根据经典力学,一个物体的质量m不随运动而变化,因而对于不同的惯性系,同一物体的质量应当是相同的.同一物体在两个彼此作相对匀速直线运动的惯性系中的质量和加速度都是相等的,因此它们受到的作用力也必然相等.所以质量乘上加速度得出力的参量方程: .由此可见,牛顿第二定律对于伽利略变换是一个不变的数学式子.对于牛顿第一和第三定律都可做出类似的证明.牛顿运动定律是整个经典力学的理论基础,它与伽利略变换相联系的所有惯性系都有相同的数学形式
现代宇宙学(之一)
1.空间的相对性与绝对性
毫无疑问,时间和空间是物理学中的两个重要概念,它是认识自然科学的前提.大约在公元前的四世纪,亚里士多德就提出了一个世界性的理论体系,从而对时间和空间的观念产生了很大的影响.在这个理论体系中,地球是位于宇宙的中心,整个宇宙都在环绕着地球的7个同心球壳所组成的系统运转着.月亮、太阳、行星和恒星分别处在不同的球壳上,它们都以完美的圆周运动形式运转着.这在以上“人类宇宙观念的发展”章节中就已经描述过.当然今天已经很少有人再相信这样的宇宙结构模式了.但是在两千多年前,亚里士多德就敢于对宇宙给出一个统一的解释,并且认为地球就是一个球状的样式.从历史的角度来看,这确实在人类认识史上也是一大成就,那可是需要极大的勇气和智慧才能提出这样的宇宙模型的.要知道,在那时要建立和坚持这种观念是需要克服相当大的成见所带来的阻力的呀.诚然若从我们现在的时空观来评价的话,亚里士多德的时空观把上和下这两个方向都相对化了,就如同许多人在攀登在一个悬崖峭壁上,上面的人看趾下的人,他们是在“下”方,而趾下的人看上方的人,他在“上”方.这就是说,空间在各个方向都是等价的,没有那个方向具有特殊的优越性,这就是空间上的相对性.如果回顾一下对时间和空间的论述历史,你就会发现,这可是整个人类在迈向科学的时空观中最初的也是最重要一步.然而值得注意的是,在亚里士多德的空间理论体系里,“空间的位置”却是绝的.他的位置观念是,只要没有外界的干扰和阻力,每个物体都力图回到它自己的天然所处.按着亚里士多德的意思,物体只所以会运动,就是因为它还没有到达自己的自然位置.亚里士多德在论述宇宙的结构时,他把宇宙分为“月上”(比月亮远)和“月下”(比月亮近)两个完全不同的世界.太阳、月亮、星星等天上的东西的自然位置是在月上的天球上,它们随着天球作圆周运动.地面附着的物体,其自然位置在地球中心,所以它们都作落体运动.亚里士多德在论述月上和月下两个世界的物体运动形式时,是有很大的差别的.月上的运动一刻不停地做圆周运动,月下的物体只在短时间内作上升和下降运动.但这两个世界的物体运动从不相互转化.也就是说,这两种不同的运动具有绝对的意义.所以说在亚里士多德的时空观里,某些“位置”具有特殊的优势.在物体的运动中,有些“空间点”起着决定性的作用,人们把这种性质叫作空间点的绝对性.亚里士多德剥夺了空间方向的特殊性而规定出空间各个方向的等价性,但却对空间中各个位置点赋予特殊的优越性而变得不等价了,从而使得物质具有了最优分布和最优位置的概念.所以亚里士多德的空间是一个各向具有同性但又是不均匀的一个空间概念.这样一来,亚里士多德关于位置的定义不仅仅是以相对的位置和相对运动为其出发点,同时,也是以绝对位置和绝对运动为出发点的.亚里士多德的空间概念在欧洲一直占据着主导地位,到了17世纪,经典力学建立之后才用新的时空观念取代了它.
