变量

代数是有限生成的(不变量理论的第一基本定理) ,

且确定基本不变量组②证明合冲的有限基的存在

性(第二基本定理) ，且找出它。

凯菜的10 篇论文发展了一种不变量理论新方

法，称之为偏微分方程法，超行列式导数逐渐被放

弃。其基本思想是:一个不变量可以看作偏微分方

程集合的一个解(这里考虑的是偏微分方程的纯代

数性质而不是解析性质。凯莱引人两个偏微分算

子计算不变量，这种方法成为英国不变量理论的特

征。

需要提到的一点，经典不变量理论中几乎所有

术语是由凯莱和西尔维斯特(J. J. Sylvester , 1814-

1897) 引人的，包括"不变量" ( invariant) , "合冲"

(syzygy) ，"权( weight) 等等。

凯菜的超行列式导数方法显得比较繁琐，并且

一- 162 西北大学学报自然科学版) 第39 卷

不是十分清晰，但其贡献还是非常重要的。首先，其

新思想的重要意义在于导向了线性变换不变形式的

研究， ;另一方面，他的不变量理论的新方法提供了

向张量分析发展的途径。事实上，绝对微分学张量

表达的实现，在很大程度上依赖凯菜的工作。因

此，可以认为，凯菜的超行列式导数的研究报告是不

变量理论的第一部著作[4] 。

1850 年代末，凯莱已经建立起不变量理论，但

他没能提供有效的不变量计算理论，而同时德国数

学家利用他们发明的符号方法接连取得突破，因此，

从1860 年代开始，不变量理论研究的领导地位从英

国转移到德国。

2.2 德国学派的工作

德国数学家海塞(L. O. Hesse , 1811-1874) 注

意到了雅克比的工作，但海塞的方法有其几何直观

在一个m 次n 元齐次多项式f 的海塞行列式

φ= 1 乒手1 (1町，用n)

I dX;dXj I

的帮助下，研究三阶平面曲线的临界点，并从纯几何

的角度处理曲线=0 上的拐点。用前面的术语，海

塞实际上证明了:如果f被变换为(刀，则φω= {/φ (Tω) ,

即φ 为变换 下的不变量。[5]

从1848 年开始，海塞的学生阿伦霍德(s. H.

Aronhold , 1819-1884 )承担起前者在这方面的研

究，但与其直观的几何解释没有联系。他创造了一

种寻找和处理不变量的形式方法，这使他以及他的

后继者在这个领域占据数十年的优势地位，在德国

形成了一个有影响的研究学派。

在大量的特殊不变量被计算出来之后，寻找不

变量的完备系成为不变量理论学家要解决的首要问题。沿着这样的路线，德国数学家们发展了一种符

号方法，其目的是将英国学派的工作刻画为清晰计算，这种方法使指定次数的任意型系的不变量计算

成为可能。一个完备系的不变量次数未知，原则上，

用符号方法构造不变量的完备系是不可能的。然

而，利用符号方法及其他考虑可能会获得一些特殊

情形下的解。哥尔丹利用符号方法成功计算出五次

二元型的23 个以及六次二元型的26 个不变量和协变量，并在1868 年达到了这种方法的顶点，即著名

的二元型系的有限定理。他证明了:对任意次的二

元型系，存在有限的不变量的完备系。哥尔丹的工

作为他赢得"不变量之王" [5] 的称号，在许多年内保

持着这个学科中的领导权威。

在以后几年时间里，哥尔丹的结果被多方面推

广。哥尔丹自己发现了三元二次型，三元三次型，两个及三个三元二次型系的不变量的完备系。但是，

一般情形下的不变量的有限完备系的存在性问题仍

然是这个理论中未解决的核心问题之一。

符号方法可以极大地简化不变量的计算，将之

归结为形式表达。1860 年代之后，不变量理论最重

要的结果都是在这种形式计算基础之上获得的。但

是，由于不变量计算本身的复杂性，对 次二元型的

不变量的完备系仅仅得到了n=:::;6 的情形， n =7 的

情形的计算已超出19 世纪的计算能力。

2.3 希尔伯特的工作

19 世纪0 年代中期，希尔伯特开始研究不变量，他的论文"代数型理论 ( Über die Theorie der algebraischen

Formen , 1890) 及"不变量的完备系"

