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| 對稱之美 | ||||
| 文化中國-中國網 cul.china.com.cn 時間： 2011-02-14 09:31 責任編輯: 任子鵬 | ||||
對稱背後的數學
 這是一位日本畫家Ogata Koran（1658年—1716年）的作品，包含了類似函數sin2πx的圖像的波，具有某種對稱性。
數學是什麼？對這個問題，我們有很多的答案。一種回答是，數學是研究數與形的科學。這種研究的一個非常重要的方面，就是要理解現象背後的結構與規律，更確切的説，就是隱含的對稱。
既然數學一貫都被認為是理解自然界和宇宙的基本語言，我們當然有理由相信，對稱將會在諸如藝術、文學和自然科學的方方面面扮演重要的角色。
在這裡，我們討論幾個藝術、建築和自然科學中的例子，其中將會看到對稱的觀念起了怎樣的關鍵作用。那麼，我們就帶著讀者，去領略浩瀚文獻中所描述的對稱及其廣泛的應用吧！
什麼是對稱
根據《牛津字典》，對稱是一種結構，使得物體可以被分割成形狀和大小相同的幾部分，或者是物體關於邊界和中心的類似重復。
我們要舉的第一個例子，也許是大多數中國人最熟悉的，是北京的天壇。試想你沿著天壇的臺階拾級而上，一定會感受到一種和諧的美感。這座沿著道路中軸對稱的建築展現了令人折服的莊嚴與肅穆，這是反射對稱（或鏡像對稱）的例子。
印度阿格拉的泰姬陵，建於1631年—1643年，是莫臥兒王朝帝王沙賈漢為愛妃泰吉馬哈爾所造。據傳當年沙賈漢聽聞愛妃先他而去的消息後，竟一夜白頭。這座建築也是沿中心線對稱的。除了整體上的對稱，局部上也遵循了對稱美的原則。
希臘雅典的帕臺農神廟，建於西元前447年—438年。無論從前方或側面看，它都是對稱的。而它的柱子呈週期分佈，也體現了一種平移對稱。
如果你在春暖花開的時節走進公園，你會看到爭妍鬥麗的百花大都是對稱的。比如，冬烏頭就是旋轉對稱的。有些花還帶有更多的對稱，比如大麗花，除了旋轉對稱，大麗花還有一種由內而外、層次鮮明的對稱。多重對稱的疊加讓花朵更加的艷麗。
巴黎聖母院北邊墻面上的巨大的玫瑰窗，有著五彩華麗的旋轉對稱，令人嘆為觀止。它建於1163年—1250年，圓面的直徑大約是40英尺。
南太平洋的復活節島上的石雕人像，有的石像重量超過50噸。讓人費解的是，為什麼這些石像會出現在這個小島上？在沒有現代化起重機的幫助下，這些石像是如何豎立起來的？
在上面的所有例子中，都包含著一個保持物體形狀或模式不變的等距群。其中，有等距群是由相對於中線的反射生成的二階群；還有是一個由旋轉構成的有限群。如果假設物體延伸到無窮遠處，那麼就有一個無窮的平移變換群作用在其上，並且保持模式不變。
在此基礎上，我們可以從數學上給出一個物體對稱的定義，即有一些非平凡的等距作用在其上。明顯的，這樣的等距全體構成了一個群，並把物體分成了相同的幾個部分。
同樣的，我們稱一個物體是非對稱的，如果不存在非平凡等距作用在其上。給了兩個物體A與B，如果A的等距群包含了B的等距群，那麼我們就説A比B更加的對稱。
為了更好的表述這些概念，我們考慮四個圖形：圓、正方形、長方形和一個不規則的四邊形。明顯的，這不規則的四邊形不是對稱的。同樣，直覺告訴我們，圓是最對稱的，正方形比長方形更加的對稱。事實上，圓的等距群是無窮的，並且包含了正方形的有限等距群，而後者又包含了長方形的等距群。
破缺的對稱
人生不可能是盡善盡美的。我們也很難找到一朵花是完美無缺的。雖然人體總的來説是左右對稱的，可是這種對稱遠遠不是完全的。每個人左右手的粗細不一樣，一隻眼睛比另一隻眼睛更大或更圓，耳垂的形狀也不同。最明顯的，就是每個人只有一個心臟，通常都在靠右的位置（當然也有極少數人的心臟在左側）。
不僅日常生活中我們會有意的打破對稱，藝術家有時也會極力地創造出不對稱的圖像和物體，可是仍然給人以和諧與平衡的美感。