在17世纪的意大利,出现了在近代科学中,系统地研究力学的第一人,他就是伽利略(G.Galileo).他发现了摆的等时性,并且深入研究了自由落体和抛物运动的规律.他倡导数学与实验相结合的研究方法.这种方法对近代科学的发展是一种很有效研究程序.概括起来就是:对自然现象的一般观察→提出工作假设→运用数学和逻辑的手段得出特殊推论→再通过实验对推论进行检验→从而对假设和推论进行修正和推广.伽利略很重视观察,并能有效地将实验同逻辑(数学)有机地结合起来,从而有力地推进了人类科学认识活动的进展.值得提及的是,在伽利略的著作论述里,他所描述的实验都是理想化的,他所记载的实验数据大都同理论结合的十分完美,这很可能是因为他对数据进行了筛选.这表明伽利略并没被实验的表面现象所束缚,能够正确得对待实验中的误差.因为在他看来,实验的结果与理想的简单规则之间的偏差,只不过是次要因素干扰的结果.我们可以看出,伽利略无论在动力学的基本原理上还是在动力学的研究方法上,都对近代的科学研究做出了奠基性的重要贡献.爱因斯坦在《物理学的进化》中评论说:“伽利略的发现以及他所应用的科学推理方法是人类思想史上最伟大的成就之一,而且标志着物理学的真正开端.” 毫无疑问,伽利略为牛顿的工作奠定了基础.
牛顿是经典力学的集大成者,他总结了天体的力学和地面上的力学成就,为经典力学定义了一套基本的概念,提出了运动三定律和万有吸引定律,使经典力学发展成为了一个完整的理论体系.牛顿的工作标志着经典力学的成熟,也是人类对自然世界认识的第一次大综合.牛顿为了完成经典力学的建立工作,需要产生一种新的时空观,同时也需要在这种新的时空观下建立起一种新的相对和绝对关系.为此,牛顿必须站在巨人的肩上来完成这项工作.那么,牛顿是如何将前人的成就与自己的发现结合起来的呢?这就要从伽利略运动的相对性说起.
我们都知名道,哥白尼的“日心说”用在地球上,那就是地球围绕着自身的轴心自转并且还与其它的行星一道绕着太阳公转.而哥白尼的反对派,也就是维护亚里士多德和托勒密“地心说”的人氏则提出了一条强硬的反对理由说是:如果地球在高速的运动,为什么地球上的人一点都感觉不到呢?如果地球在运动,从塔顶前丢下的石头一定会落到塔的背后而不是落在塔的脚下,然而事实并不是这样.在反驳“地心说”者们的这个问题时,伽利略指出:在石头下落的这一小段的时间内,可以设想,地球上的塔顶和塔脚也都匀速地向前移动了同样的距离,石头在下落过程中,其水平分速度保持不变,与塔身以同样的速度作水平运动,所以石头是不会落在塔的背后的.伽利略在反驳了“地心说”的理由之后,他又引用了一艘匀速行驶的船为例进一步加强了他的说服力,他说:若在船桅杆的顶上丢下一块石头,当这块石头被放开而下落时,具有一个与船速相等的不受竖直方向运动影响的水平运动,这个水平速度使石头自身走过的水平距离等于船走过的距离.因此石头和桅杆同时到达同一地点.对于参加这一水平运动的船上的观察者来说,他们看到是石头垂直下落,并且落在了桅杆的脚下;但对岸上的观察者来说,石头下落时似乎还随着船身向前移动了一段距离,是有一个向前水平的运动和一个垂直下落的运动的合运动,所以石头的总体运动轨迹应当是一条抛物线状的,理所当然地石头还是落在了桅杆的脚下.其实以上所描述的这块石头的运动性质就叫运动的相对性.伽利略由这一观察连同其它的力学定律,总结而成了他的“运动相对性原理”.伽利略在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》中,用一段生动而精彩的话语表述了他的相对运动思想.他说:“把你和一些朋友关在一条大船的甲板下的主舱里,再让你们带几只苍蝇、蝴蝶和其它的小飞虫.舱内放一只大水碗,碗内再放几条鱼.然后在船舱顶上再挂上一个水瓶,让水一滴一滴地滴到下面一个开宽口的罐子里.当船不动的时候,你留神观察,小虫都以等速的方式向舱内各个方向飞行,鱼也向各个方向随意游动,水滴也一滴滴地滴入下面的罐子中.