(Über die vollen Invariantensyster肘， 1893 )解决了许多数学家经过长期努力而未攻克的问题不变量生

成元个数的有限性问题。第一篇论文证明了有限完

备系的存在性，第二篇论文给出了这个问题的明确的构造性解。当时这个领域中的领军人物如哥尔丹

都强烈质疑希尔伯特证明的合法性。哥尔丹称希尔伯特的证明"不是数学，是神学"。[6]

希尔伯特1893 年的论文中总结了不变量的基

本性质，将不变量理论的发展划分为 个阶段:以凯菜和西尔维斯特为代表的幼稚期;以阿伦霍德、哥尔丹、克莱布什(A. Clebsch , 1833-1872) 为代表的形

式化阶段;以希尔伯特工作为基础的批评阶段。希

尔伯特认为这个科目的所有主要目标已经达到，今

后将放弃不变量理论的研究，这也就是宣告以算法

为特征的不变量理论研究的终结。1920 年代不变量这一主题行将消亡，不变量研究者及发表的研究

论文的数量都大大减少。

3 重生

并不是所有数学家都同意希尔伯特的宣言，相

反，一些不变量学家意识到希尔伯特创造了不变量

理论新的研究方法，而不是带给它死亡。历史的发展也验证了这种观点。正是希尔伯特关于第一基本

定理的存在性证明打开了通向抽象代数方法的大

门，事实上，希尔伯特对不变量系有限基的存在性证明，是以一条关键的关于模( module ，指多项式环中

的一个理想、)的有限基的存在性引理为基础，采用

同调概念获得的。希尔伯特的一套方法把模、环、域

等抽象理论带到显著地位。不变量理论0 世纪的

发展中，抽象代数的观点占了主导地位。

第1 期李跃武等:代数不变量理论历史演变- 163 一

与希尔伯特悲观主义相背的一个重要进展是不

变量理论的方法向其他群，尤其是正交群，辛群，及

有限群的扩展。费舍尔 E. Fischer , 1875-1954 )引

导埃米·诺特(Emmy Noether, 1882-1935) 从哥尔丹的符号演算方式转变为采用希尔伯特的抽象代数

模式来研究不变量理论杨R. A. Young , 1873-

1940) 发展了对称群中的不变量理论外尔H.

Weyl , 1885-1955) 将不变量理论置于一个更加一

般的思想中，多项式现在成为张量分析中的特殊类型，线性或线性分式变换被扩展至群表示论的巨大

领域之中;李特尔伍德(J. E. LitÙewood , 1885-

1977) 揭示了张量分析与不变量理论之间的联系[7] 。所有不变量组成一个K 代数，且不变量理论的目的就是要描述这个K 代数。因此，型的不变量

均是一般线性群关于它的对偶空间的有固定秩的对称张量空间中表示的不变量(型的系数是这个张量

的分量) ;共变变换归结到在海合价张量空间中的

表示的不变量代数的研究。因此，不变量理论的基

本问题是线性表试论如下一般问题的特殊情形:将

一个给定价张量空间分解为关于底线性空间线性变换的给定群不可约的不变子空间寻求不变量可简化成选出一维不变子空间。

不变量理论的新发展阶段与问题范围扩张以及

这个理论的几何应用相关，用现代代数和几何协调经典不变量和外尔的观点的努力给新一代不变量学

家以启示。其中最有影响的是芒福德( D. Mumford ,

1937一)的关于希尔伯特方法的发展，导致了深刻

而抽象的几何不变量理论。现代不变量理论成为代

数变换群一般理论的一部分，代数群论是它的基础，

代数几何学的语言是它的语言基础。经典理论的基

本对象是域K 上n 个变量的多项式环，还有由变量

线性变换导出的自同构群;与经典理论成鲜明对比，

现代不变量理论考虑任意有限生成K 代数R 以及

它的K 自同构的代数群G 。

1900 年巴黎数学家大会希尔伯特提出23 个问题，其中第十四问题是问什么样的群满足有限定理。

对这个问题的肯定回答将蕴含着对任意群的不变量

理论的第一基本定理的有效性。但是，一个否定解

已经由日本数学家永田雅宜(M. Nagata) 1958 年给出:对交换幕去群不变量代数没有有限个生成

二二[8]