建於1145年的法國沙特爾大教堂。教堂在塔樓以下的部分是反射對稱的。同樣在局部上也有許多的對稱。例如，中間的窗子是旋轉對稱的。試想一下，如果塔樓也是對稱的，那麼這座教堂看起來也許就沒有現在那麼吸引人了。
許多人也許會有這樣的共識，臉上如果有一個美人痔，那麼會讓人眼前一亮，可是如果有兩個對稱的美人痔，肯定會讓人覺得不舒服。
有時候對稱會以一種非常微妙的方式出現。比如，建於西元前486年—460年的奧林匹亞宙斯神廟的西門的三角楣上的雕塑，它的外輪廓（或者用數學的語言來説就是閉包）呈現出反射對稱性，並且中線兩邊的人數相等。可是兩邊的塑像卻有著天壤之別。
破缺對稱另一個例子是一幅鑲嵌畫，講述的是耶穌發五條魚、兩個餅給五千信徒吃飽的故事。
上面的例子都是反射對稱的變體。平移對稱的近似也出現在藝術中。例如，在宋朝著名畫家米友仁的畫中，山峰基本上是呈現週期變化的。另一個近似平移對稱的例子，是北京頤和園內沿著湖岸的畫廊。
廣義的對稱
在許多情況下，和諧或有序來自於多種對稱運算的組合。直線IR上的週期現象來自於一個給定非零實數的疊加。在指數映射exp:IR→IR＞0下，IR上的平移就轉換成正的半直線IR＞0上的乘法。我們給出兩個從平移、旋轉和比例變換産生出有序模式的例子。
第一個是伊朗沙馬拉的清真寺，建於西元848年—852年。其中的塔樓把垂直平移，水準面上的旋轉，以及比例變換結合了起來。
第二個例子是鸚鵡螺的殼，是旋轉與比例變換的完美結合。
另一類對稱的變體就是，雖然局部上是對稱的，可是不存在整體的對稱。一個著名的例子是彭羅斯平鋪，這是非週期的。
分形是用來處理不規則形狀的。可是它們有著眾多的局部對稱。事實上，在比例變換下，這種模式不斷重復出現。在這種意義下，它有著豐富的局部對稱性。人們創造了有許多漂亮的分形圖片。
如我們前面所定義的，平面上一個物體如果有一個非平凡的對稱群作用，則稱它是對稱的。所以對稱現象背後的數學就是群論。
群論是法國青年數學家伽羅華為了用根式來解決代數方程而引入的。
我們知道任意二次方程ax2+bx+c=0可以用根式來解。16世紀時人們就發現三次和四次代數方程可以用根式來解。對於高次方程一直都不得其解，直到19世紀阿貝爾證明了，對5次以上方程，不存在一個一般解的公式。
對於某些特殊的高次方程，仍然可以用根式來解。伽羅華用代數方程的對稱性給出了方程可解的精確條件。他的結論也許有些令人驚訝：如果方程具有過多對稱的話，那麼就不能用根式來解。（這似乎有悖於人們的認識，豐富的對稱性通常可以讓問題得到簡化。所以對於對稱的合理解釋就顯得非常重要）
考慮下面三個方程
（x-1）5=0
（x4-6x2+5）(x-2)=0
a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6=0
其中a1，……，a6是隨機選取的整數。
我們應該怎樣定義一個方程的對稱性以及對稱程度的比較？精確的定義需要相當的技巧。我們可以粗略的描述為每個方程都有一個有限群，稱為伽羅華群。伽羅華群越大，就越對稱。
第一個方程有平凡的對稱（或者乾脆説沒有對稱），所以可以很容易解出，即x＝1。第二個方程的對稱性也很小，所以方程可以用根式解出：
x1＝2，x2＝-1，x3＝1，
x4＝-，x5＝-
也許稍有些意外的是，最後這個具有隨機系數的方程是最對稱的，所以不能夠用根式解出。根據通常的認識，隨機性與對稱性應該是背道而馳的，所以我們會傾向於認為一個具有隨機系數的方程不是對稱的。可是在許多情況下，我們也看到隨機是被某些對稱所支配的。另一個例子是，隨機矩陣的特徵值分佈是由多種對稱性支配的。這種現象可以用中國的一句成語來描述，就是“物極必反”。
伽羅華群是有限的。我們前面遇到的對稱群，除了直線IR上的平移群以外，也都是有限的。
所有實數集合IR構成一個群，直線上週期現象的平移群是它的一個子群。IR是挪威數學家索菲斯李所引入的李群的一個重要例子。
李群通常是不可數的，並且有非平凡的拓撲，雖然它們包含某些有限群與離散子群作為特例。另一個重要的例子是IRn中全體正交變換構成的群O（n），一個非交換群。另一個稍大的群是IRn中的全體可逆線性變換構成的群GL（n，IR）。另一個重要的例子是作用在Cn上的特殊酉群SU（n）。