这时,只要你把任意什么东西扔给你的朋友时,只要距离相等,向这一方向扔,并不比向另一方向扔用更多的力,如果你双脚齐跳,若用同样力的话,无论你朝哪个方向跳过的距离都相等.当你观察到这些事件后,再使船以任何速度行进,只要船速是匀速的,而不是忽左忽右地摆动,你将发现,所有以上动作的结果丝毫没有变化,你也无法从其中任何一个事件中来确定,船是运动着的还是停止不动的.即便是船运动的非常快,在跳跃时,你将和以前一样在船底板上跳过相同的距离,你跳向船尾也不会比跳向船头跳的更远些,虽然你在跳到空中时,脚下的船底板向着你跳过的相反的方向移动.你把不论什么东西扔给你的同伴时,不论他是在船头还是在船尾,只要你自己站在对面,你也并不需要更多的力气.水滴也将像先前一样,滴进下方的罐子,一滴也不会滴向船尾,虽然水滴在空中时,船已行驶了许多Span.鱼在水中游向水碗前部所用的力,也不比游向水碗后部来的大,它们一样悠闲地游向放在水碗边缘任何地方的食饵.最后,蝴蝶和苍蝇随意地飞行,它们也绝不会向船尾集结,并不因为它们可能长时间留在空中,脱离了船的运动,为赶上船的运动显出疲惫的样子.” 伽利略的这段精彩而生动的解说,说明了在船舱里发生的诸多事件中的任何一件,都无法使船舱里的观察者判断出这条船是否在运动.这正像从塔顶上丢下来的石头,是垂直下落的,然而并没有感觉到地球在运动一样.这充分说明了在一个惯性系里物体运动的特征,在其它惯性系里也毫无差别地表现出来.按运动学来说,在相对作匀速直线运动的所有惯性系里,物体的运动都遵守同样的物理规律.这个结论就是伽利略的相对性原理.这个原理所要表明的是:所有的惯性参考系都是平权的、等价的,在自然界没有什么最优参考系.但是这并等于说不同的参考系它们完全相同,相反,彼此等价的惯性参考系也是有差别的,差别就在于:同一个力学现象,不同惯性参考系的观察者会做出完全不同的描述.就像我们前面提到的例子,从船桅杆顶上掉下来的石头,随船作匀速运动的观察者和站在岸上的观察者所看到的石头运动的轨迹是不同的.不仅如此,从不同的惯性参考系所看到的物体运动的速度也是不一样的.你想想,假如站在船速为υ的行驶的船上,船头和船尾各站一人,他们相互投掷一个皮球,在随船行驶的观察者来看,球在向前投掷和向后投掷的速度都一样,即都是v,但在岸上的观察者看来,球在掷向船头的速度要大些,因为这时球的速度为:v+υ,而球在掷向船尾时的速度要小些,因为球速是:v-υ.正是惯性参考系既等价又存在差别,所以就出现了一个坐标系之间的变换问题.对于同一力学过程,尽管可以选择不同的惯性参考系来描述,但它们所遵从的基本规律却是一样的,所采用的运动方程的形式也是相同的.然而,由于选择了不同的参考系,对同一个物体的运动描述也将不同,这就是相对性原理支持下的基本特证.只要一谈到运动,就必然要涉及到时间和空间,为了描述运动,当观察者从一个惯性系变换到另一个惯性系时,实际上就是时空变换.通过时空变换,我们发现力学规律在不同的惯性系里有着相同的数学形式.所谓的伽利略变换就基于这种思想而而建立起来的.为了说明伽利略变换,我们设有代表各自参考系的坐标系S和S’,见图:
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x
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y
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(S)
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(S’)
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Y’
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X’