/U 。

随着计算机技术的发展，不变量的计算技术也

得到重要发展。计算机代数学的出现。格若勃基理

论，为不变量计算注入了新的活力。如何才能清晰

计算不变量环的生成元?存在有限算法吗其复杂度如何?数学家们已在有限群，约化群中得到一些

结果。

不变量理论就像一棵大树，它的枝叶已经伸展

进所有数学之中，而且正结出美丽的果实。例如:在

几何中，示'性类的共形不变量的研究;代数中，芒福

德假设分析中，热方程不变量的研究;组合学中，凯莱空间和图论中幻标号的研究及上界猜想等等。不

变量理论在物理学及其他学科中也有广泛应用，如

连续介质力学、动力系统、工程系统和控制论、原子

物理学，甚至计算机视觉和图像处理等。[7]

4 结语布尔为数学家指出了一个全新的数学领域一一

不变量理论，但没有发展出不变量计算的一般方法。

凯莱第一个深入研究不变量及其计算的一般方法，

并得出了一系列重要成果，但他没能提供有效的不

变量计算方法，而德国不变量理论学家采用阿伦霍

德发明的符号方法使其达到了真正的繁荣和成熟，

哥尔丹的结果是符号方法的极致。希尔伯特未能完

全"杀死"这一主题，他的存在性证明发展出不变量

理论研究的新方法。抽象代数的发展，组合学的逐

步成熟，计算机科学的发展和计算机代数学的出现为不变量理论注入了新的活力。在数学、物理学、计算机科学等领域中的广泛应用使其获得重生。[9]

事物总是处于不断变化的状态中，因此把握变化中保持不变的性质是认识事物最有效的途径之

一。无论是社会科学还是自然科学，都会寻求某种不变性，在科学上称之为守恒，在数学上就是不变量。发现不变量并将研究对象进行分类，往往是一

门科学的开端，也是数学的一项重要任务。从某种意义上说，现代数学就是研究各种不变量的科学。

代数不变量作为不变量的重要一类，其发展虽然在

19 世纪未遭遇挫折，但希尔伯特的工作从根本上改

变了不变量理论研究现状，对0 世纪整个数学乃至

物理学的发展产生了广泛而深刻的影响。

参考文献:

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- 164 一西北大学学报自然科学版) 第39 卷

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of Binarry Forms[ J]. Bulle出of the American Mathematical

Society (new series) ,1984,10;27-85.

(编辑姚远

History of algebraic invariant theory

LI Yue-wu1

,2 ,ZHAO Yun1

(1. Department of Mathematics , Hezuo Minorities Teachers' College , Gansu Hezuo 747000 , China;2. Center for History of Mathematics

and Sciences , N orthwest U niversity , Xi' an 710 127 , China)

Abstract: Aim To systematically discuss and research the history of algebraic invariant theory. Methods Literature

investigation and historical analysis. Results British school' s work laid the foundation for the theory of invariants

, Germany School' s symbolic method of classic invariant theory made it the real prosperity and mature , Hilbert'

s work fundamentally changed the invariant theory research. The development of abstract algebra , combinatorγ ，

computer science and the rise of computer algebra injected new vitality into invariant theory; the extensive application

in mathematics , physics , computer science and other fields made it to be reborn. Conclusion Algebraic invariant

as an important sort of invariant , has had widespread and the profound influence on entire mathematics and

even the physics development in 20th century.

Key words: algebraic invariant; history of mathematics; symbolic method; abstract algebra

·学术动态·

我校又有7 项发明专利获授权我校专利工作继续呈稳步增长态势， 2008 年7 -9 月，我校又有7 项发明专利获得授权。

序号

2

3

4

5

6

7

专利名称

单金属/双金属掺杂的纳米级改性四氧化兰铁固

体储氢材料及其制备方法

一种抗菌织物整理浆料及其制备方法

-一种微型珍珠项链状聚合物纤维及其制备方法

一种可生物降解止血海绵材料及其制备方法

2-乙眈基苯并眯略缩甘氨酸希夫碱的制备方法

。-(3 ， 4-二是基苯基) -α-竣基丙酸冰片脂及其合

成方法和用途

仿细胞膜结构共聚物及其制备方法和应用

专利类型

发明

发明

发明人

王惠王小芳董发昕田勇王新智

黄岳元王亚平郭人民谢建榕米缸

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发明宫永宽王艳玲宫铭吕久安

发明

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梅

郑晓晖张群正王世祥赵新锋宫永宽杨珊宫铭马佳妮张世

平

(薛鲍