Riemann可积性 Lebesgue刻画定理，讲有界函数Riemann可积当且仅当其不连续点全体是零测

饮水思源 - 主题文章阅读　　[讨论区: math]     函数可积绝对可积及平方可积关系的讨论

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[回复本文][原帖] 发信人: airbus(lunar the final), 信区: math 标 题: 请问关于可积，平方可积，绝对可积的关系 发信站: 饮水思源 (2010年05月19日18:42:48 星期三), 站内信件 哪位老师能给我讲一讲啊，谢谢 另外f(x)=cosx在(-inf,inf)的积分是否收敛，f(x)是否可积 谢谢！ -- ※ 来源:·饮水思源 bbs.sjtu.edu.cn·[FROM: 122.193.184.106]

[回复本文][原帖] 发信人: FreeNight(sunnyrose), 信区: math 标 题: Re: 请问关于可积，平方可积，绝对可积的关系 发信站: 饮水思源 (2010年05月19日20:58:07 星期三) 绝对可积当然可积。 平方可积，绝对可积的关系： 一般来说，两者互不相关； 例1： f_1(x)= -1/x，x<-1时； 1，-1≤x≤1时； 1/x，x>1时。 显然该函数在实数范围内连续，恒正。 其平方的积分为4（很容易计算）。 但是它本身的积分是发散的（显然）。 例2. f_2(x)=x^{-1/2} 在（0，1）内可积，但是却不是平方可积（容易验证）。 【 在 airbus 的大作中提到: 】 : 哪位老师能给我讲一讲啊，谢谢 : 另外f(x)=cosx在(-inf,inf)的积分是否收敛，f(x)是否可积 : 谢谢！ -- ※ 来源:·饮水思源 bbs.sjtu.edu.cn·[FROM: 222.64.217.99]

[回复本文][原帖] 发信人: abbe (East Lake), 信区: math 标 题: Re: 请问关于可积，平方可积，绝对可积的关系 发信站: 饮水思源 (2010年05月19日21:41:54 星期三) 我来回答你的问题，估计你问的可积都是某种Riemann可积。 你问几种可积性之间的关系，从原则上来讲，必须注意函数定义域的长度为无穷还是为有 限。 Case A。假设函数定义域的长度为无穷，譬如区间[0,infinity),则以上三种可积性均没有 必然联系，譬如sin x/x是可积但不是绝对可积，一个绝对可积但不可积的例子见Case B2 的分析。 Case B。假设函数定义域的长度为有限，譬如为区间[a,b]. B1。根据著名的Cauchy-Schwarz不等式，平方可积必定绝对可积。 B2。绝对可积一般说来无法蕴含可积，反例即在[0，1]上的有理数上赋值为1，在[0，1]上 的无理数赋值为-1。 B3。如果你讨论的可积性是最标准的那种Riemann可积性的话，则可积必定绝对可积。这和 级数的特点不一样，绝对收敛的级数必定收敛，但收敛的级数不一定绝对收敛。这其中的 原因是著名的Lebesgue刻画定理，讲有界函数Riemann可积当且仅当其不连续点全体是零测 度集。这是一条数学系实变函数课程里面的定理，如果你感兴趣的话可以去查阅。 最后，你问的几种可积性也可能指的是某种有界区域上的瑕积分。这个我就不深入分析了 ，你自己摸索关系吧。最后，再啰嗦一边原则，就是要区分定义域的长度是有限还是无限 来分别对待讨论。 【 在 airbus 的大作中提到: 】 : 哪位老师能给我讲一讲啊，谢谢 : 另外f(x)=cosx在(-inf,inf)的积分是否收敛，f(x)是否可积 : 谢谢！ -- ※ 来源:·饮水思源 bbs.sjtu.edu.cn·[FROM: 124.28.240.94]

[回复本文][原帖] 发信人: airbus(lunar the final), 信区: math 标 题: Re: 请问关于可积，平方可积，绝对可积的关系 发信站: 饮水思源 (2010年05月20日17:53:15 星期四), 转信 感谢abbe老师的回复，我还需要理解一下 另外 http://bbs.sjtu.edu.cn/file/math/1274349089137441.bmp 此图中第一个极限是否存在，第二个式子是否正确，对此一直很困惑 谢谢指教！ 【 在 abbe (East Lake) 的大作中提到: 】 : 我来回答你的问题，估计你问的可积都是某种Riemann可积。 : 你问几种可积性之间的关系，从原则上来讲，必须注意函数定义域的长度为无穷还是为有 : 限。 : Case A。假设函数定义域的长度为无穷，譬如区间[0,infinity),则以上三种可积性均没有 : 必然联系，譬如sin x/x是可积但不是绝对可积，一个绝对可积但不可积的例子见Case B2 : 的分析。 : Case B。假设函数定义域的长度为有限，譬如为区间[a,b]. : B1。根据著名的Cauchy-Schwarz不等式，平方可积必定绝对可积。 : B2。绝对可积一般说来无法蕴含可积，反例即在[0，1]上的有理数上赋值为1，在[0，1]上 : 的无理数赋值为-1。 : .................（以下省略） -- ※ 来源:·饮水思源 bbs.sjtu.edu.cn·[FROM: 122.193.184.88]

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