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R
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O
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O’
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r
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p
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r’
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现在我们设S’系对S系以速度υ作相对运动,但规定S’和S系的坐标轴之间的相对取向保持不变.这时让我们来考察从S和S’系质点P的运动.设质点P在S和S’系中的位矢、速度以及加速度分别在S系中是:r、υ、a ,在S’系为r’、υ’、a’ ,并以R代表S’系原点O’对S系原点O的位矢.由图中可以看出它们具有如下的关系:
现在我们先从S系讨论:可以认为r和R是S系自己的观测值.而r’是S’系的观测值.只有在S系测得的O’P量值确保与r’相同,对S系才能得出r=R+r’,因为矢量相加时,各矢量必须是由同一坐标系来测定.对S’也是一样,即只有S’系测的OP的量值确保等于r时,对S’系才有r’=r +(-R).可见上式成立的条件是:空间两点间的距离不管从哪个坐标系测量,结果都应相同,这个结论就是空间的绝对性.如果S系与S’系的两个坐标系的X轴与X’方向相同且重合,S’系对S系的速度为υ常矢量,并且是沿着X轴的正方向移动,而且约定在O’与O相重合的时间为t=t’=0 ,则显然有: R=υt, x=x’+υt, y=y’,
z=z’.我们把以上两`坐标系之间的质点坐标的变换公式称为伽利略坐标变换.
在伽利略变换中,有一个非常重要的假设是第二个坐标系S’的时间t’和第一个坐标系S的时间t是一样的,这意味着S系的观察者和S’系的观察者可以共用一个时钟.所以时间在这里与空间不同,时间坐标对于一切惯性系都是同一的、绝对的.由此我们可以证明,凡是牛顿力学所涉及的力学规律在伽利略的坐标变换下都具有相同的数学形式.现以牛顿第二定律为例来说明这个问题.在S坐标系中,一个质量为m的粒子沿x坐标轴方向的运动方程应该是:按着以上伽利略变换的结论,这时的t=t’,由变换后的x方向的位移式子为:x’=x-υt,对此式求导,得 ,这次求导后的结果式实质上是一个速度参量式,再次求导后,由于υ是常数,得:
为了说明空间的均匀性和各向的同一性,用坐标旋转的方式进行考察是个不错的选择.对于一个空间的直角坐标系,某一位移矢量r(t)可以表证出由三个坐标分量所表示的空间位移矢量:
以上的这种表达方式实际上将位移矢量在二维平面坐标的情况下,以恒定速度转过一个θ角的变换推广到了三维空间坐标的变换式.在旋转过程中由于Z坐标方向位移量为零,所以二维的情况是这样的:
那么,这时的速度υ和加速度a分量的变换式就是对位移分量的两边对时间逐个求导后得到的.即速度分量:
加速度分量:
按牛顿第定律,上述加速度的变换很容易变换成动力矢量,即F:简捷地表示出:
虽说F和F’的函数形式一般来说有所不同,但作为矢量来考量则是一样的.由于质量是标量,其坐标变换是不变的,即:m =
m’.若用矢量来表示力则:
ma’=