在數學中，對稱的概唸經常與李群的概念等同起來。我們稱一個對象具有由一個李群G所給定的對稱，當這個群G保持不變地作用在其上，或者滿足某個簡單的變換條件。
比如，我們熟知sin2πx以1為週期，所以在平移群Z的作用下保持不變。函數sin2πx的圖像是一個波。
雖然函數ex不是週期的，它在平移作用下滿足一個簡單的公式：ex＋1＝eex，所以ex相對於平移群，也享有某種對稱性。這種連續的比例變換是中國山水畫的重要組成部分。
正多邊形與正多面體
代數方程的伽羅華群論也許有些抽象和形式化，讓我們回到對稱的更加幾何直觀的概念中。
如同前面所提到的那樣，正方形比長方形更加的規則。事實上，正方形是正多邊形的一種。一個正多邊形滿足（1）所有的邊長都相等；（2）相鄰邊夾成的角度都相等。
當邊數趨於無窮時，正多邊形就收斂到圓，所以圓可以解釋為完美理想的正多邊形。
每個正多邊形具有反射和旋轉對稱性，在相同邊數的多邊形中無疑是對稱程度最高的。另一方面，在藝術和建築中，常用的往往是那些非等邊的三角形。比如帕臺農神廟頂部的三角形，還有金字塔就不是等邊的。非常受歡迎的是黃金三角形和相應的黃金分割。
在拉斐爾的名畫《牧場聖女》中，我們可以看到其中的許多三角形。我們留給讀者一個小練習，就是找出其中一共有多少個三角形。
圓周是理想化的正多邊形，具有無窮的對稱性。它在中國傳統藝術中被廣為使用。圓形代表了一種向上運動的感覺，可是它也傳達著權勢和實力。它也透露著寧靜的氣息。事實上，在中國園林設計中，圓形圖案佔了很大的比重，比如蘇州園林的門洞。
正多邊形到三維歐氏空間IR3的推廣，就是正多面體。與二維情形不同，一共只有5種正多面體。
由於圓周的良好性質，它是所有等長曲線中包圍面積最大的。同樣的，三維歐氏空間IR3中的球面也具有同樣的極值性質。這也解釋了為何肥皂泡都是球形的（還有熱氣球）。
由定義，一個多面體被稱為正多面體，如果滿足下面的條件：1.它被有限多個平麵包圍，每個面都是正多邊形；2.所有面在等距下都是相同的；3.所有相鄰平面間的二面角都相等。
明顯的，立方體是正多面體。其他四個正多面體是：正四面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。它們的等距群是O（3）的有限子群，並且可以具體的計算出來。
事實上，恩貝多克利認為，萬物都是由四種基本元素構成的：火、空氣、水和土。這個理論在希臘被廣泛接受。
既然正多面體是完全理想化的，而世界也是完美的，柏拉圖於是提出：世界是由正多面體構成的。火對應于正四面體，正二十面體有著最多的面，最易滑動，就對應于水，土就是正立方體，空氣就是正八面體。剩下的正十二面體就代表宇宙。由於等邊三角形存在於正四面體，正八面體和正二十面體中，所以火、空氣和水可以相互轉換，但不能轉換成正立方體代表的土。
開普勒用正多面體建立了行星運動理論。所以，人們相信正多面體在微觀和宏觀上都起著統治作用。
正多面體理論及其推廣在數學中非常重要，比如，在Coxeter的反射群理論，以及李群論和圈形簇理論中。
特徵值的美妙音符
對稱或正則的概念在數學中非常重要，一個例子與著名的問題“聽出一個鼓的形狀”有關。這個問題最早由洛侖茲，後來由Kac在一篇著名的文章“Can you hear the shape of a drum?”中提出。
洛侖茲在1910年的根廷根大學提出一個問題，能夠聽出一個鼓的體積。這個問題被當時還是學生的Weyl解決，令人驚嘆。這是Weyl偉大數學生涯的開始，對稱是Weyl工作的一個主旋律。
著名的Weyl定理説，小于λ的特徵值的個數按照cnvol(Ω)形式增長，其中cn是只依賴於維數的萬有常數。從這個公式我們就可以看出特徵值決定了vol(Ω)。
這個定理也可以表述為，正規化的特徵值cλ在合理的常數c下，按照i增長。這是非常了不起的公式，因為特徵的計算通常是很困難的，而且頭幾個特徵值往往並不以對稱或規則?的模式出現。如我們在前面所討論的，序列1,2，……，是最對稱的對象，自然的在藝術中佔有一席之地。