F’或者 ma =F.以上的推论说明了什么呢?说明了牛顿空间的各向同一性.与此同时,也说明了在牛顿的力学理论里,运动方程对于坐标系的旋转具有对称的性质.所以说,亚里士多德的空间和牛顿的空间区别就在于:亚里士多德的空间虽说是各向同性的,但它不是均匀的.而牛顿的空间不仅各向同性,而且各向都是均匀的,即质点从一点到另一点,其性质不变.牛顿的空间相对于亚里士多德的空间是否定了亚氏空间位置的绝对性.起初,哥白尼首先否定了地球是宇宙中心的绝对性,后来,伽利略提出了相对性原理,他强调的是运动的相对性,反映在空间性质上就是空间沿直线移动的均匀性.这为牛顿完全否定宇宙中心的绝对性打下了基础.到了牛顿时代,他对空间的相对性意义又推动了一大步.他打破了天上和地下的界限,认为苹果落地和月亮绕地球的运动是由同种原因所致,完全否定了亚里士多德的物体都要回到它自己的自然位置中去的观念.相反的,在牛顿的力学体系里,宇宙没有中心的地位,任何时间和空间都是平等的,相对于时空点的计算,物理规律都是一样.然而不要忘了,牛顿在使空间变得更加相对性的同时,他还坚持一种绝对空间和绝对时间的概念.牛顿在《自然哲学的数学原理》中,对时间和空间是没下定义的.这样一来,容易使人在理解时空概念时,都是从可感知事物的联系中去理解,从而混淆了时空的可感知形式和真正的、绝对的、数学的时空概念.其实,这和相对的、表象的、通常的时空概念是不同的.牛顿曾说:“绝对的空间,就其本质而言,是与外界事物无关,它永远是相同的和不动的.相对空间是绝对空间的可动部分或是一种量度.”这种观念或许就是后来认为是局限性的地方.因为物体的运动总是在时间和空间中进行的,它怎么能与时间和空间分开呢?然而牛顿却强调“空间与外界事物无关”,这岂不就将空间与物体及其运动分开了么?这真是“智者千虑,总有一失”呀.不过若对牛顿的时空观进行仔细的分析就不难看出,在牛顿的理论体系里,物体运动的规律和性质,与采取什么样的空间和时间来量度有着密切的关系.从源头上看来,牛顿力学成立的基础是惯性定律.它奠定了物体运动状态的变化是由外界的作用力引起的.这样一来,就可以把物体和力分离开来,从而推导出运动方程.正因为如此,牛顿就必然要找到一个使惯性定律和其它定律都能成立的参考系.哥白尼是把宇宙空间里的天体作为参考系,在那个时侯,太阳已经被认为也是在动的,所以牛顿就不可能再选择太阳作为参考系了.牛顿认为,与实际的物体相联系的参考系,任何时候都不能作为惯性定律的基础,所以他就提出了与外界事物无关的绝对空间作为参考系.只有相对于绝对空间的运动,才是真正意义上的绝对的静止和运动.也只有将绝对空间作为参考系,惯性定律才能成立.可以设想,在没有力的情况下,在一个既没中心也没方向性的空间里,运动物体将以均匀速度做直线运动,静止的物体将恒定不动.所以在没有外力的作用下,物体是不会改变它的运动状态的.这样看来,如果没有绝对空间,惯性定律是不可思议的.爱因斯坦就曾感慨地说到:“空间的概念被伽利略和牛顿丰富了起来,并且也复杂化了,因为人们如果想给古典的惯性定律以一个确切的定义,那就必需把空间作为物体的惯性行为独立的原因而引进来.在我看来,完全清楚地理解到这一点,这是牛顿最伟大成就之一…尽管他强烈地感到不安,而这种不安也正是另外两位(德国数学家哲学家莱布尼兹和荷兰物理学家惠更斯)所以要反对的原因.但牛顿还是作了这样的决定:空间不仅作为一个同物质客体无关的独立的东西而引进来,而且还指定它在整个理论的因果结构中担任一个绝对的角色.这个角色是从这样的意义上来说是绝对的,即空间作为一个惯性系作用于一切物质客体上,可是这些物质客体却不反过来给空间以任何的反作用.” 牛顿只所以对自己的绝对空间感到不安,是因为他知道,自然界里并不存在真正静止的物体而使得所有其它的物体的位置和运动可以相对它来确定.这就说明牛顿早就意识到,我们在自然界观察到的运动都是两个物体的相对运动,而不是一个物体的绝对运动.由于不能感知绝对空间本身,所以我们讲某个具体的位置,总是相对于我们认为不动的某个物体而言的,也因此物体的运动量度就是根据这种位置所进行的计算.这样一来,人们就用相对位置和相对运动代替了绝对的位置和绝对运动.
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