一個自然的問題是，差cλ-i的行為如何。這個問題很複雜。它的分佈很可能由某個更高層次的對稱所支配，這是受到了我們下面將要討論的黎曼zeta函數ζ(s)的啟發
素數或齊達函數的對稱
素數2，3，5，7，11，……是最基本和重要的研究對象。可是它們在自然數列1，2，3，……中的分佈看起來好像完全是隨機的。研究它們的一個重要工具就是著名的黎曼zeta函數。
模性的現象在數學和物理學中頻繁出現。一個例子是郎蘭茲綱領，即何有意義和實際的數的序列都是模性的，也就是説它們是一個模形式（或自守表示）的系數。一個著名的例子就是懷爾斯關於費馬大定理的證明。另一個重要的例子是Borcherds[Bo]證明的大魔群的月光猜想，他為此得到了1998年的菲爾茲獎。
這也可以解釋為數學和自然科學中無處不在的對稱。
Zeta函數的零點ζ(s)在素數分佈的研究中特別重要。著名的黎曼猜測説，它的所有非平凡零點都出現在對稱線Re(s)=上。這是美國克雷數學研究所懸賞百萬美元的難題。
對稱性在ζ(s)的零點分佈方面發揮了重要的作用。事實上，在合理的正規化以後，零點的分佈可以用李群來控制，李群也支配了隨機矩陣特徵值的間隔。
李群與物理
對稱與李群在物理學中有許多應用。在物理學中的應用在極大刺激了群倫的發展。事實上，量子力學極大影響了李群表示論的發展。
對稱可以在物理學中從多個層面上觀察到。例如，在牛頓力學中，包括萬有引力定律在內的許多定律都在平移、旋轉和反射下保持不變。
在廣義相對論中，對稱性由洛倫茲群（或龐卡萊群）所支配。狹義相對論的一個重要特徵就是空間與時間的觀念是對稱的。其實，偉大的物理學家Dirac對楊振寧説過，這個概念也許是愛因斯坦對物理學最大的貢獻。
對稱性在物理中的一個非常重要的應用是，可以從對稱推出守恒律，這是歷史上最著名的女數學家Emmy Noether證明的。比如，空間中的平移對稱（或不變性）可以推出動量的守恒律，時間的平移不變性可以推出能量的守恒律。
反射對稱在藝術中也普遍存在。可是在物理中，這是最複雜的問題，有時甚至是錯誤的。兩個分別發生在右手坐標和左手坐標系裏的物理現象稱為宇稱守恒。事實上，楊振寧和李政道在1956年提出，在弱作用領域，宇稱是不守恒的。他們為此在1957年獲得諾貝爾物理學獎，它們的發現被著名華裔女物理學家吳健雄用實驗證實。
對稱性（或群論）在物理學中的另一個了不起的應用是關於亞原子粒子（稱為八重道粒子）的分類規劃，這種命名來自於佛教中的八正道（Eightfold Way），這是佛教認為可以達到至善至美的中庸之道。為了解釋這一規劃，Gell-Mann引入了基本夸克，使他在1969年獲得了諾貝爾物理學獎。
簡單的説，一個粒子對應于希爾波特空間上哈密爾頓作用的特徵函數。如果一個李群保持哈密爾頓作用（或與之交換），那麼哈密爾頓作用的特徵空間就是表示空間。同一個特徵空間中的狀態有許多共同的性質。除了有時出現的退化現象，特徵空間給出了群的所有不可約表示，並且術語一個不可約子空間的特徵函數（或狀態）自然的形成初等粒子的多重態。在二十世紀六十年代初期，許多新的亞原子結構被發現，可是缺少一致的組成結構。李群SU（3）的加權空間分解給出了粒子多重態的參數化。一個相關的特別重要的表示是李代數SU（3）的伴隨表示，它是八維的，所以命名為八重道。一些新的粒子最早就是由這個分類所預言，後來由實驗加以證實。
除了這些和SU（3）的平凡表示，只有另一個10維的表示很自然的出現。在SU（3）上C3的標準表示並不出現。這個標準表示中的三個權向量被Gell-Mann稱為夸克。對表示的標準運算，如取張量和對稱積可以用來解釋和澄清亞原子粒子的某些結構。在這個意義下來説，SU（3）代表了宇宙的對稱（或者更加謙虛的説，代表了亞原子世界的對稱
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